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1、例非均匀分布立体的质量 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望(i)将分成 n 个小立体 1,2,n,记 Vi 表示的i 的体积,i=1,2,n.由于(x,y,z)连续,从而当i很小时,在i上(x,y,z)的变化不大.可近似看作不变.(ii)即,(i,i,i)Di,以(i,i,i)作为 i 的体密度.从而,i的质量mi (i,i,i)V i(iii)因此,的质量(iv)设R3为有界闭区域,f(x,y,z)是定义在上的有界函数.将任意分成 n 个无公共内点的
2、小区域 i,(i=1,2,n),用Vi表示i的体积.并记如果对任意的分法和任意的取法,当 0时,和式则称 f(x,y,z)在上可积,记为f(x,y,z)R(),定义定义1 1并称此极限值I为f(x,y,z)在上的三重积分,记作其中“”称为三重积分号,称为积分区域,f(x,y,z)称为被积函数,dv称为体积元素,三重积分也记为即三重积分的性质与二重积分性质完全类似,比如若 f(x,y,z)在上连续,则 f(x,y,z)在上可积;常数因子可从积分号中提出来;和的积分等于积分之和;积分的可加性;积分的保号性;积分中值定理等.1.1.直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系下下下下三重积分的计算三重积
3、分的计算三重积分的计算三重积分的计算.类似于二重积分,三重积分可化为三个定积分计算(三次积分).设是R3中一母线平行于z 轴,上,下底分别为 z=z2(x,y),z=z1(x,y)的柱体.在xy面上的投影区域记为Dxy.如图0yzxz2=z2(x,y)Dxybaz1=z1(x,y)二、三重积分的计算二、三重积分的计算则为x型区域)0yzxz2=z2(x,y)Dxybaz1=z1(x,y)y=y1(x)y=y2(x)即为y型区域.则应用时先画出的草图,看 z 是从哪一曲面变到哪一曲面.确定最里层积分上,下限.然后到Dxy上作二重口诀:从里到外,面面,线线,点点.积分.注：注：1.当是一柱体,但侧
4、面的母线平行于 y 轴,它在xz面上的投影区域为Dxz,则可选择先对 y 积分,然后到Dxz上作二重积分.2.当是一柱体,但侧面的母线平行于 x 轴,它在yz面上的投影区域为Dyz,则可选择先对x 积分,然后到Dyz上作二重积分.3.当的母线退缩成一点时,此时不是柱体.比如.但作三重积分时,仍可将其当作前面情形的特殊情形来处理,:x2+y2+z2 1.则 Dxy:x2+y2 1.例例1.1.y=0,z=0 和 x+y+z=1所围成的四面体.解解:在xy面上的投影区域为Dxy:0 y 1x,0 x 1.沿 z 轴方向,下方曲面:z=0,上方曲面:z=1 x y.y0zx111Dxyx+y=1x+
5、y+z=1类似,例例2.2.解解:若先对 z 积分,由于沿 z 轴方向的下方曲面和上方曲面均由两片曲面组成,且在xy面上投影区域相对复杂.积分较繁.改为先对 y 积分.y0zx1沿 y 轴方向,求在xz面上的投影区域Dxz.消去 y,故 Dxz:y0zx1注意,由于先对 x,再对 y,再对 z 的积分里面的两个定积分(二次积分)本质上就是一个二重积分,因此,在很多情形下可先做一个二重积分,再做一个定积分,称为“先二后一”的积分,相应地称前面的方法为“先一后二”的积分.设空间有界闭区域 满足C1 z C2,并且以平行于 xy 面的平面 z=常数(z)截 所得平面区域为Dz,则(特别,若 f(x,
6、y,z)=g(z)0yzxC1C2zDz例例3.3.解解:c z c,(x,y)Dz,yzx0ccDz椭圆面积为ab.关于利用对称性积分关于利用对称性积分关于利用对称性积分关于利用对称性积分.设有界闭区域的形状关于xy面对称,且 f(x,y,z)=f(x,y,z),若 f(x,y,z)=f(x,y,z),其中 1是中处于xy面上方部分.类似可得关于xz面对称,而 f(x,y,z)关于y 是奇,偶函数的结论,以及 关于 yz 面对称,而 f(x,y,z)关于x 是奇,偶函数的结论.(1)若 关于平面 y=x 对称,则 f(x,y,z)满足什么条件时,有上述两个结论?(2)不积分,其中为单位球 x
7、2+y2+z2 1.2.2.三重积分换元法三重积分换元法三重积分换元法三重积分换元法.设变换T:x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)将*变到,且函数x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)C1(*),雅可比行列式定理定理1 1问：问：是否有?我们知道,在定积分中,但在二,三重积分中,这一结论一般不对,不过,当满足某些条件时,结论成立。例例4.4.设：x2+y2+z21.z 0,1是中在第一卦限中的部分,证明证：证：由对称性知则1*：y2+z2+x21,y 0,z 0,x 0,即1*1故1：x2+y2+z21,x0,y0,z0.作变量代换,令x=y,y=z
8、,z=x.故一般,若在的表达式中,以y代x,以z代y,以x代z后,的表达式不变(即具有“轮换性”),则(教材P89,第三行结论可由此证明)3.3.利用柱面坐标求三重积分利用柱面坐标求三重积分利用柱面坐标求三重积分利用柱面坐标求三重积分.设点M=(x,y,z)R3,它在xy面上的投影点为P=(x,y,o)显然,任给一点M,可唯一确定点P和竖坐标z,反之,在xy面上任给点P和数z,可唯一确定M.因点P可用其极坐标确定,故M可由P的极坐标r,以及z唯一确定,称为柱面坐标.zxyoP=(x,y,o)M(x,y,z)r所以在柱面坐标中 r=常数,则在直角坐标系中的图形为圆柱面,点M的直角坐标(x,y,z
