工程运动学基础.ppt

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1、工程运动学基础 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第第15章章 工程运动学基础工程运动学基础 运动学（运动学（kinematics)kinematics)研究研究物体物体在空间在空间运动运动时，其时，其几何性质几何性质随时间随时间的变化规律的变化规律点点 刚体刚体轨迹运动方程轨迹运动方程速度加速度等速度加速度等参考系（体）参考系（体）地球地球运动学运动学点的合成运动点的合成运动点的曲线运动点的曲线运动刚体运动刚体运动点的运动点的运动 刚体的平动刚体的平

2、动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的平面运动刚体的平面运动刚体的一般运动刚体的一般运动第第15章章 工程运动学基础工程运动学基础 15-1 点的运动学点的运动学 15-1-1 参考系参考系 15-1-2 位矢位矢、速度和加速度及其变速度和加速度及其变矢量性质矢量性质 参考体参考体参考系参考系15-1 点的运动学点的运动学 矢量表示法矢量表示法矢量表示法矢量表示法 直角坐标表示法直角坐标表示法直角坐标表示法直角坐标表示法 自然表示法自然表示法自然表示法自然表示法 雷达跟踪飞机雷达跟踪飞机例子例子15-1 点的运动学点的运动学 1 矢量表示法矢量表示法 选取参考系上某一确定点为坐标原点，由点向动点

3、选取参考系上某一确定点为坐标原点，由点向动点作矢量作矢量r，r称为称为动点对于原点的位置矢或矢径动点对于原点的位置矢或矢径。当。当动点运动时，矢径动点运动时，矢径r的大小和方向都随时间而变，即的大小和方向都随时间而变，即图图5-1用矢量描述点的位置和速度用矢量描述点的位置和速度它表明了动点在空间的位置随它表明了动点在空间的位置随时间变化的规律。时间变化的规律。设动点在空间作曲线运动。设动点在空间作曲线运动。运动方程运动方程 设从瞬时设从瞬时t到瞬时到瞬时tt，动点的位置由，动点的位置由M改变到改变到M，其矢径分别为，其矢径分别为r和和r，在，在t时间内，矢径的改变量时间内，矢径的改变量r即即为

4、动点在为动点在t时间内的时间内的位移位移。位移位移1 矢量表示法矢量表示法 当当t时，平均速度的极限值称为动点在瞬时时，平均速度的极限值称为动点在瞬时t的速度，即：的速度，即：动点的速度等于其矢径对于时间的一阶导数。动点的速度等于其矢径对于时间的一阶导数。速度速度1 矢量表示法矢量表示法 当当t时，平均加速度的极限值称为动点在瞬时时，平均加速度的极限值称为动点在瞬时t的加速度，即的加速度，即加速度加速度1 矢量表示法矢量表示法 动点的加速度等于它的速度对于时间的一阶导数，也动点的加速度等于它的速度对于时间的一阶导数，也等于它的矢径对于时间的二阶导数。等于它的矢径对于时间的二阶导数。如果把不同瞬

5、时动点的如果把不同瞬时动点的速度矢量速度矢量v的始端依次画在的始端依次画在某一固定点某一固定点上，这些速上，这些速度矢的末端将描绘出一条连度矢的末端将描绘出一条连续的曲线，称为速度矢端线，续的曲线，称为速度矢端线，如图所示。如图所示。动点的加速度方向沿着动点的加速度方向沿着速度矢端线的切线方向。速度矢端线的切线方向。1 矢量表示法矢量表示法 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 选取一直角坐标系选取一直角坐标系Oxyz，则动点的位置可用它的，则动点的位置可用它的三个直角坐标三个直角坐标x，y，z来确定，点运动时，三个坐标都来确定，点运动时，三个坐标都是时间是时间t的函数，即的函数，即x=f1(t)

