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1、复变函数与积分变换第2章 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望&1.复变函数的定义复变函数的定义&2.映射的概念映射的概念&3.反函数或逆映射反函数或逆映射2.1 复变函数复变函数复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。A.L.Cauchy A.L.Cauchy（1789-1866)1789-1866)和和K.Weierstrass(1815-K.Weierstrass(1815-1897)1897)分别应用积分和级数研究
2、复变函数，分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论
3、物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。的联系也日益密切。1.复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似定义定义A分类：分类：例例1例例2oxy(z)ouv(w)EGw=f(z)在几何上，在几何上，w=f(z)可以看作：可以看作：定义域定义域 值域值域 2.映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)wA 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。A 在复变函数中在复变函数中,用两个复平面上点集之间的用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对
4、应关系来表达两对变量 x，y与与 u，v 之间的对应关系。以便在研究和理解复变之间的对应关系。以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）例例3解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射见图见图1-11-2例例4乘法的模与辐角定理乘法的模与辐角定理oxy(z)x、uy、v(z)、(w)o图图1-1图图1-2uv(w)o例例4oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4例例5 5、求下列曲求下列曲线线在映射在映射下的象下的象 消消 x,y 建立建立 u,v 所所满满足
5、的象曲足的象曲线线方程或由两方程或由两个个实实二元函数反解解得二元函数反解解得 x=x(u,v),y=y(u,v）后，后，代入原象曲代入原象曲线线方程即得象曲方程即得象曲线线方程方程.（2 2）代入原象曲代入原象曲线线方程，得方程，得w平面内的一条直平面内的一条直线线。3.反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射为多值函数为多值函数,2支支.定义定义 设设 w=f(z)的定义域为的定义域为E,值域为值域为G则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数或的反函数或逆映射逆映射,1.已知映射已知映射w=z3，求区域，求区域 0argz
6、在平面在平面w上的象。上的象。&1.函数的极限函数的极限&2.运算性质运算性质&3.函数的连续性函数的连续性2 复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性1.函数的极限函数的极限定义定义uv(w)oAxy(z)o几何意义几何意义:当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中A (1)(1)定义中定义中,的方式是任意的的方式是任意的.与一与一 元实变函数相比较要求更高元实变函数相比较要求更高.(2)A是复数是复数.2.运算性质运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限
7、与其实部和虚部极限的关系：定理定理2.1(3)若若f(z)在在 处有极限处有极限,其极限其极限是唯一的是唯一的.定理定理2.2A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证!例例1例例2证证(一一)例例3根据定理根据定理2.1可知可知,证证(二二)3.函数的连续性函数的连续性定义定义2.3定理定理2.5例如例如,定理定理2.3,2.4 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商(分母不为分母不为0)仍为连续函数仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。连续函数的复合函数仍为连续函数。有界性：有界闭区域上连续函数的最大（小）模原理有界性：有界闭区域上连续函数的最大（小）模原理作业P411
8、;2(1)(3);3;4;5&1.复变函数的导数定义复变函数的导数定义&2.解析函数的概念解析函数的概念2.2 解析函数的概念解析函数的概念 一一.复变函数的导数复变函数的导数(1)导数定义导数定义定义定义2.4 设函数设函数w=f(z)zD,且且z0、z0+zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f(z)在点在点z0处可导处可导,称此极限值为称此极限值为f(z)在在z0的导数，的导数，记作记作 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则称f(z)在区域在区域D内可导内可导。例例1 解解A (1)(1)z z00是在平面区域上以任意方式趋于零。是在平面区域上以
9、任意方式趋于零。A (2)(2)z=z=x+iy,x+iy,z=z=x+iy,f=f(z+z)-f(z)x+iy,f=f(z+z)-f(z)例例2(2)求导公式与法则求导公式与法则 常数的导数常数的导数 c=(a+ib)=0.(zn)=nzn-1 (n是自然数是自然数).-实函数中求导法则的推实函数中求导法则的推广广 设函数设函数f(z),g(z)均可导，则均可导，则 f(z)g(z)=f (z)g(z)，f(z)g(z)=f (z)g(z)+f(z)g(z)复合函数的导数复合函数的导数(f g(z)=f (w)g(z)，其中其中w=g(z)。反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中:w=f(z
