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1、提出问题引入课题 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望2.3.12.3.1平面向量基本定理实验感知实验感知 形成定理形成定理 1.观察实验观察实验 如如图图：我我们们先来看一看一个物理先来看一看一个物理实验实验，用一个力，用一个力F F将将物体拉到斜面物体拉到斜面顶顶端上去，力端上去，力F F是怎是怎样样作用于物体的呢？作用于物体的呢？FF1F2这就是说这就是说向量向量F F与向量与向量F F1 1，F F2 2不共不共线时线时它既不能用它既不能用F F
2、1 1单单独表示也不能用独表示也不能用F F2 2单单独表示而只能由独表示而只能由F F1 1与与F F2 2共同表示。共同表示。已知向量已知向量e1与与e2不共不共线线，作向量，作向量a=3 e1+2 e2 e1e2力力F F被分解被分解为为水平方向与水平方向与竖竖直方向两个力，也就是直方向两个力，也就是说说 F=F F=F1 1+F+F2 22.动手操作动手操作也就是也就是说说向量向量e1与与e2的系数是确定的，的系数是确定的，这这种表示种表示法的唯一性就是有序数法的唯一性就是有序数对对（6，4）的确定性！）的确定性！有且只有有且只有“只有只有”即这种表示法唯一。即这种表示法唯一。这一种表
3、示方法；这一种表示方法；（1 1）这这个个同同学学作作法法为为以以 ，根根据据平平行行四四边边形形法法则则得得到到 =3e1+2e2。即即向向量量 可可以以用用e1与与e2线线性表示；性表示；这这就是就是说说如果如果选选定了定了 这这两个不共两个不共线线的向量的向量为为基基准，那么向量准，那么向量“有有”即向量即向量 能够用能够用 线性表示，线性表示，OAMBNCD延长延长OC到点到点D，使得，使得CD=OC，向量向量 可以用可以用e1与与e2线性表示吗线性表示吗？OACBC图图1 OAB图图2 图图3 图图4 图图5 OABC图图6 OABCOABC（2）刚刚才同学才同学们们作的作的这这个向
4、量个向量 正好在正好在 内，内，如果在如果在 外呢？外呢？想一想，会有哪些情况？想一想，会有哪些情况？综合起来向量与向量的位置关系共有综合起来向量与向量的位置关系共有6种。如下图种。如下图 OANBCMA图图2 作作 的相反向量的相反向量 ，过点，过点C作平行于直线作平行于直线OB的直线，与直线的直线，与直线OA交于点交于点M；过点；过点C作平行于作平行于OA的直线，与直线的直线，与直线OB交于点交于点N。由向量的线性运算性。由向量的线性运算性质可知，存在实数质可知，存在实数m,n使得使得 令令 由于由于 ，所以，所以a=。每一种情况向量每一种情况向量a都能都能够够用用e1与与e2线线性表示性
5、表示吗吗 当任意向量当任意向量 在角在角 外，不妨设为图外，不妨设为图2这种情形这种情形 OABC 还是构造平行四边形，用加法的平行四还是构造平行四边形，用加法的平行四边形法则来求。那么边形法则来求。那么3，4这两种情形呢？这两种情形呢？还有还有5与与6这两种共线的情况呢？这两种共线的情况呢？零向量也能用零向量也能用e1与与e2线性表示吗？怎么表线性表示吗？怎么表示？示？（3）这么说在以向量）这么说在以向量 所确定的平面中任意所确定的平面中任意一个向量都能够用一个向量都能够用 唯一地线性表示唯一地线性表示 如果如果e1与与e2是是同一平面内同一平面内的的两个不两个不共线共线的向量，那么对于这一
6、平面内的的向量，那么对于这一平面内的任任意向量意向量 a 有且只有一对有且只有一对有序有序 实数实数1、2，使得，使得 a=1e1+2e2平面向量基本定理：平面向量基本定理：开放探究开放探究 深化认知深化认知 1.从文字上来看有哪些关键字和词要注意？从文字上来看有哪些关键字和词要注意？e1与与e2在在同一平面同一平面内内 e1与与e2不共线不共线 向量向量a是是“任意的任意的”这里向量这里向量a的任意性其实质体现了一种化归的思的任意性其实质体现了一种化归的思想和方法，它说明了我们可以把对平面中所有向想和方法，它说明了我们可以把对平面中所有向量的研究都转化为与基底有关的问题来研究。量的研究都转化