9、)和它的柱面坐标(r,z)的关系为：x=r cos,y=r sin,z=z,其中0 r+,0 2(或 )z0)y=kx 化为 tg=k 即,=常数.而=常数,则在直角坐标系中的图形为过z轴的平面,z=常数为平行于xy面的平面.设变换T：x=rcos,y=r sin,z=z将柱面坐标系中的区域*变成直角坐标系中的区域,易算得从而一般,若是一母线平行于z 轴的柱面,z1(x,y)z z2(x,y),(x,y)Dxy,在 xy 面上的投影区域 Dxy 适合用极坐标处理(如圆,曲边扇形等),则可考虑用柱面坐标求三重积分.并可将其化为先对z,再对r,再对的三次积分(即先对z积分,然后在Dxy上用极坐标做
10、二重积分).例例5.5.计算其中：x2+y2+z2 1,且z0.解：解：是上半球体,它在xy面上的投影区域是单位圆x2+y2 1.令 x=rcos,y=rsin,z=z,则平面 z=0 和球面 即0 z 且0 r 1,0 2,其中由x2+y2=2z及z=2所围成.例例6.6.求解：解：一般,若的表达式中含有x2+y2,则可考虑用柱面坐标积分.令x=rcos,y=rsin,z=z,且 z 2,0 r 2,0 2.xzyx2+y2=2zx2+y2=4 或 r=2o2注：注：常用的二次曲面有,球面,椭球面,柱面.a(x2+y2)=z(旋转抛物面),ax2+by2=z(椭圆抛物面),a2(x2+y2)
11、=z2(圆锥面).为确定OM的方向,记 为OM在xy面上的投影与x轴正向的夹角(与柱面坐标中 相同),4.4.利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分.为OM与z轴正向夹角,而OM又是由其长度和其方向唯一确定.记|OM|=,R3中的点M=(x,y,z)与向量OM一一对应.则当OM的方向确定时,唯一确定,反之亦然.故M与数组(,)一一对应.zxyoP=(x,y,o)M(x,y,z)r称(,)为点M的球面坐标,规定0 0)，将圆锥面a(x2+y2)=z2化为=常数,将y=kx化为=常数.即=常数,=常数=常数分别表球面,圆锥面,过 z轴的半平
12、面.zxyoP=(x,y,o)M(x,y,z)r若变换T:x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos将*变到,易算得从而右端一般化为先对r,再对,再对 的三次积分.注：注：本教材用字母r表示.即x=rsincos,y=r sinsin,z=rcso.(此处r与柱面坐标中的r意义不同).确定r,的变化范围的方法(与用极坐标算二重积分类似)(1)若由两曲面围成,其球面坐标方程为r=r1(,),r=r2(,).以原点为起点作向量穿过,先遇到的曲面为r=r1(,),后遇到的曲面为r=r2(,),则r1(,)rr2(,).,的变化范围要由其几何意义视具体情况确定.(2)若原点在的边界上,以原点
13、为起点所作的穿过的向量只遇到一片曲面,其球面坐标方程为r=r(,),(3)若包含原点,围成的曲面方程为r=r(,),则0 rr(,),0,02.,的变化范围可根据它们的几何意义,视具体情况确定.则0 r r(,),例例7.7.求由半径R的球面x2+y2+z22Rz=0和半顶角为的圆锥面ctg2(x2+y2)=z2围成的立体的体积V,其中位于圆锥面上方,球面下方.解解:的体积V,用球面坐标求这个三重积分.令x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos.则0yzxx2+y2+z22Rz=0的球面坐标方程为r22Rrcos=0,即:r=2Rcos,ctg2(x2+y2)=z2的球面方程为ct
14、g2(r2sin2cos2+r2sin2sin2)=r2cos2,即:=.由前面的(2)及的形状知,0r2Rcos,0,因在xy面投影区域为圆,故02.0yzx的体积一般,若的表达式中含x2+y2+z2,则可考虑用球面坐标.例例8.8.计算解解:的表达式中含x2+y2+z2,可用球面坐标求积分.令 x=r sin cos,y=rsinsin,z=rcos.则且两球面方程分别为r=b和r=a,(ab).0ar=azyxbr=b0ar=azyxbr=b由上面的(1)及的形状知,arb,0 ,02.例例9.9.求椭圆球体:的体积V,a,b,c,大于0.解解:令(广义球面坐标)可得椭圆球面方程为r=1
15、且0 r1,0,02.yxz0一般一般,(1)若的表达式中含x2+y2,可考虑用柱面坐标积分.比如,球面与圆柱面,球面与旋转抛物面,但不绝对.(2)若的表达式中含x2+y2+z2,可考虑用球面坐标.比如,球面与圆锥面,但不绝对.例例10.10.设f(u)可导,且 f(0)=0,求解解:这是一个极限问题,分母趋于0.另外,当(球)的半径 t 0时,分子也是趋于0的.因此它是一个型的极限问题,可用罗必塔法则求.注意到分子是一个三重积分,在一定的条件下可化为三个是积分之积,故先化三重积分.故原式=(罗彼塔法则)(注意 f(0)=0)例例11.11.设 f(u)连续,证明证证:即以平面 ax+by+cz=0的单位法向量作u轴,以平面ax+by+cz=0上两个互相垂直的单位向量分别作v轴和w轴,对xyz坐标系作正交变换.