6、y=f2(t)z=f3(t)运动方程运动方程直角坐标与矢径坐标之间的关系直角坐标与矢径坐标之间的关系 速度速度2 直角坐标表示法直角坐标表示法 加速度加速度可见，若已知动点的运动方程，通过对时间求一阶、可见，若已知动点的运动方程，通过对时间求一阶、二阶导数，可求出动点的速度、加速度；反之，已知二阶导数，可求出动点的速度、加速度；反之，已知动点的加速度和运动的初始条件，通过积分可求出动动点的加速度和运动的初始条件，通过积分可求出动点的速度方程、运动方程和轨迹方程。点的速度方程、运动方程和轨迹方程。2 直角坐标表示法直角坐标表示法 半径为半径为R R的圆盘沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚动）的圆盘沿直

7、线轨道无滑动地滚动（纯滚动），设圆盘在铅垂面内运动，且轮心的速度为，设圆盘在铅垂面内运动，且轮心的速度为v v0 0(t)(t)，1.分析圆盘边缘一点分析圆盘边缘一点M的运动，并求当的运动，并求当M点与地面接触时的速点与地面接触时的速度和加速度以及度和加速度以及M点运动到最高处时，轨迹的曲率半径；点运动到最高处时，轨迹的曲率半径；2.讨论当轮心的速度为常数时，轮边缘上各点的速度和加速度讨论当轮心的速度为常数时，轮边缘上各点的速度和加速度分布。分布。2 直角坐标表示法直角坐标表示法 解：解：1.建立坐标系建立坐标系0 xy取点取点M M所在的一个最低位置为原所在的一个最低位置为原点点o o，设在

8、任意时刻，设在任意时刻t t圆盘转过的圆盘转过的角度为角度为CAM=CAM=，为时间为时间t t的的函数，函数，C C是圆盘与轨迹的接触点，是圆盘与轨迹的接触点，由于圆盘作纯滚动，所以，由于圆盘作纯滚动，所以，于是于是M点的运动方程为点的运动方程为2 直角坐标表示法直角坐标表示法 于是于是M点的运动方程为点的运动方程为点点M的速度分量为的速度分量为点点M的加速度分量为的加速度分量为2 直角坐标表示法直角坐标表示法 解：解：2.2.建立建立 和和 与圆盘与圆盘中心中心A A点的速度点的速度v v0 0(t)(t)之间的之间的关系。关系。因为圆盘沿直线轨道作纯滚因为圆盘沿直线轨道作纯滚动，故轮心动

9、，故轮心A A点作水平直线点作水平直线运动，所以有运动，所以有将其对将其对t求一次导数可得求一次导数可得2 直角坐标表示法直角坐标表示法 再对再对t求一次导数可得求一次导数可得这对于沿直线轨迹滚动的物体都是正确的这对于沿直线轨迹滚动的物体都是正确的2 直角坐标表示法直角坐标表示法 M点的速度大小为点的速度大小为方向由下式确定方向由下式确定2 直角坐标表示法直角坐标表示法 从图中的几何关系可以证明：从图中的几何关系可以证明：于是，纯滚动时轮上各点于是，纯滚动时轮上各点的速度如图所示。的速度如图所示。当当=0=0和和=2=2时，时，M点与点与地面接触，此时地面接触，此时M点的速度点的速度为零。为零

10、。2 直角坐标表示法直角坐标表示法 当当=0和和=2时，时，加速度可由式加速度可由式求得求得当当M M点与地面接触时，其加速度的大小不等于点与地面接触时，其加速度的大小不等于0 0，方向垂直于地面向上。该加速度是点方向垂直于地面向上。该加速度是点M M在此时的切向在此时的切向加速度，因为此时速度为加速度，因为此时速度为0 0，故其法向加速度为，故其法向加速度为0 02 直角坐标表示法直角坐标表示法 3.3.确定确定M M点的轨迹在最高点处的点的轨迹在最高点处的曲率半径。曲率半径。由于当由于当=时，时，M M点的速度点的速度和加速度分别为：和加速度分别为：M点轨迹在最高点处的切线方向与点轨迹在最