10、)与与z=h(w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且h(w)0。例例4 问：函数问：函数f(z)=x+2yi是否可导？是否可导？例例3解解解解A (1)(1)复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为多，这是因为z z00是在平面区域上是在平面区域上 以任意方式趋于零的缘故。以任意方式趋于零的缘故。(2)(2)在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举但在复变函数中，却轻而易举。&思
11、考题思考题?(3)可导与连续可导与连续若若 w=f(z)在点在点 z0 处可导处可导 w=f(z)点点 z0 处连续处连续.反过来不成立，反过来不成立，例如：函数例如：函数f(z)=x+2yi在整个平面在整个平面上处处连续但处处不可导。上处处连续但处处不可导。(4)微分的概念微分的概念 复变函数微分的概念在形式上与一元实变复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微分概念完全一致.定义定义特别地特别地,可微可微 可导可导 连续连续 有定义有定义极限存在极限存在 “同生死，共存亡同生死，共存亡”。二二.解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数如果函数w=f(z)在在z
12、0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则称可导，则称f(z)在在z0解析；解析；如果如果f(z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 f(z)在在D内解析，或称内解析，或称f(z)是是D内的解析函内的解析函数数 (全纯函数或正则函数）。全纯函数或正则函数）。A (1)w=f(z)在在 D 内解析内解析 在在D内可导。内可导。(2)函数函数f(z)在在 z0 点可导，未必在点可导，未必在z0解析。解析。如果如果f(z)在点在点z0不解析，但在不解析，但在 的任一邻域内总有的任一邻域内总有f(z)的解析点，就称的解析点，就称z0是是f(z)的奇点。的奇点。例例5 证明
13、证明 f(z)=zRez只在只在z=0处才可导。处才可导。证明证明例如例如(1)w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数；上的解析函数；定理定理2.6（1）设设w=f(z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，则内的解析函数，则 f(z)g(z)，f(z)g(z)及及 f(z)g(z)(g(z)0时时)均是均是D内的解析函数。内的解析函数。(2)w=1/z，除去，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函点外，是整个复平面上的解析函数数,z=0为它的奇点为它的奇点；(3)w=zRez 在整个复平面上处处不解析在整个复平面上处处不解析(见
14、见例例5)。定理定理 2.6(2)设设 w=f(h)在在 h 平面上的区域平面上的区域 G 内解析内解析,h=g(z)在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析内解析,h=g(z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数，则复合函数w=f g(z)在在D内处处解析。内处处解析。&1.函数解析的充要条件函数解析的充要条件&2.举例举例2.3 函数可导与解析的充要条函数可导与解析的充要条件件 如果复变函数如果复变函数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定在定义域义域 D内处处可导，则函数内处处可导，则函数 w=f(z)在在 D内解析。内解析。本节从函数本节从函数 u(x,y)及及 v
15、(x,y)的可导性，探的可导性，探求求函数函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题问题 如何从函数的实部与虚部判断的解析性呢？如何从函数的实部与虚部判断的解析性呢？称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-R方程方程).定义定义2.6 对于二元实函数对于二元实函数u(x,y)，v(x,y),方程方程一一.解析函数的充要条件解析函数的充要条件A 记忆记忆定理定理2.7 设设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在 D 内有定义，内有定义，则则 f
16、(z)在点在点 z=x+iy D处可导的充要条件是处可导的充要条件是 (1)u(x,y)和和 v(x,y)在点在点(x,y)可微，可微，(2)u(x,y)和和 v(x,y)满足满足Cauchy-Riemann方程方程当上述条件满足时当上述条件满足时,有有证明证明（由由f(z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证！只须方程满足上面已证！只须证证 f(z)的可导的可导 函数函数 u(x,y)、v(x,y)可微可微）。）。函数函数 w=f(z)点点 z可导，即可导，即则则 f(z+z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1),且且u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i 2)(x+iy)=(a
17、x-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令：令：f(z+z)-f(z)=u+iv，f (z)=a+ib，(z)=1+i 2 故（故（1）式可写为）式可写为因此因此 u=ax-by+1x-2y,v=bx+ay+2x+1y所以所以u(x,y)，v(x,y)在点在点(x,y)处可微处可微.（由函数（由函数u(x,y),v(x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f(z)在点在点z=x+iy处可导）处可导）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)点可微，即：点可微，即：定理定理2.8 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在D内解析充要内解析充要 条件
