一阶变分变分法讲解学习.ppt

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1、一阶变分 变分法引例引例引例引例2 2：求通过两点：求通过两点A A(x x0 0,y y0 0)、B B(x x1 1,y y1 1)且长度且长度l l 为一定值的为一定值的函数曲线函数曲线y y=y y(x x)，使图中曲边梯形，使图中曲边梯形ABCDABCD的面积的面积A AS S达到最大。达到最大。（1.21.2）A AS S依依y y的选取而定，它也是一个泛函，约束条件为的选取而定，它也是一个泛函，约束条件为ABAB长度长度 （1.31.3）这是带约束条件的泛函极值由间接这是带约束条件的泛函极值由间接变分法，泛函变分法，泛函A As s的极值曲线为的极值曲线为其中常数其中常数c c1

2、 1,c c2 2,r r 可由条件可由条件 来确定。来确定。图1.2 曲边梯形的面积xA(x0,y0)yoB(x1,y1)CDydy和y的区别 dy dy:是针对一条曲线是针对一条曲线 y y=y y(x x)，当，当x x=dx dx 时时 函数值增量的线函数值增量的线 性主部是性主部是 dy dy。dydy一般不等于零。？一般不等于零。？y y：是在是在x x不变时，针对两条接近不变时，针对两条接近 的函数曲线的函数曲线 y y(x x)和和 y y1 1(x x)的微差的微差 y y。y y 是是x x 的函数。的函数。y y 在边界点一定为零在边界点一定为零。y=y(x)xyodyy

3、y1=y1(x)x=dx图 1.4 dy和y的区别 y1.1.3 泛函的变分泛函的变分微分一般定义一般定义一般定义一般定义：y=y(x+x)-y(x)A(x)x+(x,x)x拉氏定义拉氏定义拉氏定义拉氏定义：微分也等于微分也等于y(y(x x+x x)对对 导数在导数在=0=0时的值。时的值。(1.5)泛函变分定义 l一般定义：一般定义：是泛函增量的 线性主部l拉格朗日定义拉格朗日定义 即证明了拉格朗日的泛函变分的定义：例：例：例：例：简单泛函简单泛函 一阶变分一阶变分。泛函二阶变分及增量为：1.2变分运算与泛函极值条件变分运算与泛函极值条件1 1 2 变分号可由积分号外进入积分号内1.2.1

4、 运算规则运算规则1.2.2 1.2.2 泛函极泛函极值值的条件的条件泛函极值条件与函数极值条件具有相似的定义。如果 泛函取极小值 ,泛函取极大值 (1.17)1.3 变分基本引理与欧拉方程变分基本引理与欧拉方程1.3.1 1.3.1 变分基本引理变分基本引理变分基本引理变分基本引理 设设F(x)F(x)在在 x x0 0,x x1 1 上连续，上连续，(x x)是一类任意的连续函数是一类任意的连续函数，一阶或若干阶可微；在线段（一阶或若干阶可微；在线段（x x0 0，x x1 1)端点为零；端点为零；若下列积分为零若下列积分为零则在 x0,x1 上就有F(x)0.证明证明用反证法 1.3.2

5、 欧拉方程欧拉方程 端点固定条件由基本引理式(1.18)注意到F（x,y,y)是对x的全导数 代人式(1.20)上述欧拉方程为二阶偏微分方程。解此方程可求出使泛函(y)达到极值的y(x)，称间接解法.其它欧拉方程形式为：其它欧拉方程形式为：泛泛泛泛 函函函函 形形形形 式式式式 欧欧欧欧 拉拉拉拉 方方方方 程程程程 边界固定，依赖高阶导数的泛函边界固定，依赖高阶导数的泛函 边界固定，依赖于多元函数的泛函边界固定，依赖于多元函数的泛函 边界固定，边界固定，依赖多自变函数一阶导数的泛函依赖多自变函数一阶导数的泛函 约束条件：约束条件：1.4泛函的条件极值变分法泛函的条件极值变分法表表1.11.1

6、第四行：第四行：构成新的泛函 新泛函欧拉方程组 共k+n个方程，k+n个未知数：边界条件：2n?个积分常数 1.5 泛函极值的直接解法泛函极值的直接解法 以求解欧拉方程求极值函数（解析解），叫泛函变分的间接解法间接解法，用近似方法直接求极端函数，叫直接解法，直接解法，包括：有限差分法，里兹法，康托有限差分法，里兹法，康托罗维齐法，有限元法，搜索法等，罗维齐法，有限元法，搜索法等，直接解法简单，得到近似解。1.5.2 里兹法里兹法设y是泛函(y)取极值m的极端函数，若 （试验函数）,满足给定的边界条件，且使泛函 之值接近于m,则就是该问题的近似解.步骤：为n个任意的待定常数，wi 彼此线性无关,

7、经先微分后积分 (i=1,2,n)，解上述方程组来确定ai,代回原式即可，1.5.3 康托罗维奇法化偏微分为常微分方程组康托罗维奇法化偏微分为常微分方程组依赖多自变量的单自变函数的泛函 选取 以权重自变量xn为自变量的Ai(xn)待定函数；以其余自变量构成选取函数i(x1,x.xn-1)；要 满足给定边界条件。经微积分运算化掉 x1,x2.xn-1，得到以 为自变函数新泛函（多自变函数单变量）代人原式即得到近似解 。泛函解法泛函解法综合综合例例例：求例：求泛函 极值函数 1.1.间接法：间接法：2.2.直接法直接法RitzRitz法法 满足边界条件函数满足边界条件函数y x 0 x00.25x

8、10.5x20.75x31x4y1y2y3yixi-1 x xiyi-1图1.8 变化域离散化与单元线性插值离散化成4单元5节点；i=0,1,2,3,4;建立插值关系，写成矩阵形式；计算单元泛函与总泛函；总泛函求导建立联立方程组求节点函数值。值。5.5.搜索法搜索法结果比较x xx x0 0=0=0 x x1 1=0.25=0.25x x2 2=0.5=0.5x x3 3=0.75=0.75x x4 4=1=1解析解：解析解：0 0y y1 1=0.044=0.044y y2 2=0.070=0.070y y3 3=0.060=0.0600 0有限元：有限元：0 0y y1 1=0.044=0.044y y2 2=0.069=0.069y3=0.060y3=0.0600 0有限差分：有限差分：0 0 y y1 1=0.044258=0.044258y y2 2=0.07012=0.070125656y3=0.060y3=0.0603873870 0RizeRize：0 00 0044044y y2 20.0690.069 0 00600600 0yx0 x00.25x10.5x20.75x31x4y1y2y31.何为泛函极值间接解法？直接解法（近似解法）？有几种直接解法？直接解法与间接解法有何区别？