11、高点处的切线方向与i同向；曲线向下弯曲，同向；曲线向下弯曲，所以主法线方向与所以主法线方向与-j同向。于是，法向加速度的大小为：同向。于是，法向加速度的大小为：这时这时M M点的速度为点的速度为v=2vv=2v0 0，于是，轨迹在最高点处的曲率，于是，轨迹在最高点处的曲率半径为：半径为：2 直角坐标表示法直角坐标表示法 4.讨论讨论根据式根据式若若v v0 0为常矢量，则为常矢量，则为常量，此时由式为常量，此时由式M M点加速度大小恒为：点加速度大小恒为：M M点加速度的方向由下式确定：点加速度的方向由下式确定：2 直角坐标表示法直角坐标表示法 这时轮缘上这时轮缘上M点的加速度方点的加速度方向

12、均指向轮心向均指向轮心A A;此时的加速度既非切向加速此时的加速度既非切向加速度，也非法向加速度，而是度，也非法向加速度，而是这两种加速度的矢量和这两种加速度的矢量和;若若V V0 0不为常矢量，则加速度不为常矢量，则加速度方向并不指向轮心。方向并不指向轮心。2 直角坐标表示法直角坐标表示法 例例 椭椭圆圆规规的的曲曲柄柄OA可可绕绕定定轴轴O转转动动，端端点点A以以铰铰链链连连接接于于规规尺尺BC；规规尺尺上上的的点点B和和C可可分分别别沿沿互互相相垂垂直直的的滑滑槽槽运运动动，求规尺上任一点求规尺上任一点M 的轨迹方程。的轨迹方程。ACByOxMxy已知已知:2 直角坐标表示法直角坐标表示

13、法 运运 动动 演演 示示2 直角坐标表示法直角坐标表示法 考虑任意位置，考虑任意位置，M点的坐标点的坐标 x，y可以表示成可以表示成消去上式中的角消去上式中的角，即得，即得M点的点的轨迹方程轨迹方程:解解:ACByOxMxy2 直角坐标表示法直角坐标表示法 轨轨 迹迹 演演 示示2 直角坐标表示法直角坐标表示法 思考题：思考题：M点的轨迹曲线如何点的轨迹曲线如何？2 直角坐标表示法直角坐标表示法 轨轨 迹迹 演演 示示2 直角坐标表示法直角坐标表示法 例例 在在上上例例的的椭椭圆圆规规尺尺BC上上固固连连一一个个半半径径是是a/2/2的的圆圆盘盘，圆圆心心重重合合于于A。求求圆圆盘盘边边缘缘

14、上上任任一一点点 M 的的运运动动方方程程和和轨轨迹迹方方程程，已已知角知角=k t,其中其中k 是常量。是常量。yxABCOMM2 直角坐标表示法直角坐标表示法 运运 动动 演演 示示2 直角坐标表示法直角坐标表示法 yxABCOMM 取固定坐标系取固定坐标系Oxy，令，令MAC=2,则则 M 点在点在Oxy中的坐中的坐标为标为解解:2 直角坐标表示法直角坐标表示法 将将=kt代代入入上上式式即即可可得得到到圆圆盘盘边边缘缘上上任任一一点点M的的运运动动方方程程。另另外外，由由上上式式可可以以看看出出，两两个个坐坐标标x，y成成正比，即正比，即 故故 M点的点的轨迹是斜率为轨迹是斜率为tan

15、并通过坐标原点的直并通过坐标原点的直线，上式即为其轨迹方程。线，上式即为其轨迹方程。2 直角坐标表示法直角坐标表示法 轨轨 迹迹 演演 示示2 直角坐标表示法直角坐标表示法 3 自然表示法自然表示法 运动方程运动方程设动点的轨迹为如图所示曲线。在曲线上选定设动点的轨迹为如图所示曲线。在曲线上选定一点为原点，则动点的位置可以由一点为原点，则动点的位置可以由弧坐标弧坐标s s确定。确定。弧坐标弧坐标s是时间是时间t的单值连续函数，可表示为的单值连续函数，可表示为ss（t）如图，直线如图，直线MQ(MQ(平行于平行于MT)MT)与与MTMT构成一平面构成一平面PP，当当MM向向M M趋近时，趋近时，

