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1、多元函数基本概念多元函数基本概念第一页，讲稿共四十三页哦（1）邻域）邻域一、多元函数的概念一、多元函数的概念第二页，讲稿共四十三页哦（2）区域）区域例如，例如，即为开集即为开集第三页，讲稿共四十三页哦第四页，讲稿共四十三页哦连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如，第五页，讲稿共四十三页哦有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，第六页，讲稿共四十三页哦（3）n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为说明：说明：说明：说明：n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 设设n为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们称 n元数组元数
2、组),(21nxxxL的全体为的全体为n维空间，而每个维空间，而每个 n元元数组数组),(21nxxxL称为称为n维空间中的一个点，维空间中的一个点，数数ix称为该点的第称为该点的第 i个坐标个坐标.第七页，讲稿共四十三页哦 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域等概念也可定义内点、边界点、区域等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为第八页，讲稿共四十三页哦（4）二元函数的定义）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数二元函数的定义域二元
3、函数的定义域第九页，讲稿共四十三页哦例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为第十页，讲稿共四十三页哦（）（）二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）第十一页，讲稿共四十三页哦二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.第十二页，讲稿共四十三页哦例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,图型是球面图型是球面.单值分支单值分支:第十三页，讲稿共四十三页哦二、二元函数的极限二、二元函数的极限第十四页，讲稿共四十三页哦说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元
4、函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似注意注意：当：当P以不同的方式趋于以不同的方式趋于P0点时，函数值趋点时，函数值趋于不同的值，则可断定于不同的值，则可断定P趋于趋于P0时极限不存在。时极限不存在。第十五页，讲稿共四十三页哦确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：第十六页，讲稿共四十三页哦例例2 2 求证求证 证证第十七页，讲稿共四十三页哦二元函数与一元函数求极限的方法类似。二元函数与一元函数求极限的方法类似。第十八页，讲稿共四十三页哦练习证明练习证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在第十九页，讲稿
5、共四十三页哦三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性定义定义3 3第二十页，讲稿共四十三页哦例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续第二十一页，讲稿共四十三页哦二元函数在其定义域区域内也是连续函数。二元函数在其定义域区域内也是连续函数。二元初等函数定义二元初等函数定义可以用一个式子表示的二元函数，这个式子是由常可以用一个式子表示的二元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算及复合运算而成
6、的。次的四则运算及复合运算而成的。一切二元初等函数在其定义域区域内连续。一切二元初等函数在其定义域区域内连续。定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域第二十二页，讲稿共四十三页哦例例8 8解解第二十三页，讲稿共四十三页哦闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至上至少取得它的最大值和最小值各一次少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D
7、D上取得介上取得介于这两值之间的任何值至少一次于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理第二十四页，讲稿共四十三页哦多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义第二十五页，讲稿共四十三页哦思考题思考题第二十六页，讲稿共四十三页哦思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.因为，取因为，取第二十七页，讲稿共四十三页哦练练 习习 题题第二十八页，讲稿共四十三页哦第二十九页，讲稿共四十三页哦第三十页，讲稿共四十三页哦练习题答案练习题答案第三十一页，讲稿共四十三页哦