7、为与基底有关的问题来研究。2.在字符表示的式子中，有哪些量？向量在字符表示的式子中，有哪些量？向量e1与与e2具有怎样的位置关系？具有怎样的位置关系？向量向量e1与与e2不共不共线线 如如图图，把它，把它们们平移到同一起点后会形成一个平移到同一起点后会形成一个角，角，这这个角个角对对我我们们今后的研究有很多帮助，所以今后的研究有很多帮助，所以这这里我里我们给们给它取个名字叫向量它取个名字叫向量e e1 1与与e e2 2的的夹夹角。即：角。即：两个非零向量两个非零向量 和和 ,作作 ，,则则叫做向量叫做向量 和和 的的夹角夹角OAB注意注意:两向量必须是两向量必须是同起点同起点的的夹角的范围：
8、夹角的范围：与与 反向反向OAB记作记作与与 垂直，垂直，OAB 与与 同向同向OAB特别的：特别的：有时，向量有时，向量e1与与e2的夹角就用符号的夹角就用符号表示表示 想一想想一想，向量的夹角的范围是多少？，向量的夹角的范围是多少？ABC【例【例1】如图，在】如图，在Rt 中中,，分分别求向量别求向量 的夹角的夹角DE3.向量向量e1与与e2的作用是什么？的作用是什么？（1）确定了一个平面）确定了一个平面 （2）平面中的其它向量都以它）平面中的其它向量都以它们为基准们为基准 我们把不共线的向量我们把不共线的向量e1、e2叫叫做表示这一平面内所有向量的一组做表示这一平面内所有向量的一组基底基
9、底 基底的两个特征：基底的两个特征：非零及不共线非零及不共线 想一想想一想平面上任一向量的基底有多少组？平面上任一向量的基底有多少组？当基底确定后向量的表示是否唯一？当基底确定后向量的表示是否唯一？同一个向量在不同的基底下其表示方法同一个向量在不同的基底下其表示方法是否一样？是否一样？（1）设）设 ，=a则表示方法的唯一性则表示方法的唯一性体现了有序数对的唯一性即：体现了有序数对的唯一性即：，（2）根据以上分析可以看出平面向量基本定理提供）根据以上分析可以看出平面向量基本定理提供了向量由形向数转化的理论依据，为向量的研究提了向量由形向数转化的理论依据，为向量的研究提供了更广阔的背景。正是这一点
10、我们才有理由叫它供了更广阔的背景。正是这一点我们才有理由叫它为平面向量的基本定理。为平面向量的基本定理。向向 量量 有序数对有序数对（1，2）一一对应一一对应在在 基基 底底 ，下下 4如何确定如何确定1与与2的值？的值？前面我们讨论了与前面我们讨论了与0向量对应的一对有向量对应的一对有序实数为（序实数为（0，0）那么非零向量呢？）那么非零向量呢？【例【例2】如图，已知向量】如图，已知向量 与向量与向量 ，的夹角的夹角分别为分别为 且且 10，6，4.试求试求1，2使使得得 =+。解析：解析：因为因为OA与与OB垂直，所以过垂直，所以过C作作OA的垂线，垂的垂线，垂足为足为M，由，由 COM=
11、及及 10得到得到 10cos =5 ,5,=，0，=，同理可得同理可得 ，即，即 =+。MCBAO3060 试用试用 ，表示表示 和和 。=+=+=+=-=-=+=+=+=-=-课堂演练课堂演练,应用新知应用新知【例【例3】如图，在平行四边形】如图，在平行四边形ABCD中，中，E、F分别分别是是BC、DC的中点，的中点，。DFCABE本题归纳小结：本题归纳小结：1此类题目的关键是找所求向量与基底间此类题目的关键是找所求向量与基底间的关系，常通过观察图形，运用向量加减法的关系，常通过观察图形，运用向量加减法的平行四边形法则和三角形法则来寻求。的平行四边形法则和三角形法则来寻求。2.如果出现中点
12、或线段比要充分利用中位线如果出现中点或线段比要充分利用中位线定理或相似比来求并且常常要应用运算法则定理或相似比来求并且常常要应用运算法则来重新组合。来重新组合。课堂小结课堂小结,巩固新知巩固新知 主要内容：主要内容：一个定理（平面向量基本定理）；一个定理（平面向量基本定理）；其一，将一般向量化其一，将一般向量化为为特殊的基向量来特殊的基向量来处处理；理；两个概念（基底与向量的两个概念（基底与向量的夹夹角）；角）；一种思想（一种思想（转转化与化化与化归归思想）思想）内涵有二：内涵有二：其二，其二，顺顺利利实现实现了由形向数的了由形向数的转转化化两种两种题题型（垂直型与比例型）型（垂直型与比例型）ABCDEFO1.探究：在【例探究：在【例 3】中设线段】中设线段DE与与BF相交于点相交于点O，试，试用用 ，表示表示 。2.作业作业P102 第第4题。题。