16、MTMT不动，不动，MTMT的方位则不断改变，相的方位则不断改变，相应地，应地，MQMQ的方位也不断改变，的方位也不断改变，从而平面从而平面PP的方位也在变化，的方位也在变化，绕着绕着MTMT不断地转动。当不断地转动。当MM无无限趋近于限趋近于M M，平面，平面PP趋近于一趋近于一极限位置极限位置P P。在这极限位置的。在这极限位置的平面平面P P称为曲线在点的称为曲线在点的密切密切面面。自然轴系自然轴系3 自然表示法自然表示法 在法面内，过点在法面内，过点的所有直线都是曲线在的所有直线都是曲线在点的法线。在密切面点的法线。在密切面内的法线称为内的法线称为主法主法线线；与密切面垂直的法；与密切

17、面垂直的法线则称为线则称为副法线副法线。点的切线、主法线与点的切线、主法线与副法线构成了一组副法线构成了一组正交正交轴系轴系。过点并垂直于切线的平面称为曲线在过点并垂直于切线的平面称为曲线在点的点的法面法面，如图所示。，如图所示。3 自然表示法自然表示法 规定：规定：切线的正向切线的正向与弧坐标的正向一致，其与弧坐标的正向一致，其单位矢量用单位矢量用et表示；表示；主法线的正向主法线的正向指向曲线的凹指向曲线的凹处，其单位矢量用处，其单位矢量用en表示；表示；副法线的单位矢量副法线的单位矢量用用eb表示；它与表示；它与et，en形成右手系，即形成右手系，即 et en=eb这个以这个以et、e

18、n、eb确定的正交系称为确定的正交系称为自然轴系自然轴系。注意注意：et、en、eb的方向随着点的位置不同而的方向随着点的位置不同而改变。改变。3 自然表示法自然表示法 速度、加速度速度、加速度速度矢量可作如下变换速度矢量可作如下变换速度的大小速度的大小由于由于3 自然表示法自然表示法 速度的方向是当速度的方向是当t0t0时，时，r r的极限方的极限方向，即沿轨迹在点的切线方向，于是得到向，即沿轨迹在点的切线方向，于是得到动点的速度沿其轨迹的切线方向，其大小动点的速度沿其轨迹的切线方向，其大小等于弧坐标对时间的一阶导数。等于弧坐标对时间的一阶导数。3 自然表示法自然表示法 加速度加速度 第一个

19、分量第一个分量 是由于速度大小的改变而有的，是由于速度大小的改变而有的，其方向沿轨迹在点的切线，称为切向加速度。其方向沿轨迹在点的切线，称为切向加速度。3 自然表示法自然表示法 第二个分量第二个分量 是由于速度方向的改变而有是由于速度方向的改变而有的，为了确定它的大小和方向，先分析的，为了确定它的大小和方向，先分析3 自然表示法自然表示法 的方向显然是的方向显然是et的极限方向，当的极限方向，当t0时，时，et在密切面内与在密切面内与et垂直，指向曲线的凹侧。垂直，指向曲线的凹侧。这个分量是由于速度方向的变化而产生的，其方这个分量是由于速度方向的变化而产生的，其方向与向与en的方向一致，称为的

20、方向一致，称为法向加速度法向加速度。加速度加速度a的第二个分量为的第二个分量为3 自然表示法自然表示法 动点加速度动点加速度表达式表达式 动点的加速度在密切面内，等于动点的加速度在密切面内，等于切向加速度与法向加速度的矢量和。切向加速度与法向加速度的矢量和。3 自然表示法自然表示法 销钉销钉B可沿半径等于可沿半径等于R的的固定圆弧滑道固定圆弧滑道DE和摆杆的直和摆杆的直槽中滑动，槽中滑动，OA=R=0.1 m。已。已知摆杆的转角知摆杆的转角 （时间以（时间以s计，计，以以rad计），计），试求销钉在试求销钉在t1=1/4 s和和t2=1 s时时的加速度。的加速度。ROREDBCsOA-s+s3