18、是条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在D内可微，且内可微，且 满足满足Cauchy-Riemann方程方程A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系.当一个函数可导时当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来.A 利用该定理同样可以判断哪些函数是不可导的利用该定理同样可以判断哪些函数是不可导的.其中其中C-RC-R方程是复变函数可导的主要条件。方程是复变函数可导的主要条件。可导或解析的充分条件可导或解析的充分条件使用时使用时:i)判别判别 u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，偏导数的连续性，i
19、i)验证验证C-R条件条件.iii)求导数求导数：A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函并不是两个实函数分别关于数分别关于x,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的.二二.举例举例例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析：解解(1)设设z=x+iy w=x-iy u=x,v=-y 则则解解(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则则 u=excosy,v=exsiny仅在点仅在点z=0处满足处满足C-R条件，故条件，故解解(3)设设z
20、=x+iy w=x2+y2 u=x2+y2,v=0 则则解析函数的判定方法解析函数的判定方法:例例2 证明证明参照以上例题可进一步证明参照以上例题可进一步证明:练习练习 求证函数求证函数证明证明 由于在由于在z0处，处，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数，都是可微函数，且满足且满足C-R条件：条件：故函数故函数w=f(z)在在z0处解析，其导数为处解析，其导数为练习练习:a=2,b=-1,c=-1,d=2例例4 如果如果f(z)=u(x,y)+i v(x,y)是一解析函数，是一解析函数，且且f (z)0，那么曲线族，那么曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，这里必互相正
21、交，这里C1、C2常数常数.那么在曲线的交点处，那么在曲线的交点处，i)uy、vy 均不为零时，均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy,uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交，即：两族曲线互相正交.ii)uy，vy中有一为零时，不妨设中有一为零时，不妨设uy=0，则，则k1=，k2=0（由（由C-R方程）方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条
22、是铅直的一条是铅直的,它们仍互相正交。它们仍互相正交。作业作业P426;7(2);8;9(1)&1.指数函数指数函数&2.对数函数对数函数&3.乘幂与幂函数乘幂与幂函数&4.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数&5.反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数2.3 初等函数初等函数1.定义定义2.7 对任何复数对任何复数z=x+iy,用关系式用关系式2.指数函数的基本性质指数函数的基本性质一一.指数函数指数函数A 这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。A 例例1例例2例例3二二.对数函数对数函数定义定义2.8 指数函数的反函数称为对数函数。即，指数函数的反函数称为对
23、数函数。即，(1)对数的定义对数的定义故故例例4特别特别A (2)对数函数的性质对数函数的性质见见P21例例2.3q 幂函数幂函数zb当当b=n(正整数正整数)w=z n 在整个复平面上是单值解析函数在整个复平面上是单值解析函数三三.幂函数幂函数 除去除去b为正整数外为正整数外,为多值函数，为多值函数，当当b为无理数或复数时，为无穷多值。为无理数或复数时，为无穷多值。q 乘幂乘幂abA 多值多值一般为多值一般为多值解解例例5四四.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数推广到复变数情形推广到复变数情形定义定义2.10q正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质其它三角函数的定义其它三角函数的定义定义
24、定义称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质1.反三角函数的定义反三角函数的定义两端取对数得两端取对数得五、反三角函数和反双曲函数五、反三角函数和反双曲函数 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤重复以上步骤,可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定义反双曲函数的定义例例1414解解小结与思考小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基它既保持了后者的某些基本性质本性质,又有一些与后者不同的特性又有一些与后者不同的特性.如如:1.指数函数具有周期性指数函数具有周期性2.负数无对数的结论不再成立负数无对数的结论不再成立3.三角正弦与余弦不再具有有界性三角正弦与余弦不再具有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数双曲正弦与余弦都是周期函数A 重点：指数函数、对数函数、三角函数重点：指数函数、对数函数、三角函数作业P4213(4);15(3);17(3);18(2)