21、 自然表示法自然表示法 运运 动动 演演 示示3 自然表示法自然表示法 ROREDBCsOA-s+s 已已知知销销钉钉B的的轨轨迹迹是是圆圆弧弧DE，中中心心在在A点点，半半径径是是R。选选滑滑道道上上O点点作作为为弧弧坐坐标标的的原原点点，并并以以OD为为正正向向。则则B点在任一瞬时的弧坐标点在任一瞬时的弧坐标但但 是是，由由 几几 何何 关关 系系 知知 ，且且 ，将其代入上式，得，将其代入上式，得这就是这就是B点的自然形式的运点的自然形式的运动方程。动方程。解：3 自然表示法自然表示法 ROREDBCsOA-s+sB点的速度在切向上的投影点的速度在切向上的投影vt B点的加速度点的加速度

22、 a 在切向的投影在切向的投影而在法向的投影而在法向的投影3 自然表示法自然表示法 当当 时，时，又，又，。可见，。可见，这时这时B点的加速度大小点的加速度大小ADB1B2R1E且且a1沿切线的负向。沿切线的负向。当当 t1=1 s 时，时，又又 可见，可见，这时点这时点B的加速度大小的加速度大小且且 a2 沿半径沿半径 B2A。a2=a1na1=a1t3 自然表示法自然表示法 xyrM0N(x,y)MzO 圆圆柱柱的的半半径径为为r r，绕绕铅铅直直固固定定轴轴 z z 作作匀匀速速运运动动，周周期期为为 T T 秒秒。动动点点M M以以匀匀速速 u u 沿沿圆圆柱柱的的一一条条母母线线NM

23、NM运运动动（如如图图）试试求求M M点点的的轨轨迹迹、速速度度和和加加速速度，并求轨迹的曲率半径。度，并求轨迹的曲率半径。15-1 点的运动学点的运动学 运运 动动 演演 示示15-1 点的运动学点的运动学 xyrM0N(x,y)MzO 取取固固定定直直角角坐坐标标系系Oxyz如如图图所所示示。设设开开始始时时M点点在在M0位位置置，当当圆圆柱柱转转动动时时，角角M0ON等等于于 ，故故M点点的的运运动方程为动方程为 轨迹方程为轨迹方程为此为螺旋线方程。此为螺旋线方程。解：解：1.M点的运动方程和轨迹。点的运动方程和轨迹。15-1 点的运动学点的运动学 轨轨 迹迹 演演 示示15-1 点的运

24、动学点的运动学 xyrM0N(x,y)MzOv v2.M点的速度。点的速度。对运动方程求导得对运动方程求导得速度在平面速度在平面Oxy上的投影大小等于上的投影大小等于常数常数速度与圆柱母线的交角速度与圆柱母线的交角 不变。不变。15-1 点的运动学点的运动学 xyrM0N(x,y)MzOvxvyvzvamruv速度矢端线是一个半径为速度矢端线是一个半径为r的圆周曲线，平行的圆周曲线，平行于于Oxy面。面。15-1 点的运动学点的运动学 x x y yr rMM0 0N(x,y)N(x,y)M Mz zO O3.点点M的加速度的加速度对速度方程求导得对速度方程求导得因因az=0，故加速度，故加速

25、度 a 垂直于垂直于 z 轴轴加速度加速度 a 的方向指向的方向指向 z 轴。轴。v va a15-1 点的运动学点的运动学 4.曲率半径曲率半径 曲率半径曲率半径曲率半径为常数曲率半径为常数15-1 点的运动学点的运动学 15-2 刚体的简单刚体的简单运动运动 15-2-1 平移平移 15-2-2 定轴转动定轴转动 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移平移 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移平移 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移平移 刚体运体运动时，如其上任一直，如其上任一直线始始终保持与保持与其初始位置平行，其初始位置平行，则称称这种运种运动为平行

26、移平行移动，简称平移称平移。如如电梯的升降运梯的升降运动;在直在直线轨道上行道上行驶的列的列车的的车厢的运的运动等。等。若平若平动刚体上任一点的体上任一点的轨迹是直迹是直线，称，称为直直线平移平移；若是曲；若是曲线，则称称为曲曲线平移平移。刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移平移 平移实例平移实例刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移平移 在平移刚体上任取两点在平移刚体上任取两点A和和B，并作矢量，并作矢量rB、rA和和rBA。由于刚体作平行移动，所以。由于刚体作平行移动，所以 rBA的大小、方向保的大小、方向保持不变，为一常矢量。持不变，为一常矢量。rA=rB+rBA因

27、此，在运动过程中，因此，在运动过程中，A、B两点的轨迹曲线两点的轨迹曲线形状完全相同。形状完全相同。刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移平移 对时间对时间t求导数，得到求导数，得到即即vA=vB ，aA=aB 刚体平移时，体内所有各点的轨迹的形状相同，在刚体平移时，体内所有各点的轨迹的形状相同，在刚体平移时，体内所有各点的轨迹的形状相同，在刚体平移时，体内所有各点的轨迹的形状相同，在同一瞬时，所有各点具有相同的速度和相同的加速度。同一瞬时，所有各点具有相同的速度和相同的加速度。同一瞬时，所有各点具有相同的速度和相同的加速度。同一瞬时，所有各点具有相同的速度和相同的加速度。既然平移刚

28、体上各点的运动规律相同，因此，只要既然平移刚体上各点的运动规律相同，因此，只要知道其中任一点的运动就知道整个刚体的动。知道其中任一点的运动就知道整个刚体的动。刚体的平行移动简化为一个点的运动研究。刚体的平行移动简化为一个点的运动研究。刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移平移 荡荡木木用用两两条条等等长长的的钢钢索索平平行行吊吊起起，如如图图所所示示。钢钢索索长长为为l，长长度度单单位位为为m。当当荡荡木木摆摆动动时时钢钢索索的的摆摆动动规规律律为为 ，其其中中 t 为为时时间间，单单位位为为s；转转角角0的的单单位位为为rad，试试求求当当t=0和和t=2 s时时，荡荡木木的的中中

29、点点M的的速速度度和加速度。和加速度。OABO1O2 ll（+）M 由由于于两两条条钢钢索索O1A和和O2B的的长长度度相相等等，并并且且相相互互平平行行，于于是是荡荡木木AB在在运运动动中中始始终终平平行行于于直直线线O1O2，故荡木作平移。，故荡木作平移。以以最最低低点点O为为起起点点，规规定定弧弧坐坐标标s向向右右为为正正，则则A点点的的运运动方程为动方程为将上式对时间求导，得将上式对时间求导，得A点的速度点的速度解：解：OABO1O2ll（+）M刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移平移 vm vAamaA再求一次导，得再求一次导，得再求一次导，得再求一次导，得A A点的切向

30、加速度点的切向加速度点的切向加速度点的切向加速度代入代入代入代入t t=0=0和和和和t t=2=2，就可求得这两瞬时，就可求得这两瞬时，就可求得这两瞬时，就可求得这两瞬时A A点的速度和加速度，亦即点的速度和加速度，亦即点的速度和加速度，亦即点的速度和加速度，亦即点点点点MM在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：A A点的法向加速度点的法向加速度点的法向加速度点的法向加速度O OA AB BO O1 1O O2 2 l ll l（+）MM刚体的简单运动刚体

31、的简单运动 15-2-1 平移平移 0 00 0 0 02 （铅直向上）（铅直向上）0 0 （水平向右）（水平向右）0 00 0a an n(ms(ms2 2)a at t(ms(ms2 2)v v(ms(ms1 1)(rad)(rad)t t(s)(s)刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 若刚体运动时，体内或其扩展部分有一直线保持不若刚体运动时，体内或其扩展部分有一直线保持不动，这种运动就称动，这种运动就称定轴转动定轴转动。运动方程、角速运动方程、角速度和角加速度度和角加速度 位置角位置角 的符号规定：的符号规定：从从z轴的正向朝负向看去，轴的正向朝负向看去，沿逆时

32、针量取为正值，沿逆时针量取为正值，反之为负值。反之为负值。刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 角速度角速度角加速度角加速度若若与与符号相同，则符号相同，则的绝对值随时间而增大，刚的绝对值随时间而增大，刚体作加速转动；若相反，则刚体作减速转动。体作加速转动；若相反，则刚体作减速转动。刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 当刚体作定轴转动时，体内各点都在垂直于转动轴当刚体作定轴转动时，体内各点都在垂直于转动轴的平面内作圆周运动，圆心就在转动轴上。的平面内作圆周运动，圆心就在转动轴上。刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 在任

33、一瞬时，在任一瞬时，M点的切向加速度点的切向加速度at的代数值为的代数值为M点的法向加速度点的法向加速度an的大小为的大小为M点的总加速度点的总加速度a的大小为的大小为刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 用用表示表示a与与OM（即（即an）之间的夹角，则）之间的夹角，则 结论：在同一瞬时，刚体内各点的速度和加速度的结论：在同一瞬时，刚体内各点的速度和加速度的大小与各点到转动轴的距离成正比。大小与各点到转动轴的距离成正比。在同一瞬时，刚体内所有各点的总加速度与在同一瞬时，刚体内所有各点的总加速度与其法向加速度的夹角相同。其法向加速度的夹角相同。刚体的简单运动刚体的简单运

34、动 15-2-2 定轴转动定轴转动 直径直径MN上各点的速度和加速度的分布如图所示。上各点的速度和加速度的分布如图所示。1.齿轮传动齿轮传动啮合条件啮合条件啮合条件啮合条件传动比传动比 互相啮合的两齿轮的角速互相啮合的两齿轮的角速度（或转速）与齿数成反比。度（或转速）与齿数成反比。刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 两个带轮的角速度（或转速）与半径成反比。两个带轮的角速度（或转速）与半径成反比。2.2.带轮传动带轮传动刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 滑滑轮轮的的半半径径r=0.

35、2 m，可可绕绕水水平平轴轴O转转动动，轮轮缘缘上上缠缠有有不不可可伸伸长长的的细细绳绳，绳绳的的一一端端挂挂有有物物体体A（如如图图），已已知知滑滑轮轮绕绕轴轴O的的转转动动规规律律=0.15t3，其其中中t以以s计计，以以rad计计，试试求求t=2s时时轮轮缘缘上上M点点和和物物体体A的的速速度和加速度。度和加速度。AOM刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 首先根据滑轮的转动规律，求得它的首先根据滑轮的转动规律，求得它的首先根据滑轮的转动规律，求得它的首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度角速度和角加速度角速度和角加速度角速度和角加速度代入代入代入代入

36、t t=2 s=2 s，得得得得轮缘上轮缘上轮缘上轮缘上 M M 点上在点上在点上在点上在 t t=2 s=2 s 时的速度为时的速度为时的速度为时的速度为vMAOM解：刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 AOM加速度的两个分量加速度的两个分量加速度的两个分量加速度的两个分量vM总加速度总加速度总加速度总加速度 a aM M 的大小和方向的大小和方向的大小和方向的大小和方向atanaM刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 AOM 因因因因为为为为物物物物体体体体A A与与与与轮轮轮轮缘缘缘缘上上上上MM点点点点的的的的运运运运动动动动不不不不同

37、同同同，前前前前者者者者作作作作直直直直线线线线平平平平移移移移，而而而而后后后后者者者者随随随随滑滑滑滑轮轮轮轮作作作作圆圆圆圆周周周周运运运运动动动动，因因因因此此此此，两两两两者者者者的的的的速速速速度度度度和和和和加加加加速速速速度度度度都都都都不不不不完完完完全全全全相相相相同同同同。由由由由于于于于细细细细绳绳绳绳不不不不能能能能伸伸伸伸长长长长，物物物物体体体体A A与与与与MM点点点点的的的的速速速速度度度度大大大大小小小小相相相相等等等等，A A的的的的加加加加速速速速度度度度与与与与MM点点点点切切切切向向向向加加加加速速速速度度度度的的的的大大大大小也相等，于是有小也相等

38、，于是有小也相等，于是有小也相等，于是有vMatana它们的方向铅直向下。它们的方向铅直向下。它们的方向铅直向下。它们的方向铅直向下。vAaA刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 图图示示为为一一对对外外啮啮合合的的圆圆柱柱齿齿轮轮，分分别别绕绕固固定定轴轴O1和和O2转转动动，两两齿齿轮轮的的节节圆圆半半径径分分别别为为r1和和r2，已已知知某某瞬瞬时时主主动动轮轮的的角角速速度度为为1，角角加加速速度度为为1，试试求求该该瞬瞬时时从从动动轮轮 的的角角速速度度2和和角角加加速速度度2，为为简简便便起起见见，本本例例的的1，2，1，2都代表绝对值。都代表绝对值。O1O

39、2M1M21212r2r1刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 O1O2M1M21212r2r1齿轮传动可简化为两轮以节圆相切并在切点处无相对滑动，因齿轮传动可简化为两轮以节圆相切并在切点处无相对滑动，因而两轮的啮合点而两轮的啮合点M1与与M2恒具有相同的速度与切向加速度。即恒具有相同的速度与切向加速度。即v1v2a2ta1t或或因而从动轮的角速度和角加速度分别为因而从动轮的角速度和角加速度分别为因而从动轮的角速度和角加速度分别为因而从动轮的角速度和角加速度分别为显然，显然，显然，显然，2 2，2 2的转向分别与的转向分别与的转向分别与的转向分别与 1 1,1 1相反。

40、相反。相反。相反。传动比为传动比为传动比为传动比为解解：刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 一、角速度与角加速度的矢量表示一、角速度与角加速度的矢量表示当刚体加速转动时，当刚体加速转动时，当刚体加速转动时，当刚体加速转动时，与与与与 同向；反之，则反向。同向；反之，则反向。同向；反之，则反向。同向；反之，则反向。刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 二、速度和加速度的矢积表达式二、速度和加速度的矢积表达式二、速度和加速度的矢积表达式二、速度和加速度的矢积表达式将角速度与角加速度用矢量将角速度与角加速度用矢量、表示以后，转动刚表示以后，转动刚体上

41、任一点体上任一点M的速度、切向加速度和法向加速度都可以的速度、切向加速度和法向加速度都可以用矢积来表示。用矢积来表示。从转轴上的点从转轴上的点O作作M点的点的矢径矢径r=OM，并以，并以表示表示r与与z轴轴的夹角，的夹角，点点 为圆心，为为圆心，为半径。在转动过程中，半径。在转动过程中，r的模不的模不变，但其方向是不断改变的。变，但其方向是不断改变的。v=r刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 将上式代入矢量表示式将上式代入矢量表示式 中，可得点的加速度为中，可得点的加速度为 方向与方向与at一致一致 方向与方向与an一致一致 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2

42、 定轴转动定轴转动 刚体作定轴转动时，体内刚体作定轴转动时，体内任一点的速任一点的速度度等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积；等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积；任一点的切向加速度任一点的切向加速度等于刚体的角加速度等于刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积；矢与该点矢径的矢积；任一点的法向加速任一点的法向加速度度等于刚体的角速度矢与该点速度的矢积。等于刚体的角速度矢与该点速度的矢积。刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 刚刚体体以以角角速速度度绕绕定定轴轴Oz转转动动，其其上上固固连连有有动动坐坐标标系系Oxyz（如如图图），试试求求由由O点点画画出出的的动动系系轴轴向向单单位位矢矢i，j，k 端端点点A，B，C的速度。的速度。zxzyijkABCO 先求端点先求端点 A 的速度。设的速度。设 A 点的矢径为点的矢径为rA ，则则A点的速度点的速度为为A点是定轴转动刚体内的一点，点是定轴转动刚体内的一点，由式有由式有刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 可见可见但这里有但这里有故故解：解：解：解：zxzyijkABCO刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动定轴转动 于是得到一组公式于是得到一组公式它称为它称为它称为它称为泊松公式泊松公式泊松公式泊松公式。zxzyijkABCO15-1 点的运动学点的运动学