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1、二章随机变量 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 关于随机变量关于随机变量(及向量及向量)的研究，是概率论的的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是
2、一种动态的观点，一如数象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是个更高的理论体系，其基础概念是随机变量随机变量2.12.1随机变量的概念随机变量的概念(p24)定义定义.设设S=eS=e是试验的样本空是试验的样本空间，如果量间，如果量X X是定义在是定义在S S上的一个单上的一个单值实值函数即对于每一个值实值函数即对于每一个e e S
3、 S，有一，有一实数实数X=X(e)X=X(e)与之对应，则称与之对应，则称X X为为随机随机变量变量。随机变量随机变量常用常用X X、Y Y、Z Z 或或 、等表示。等表示。随机变量的特点随机变量的特点:1 X X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2 X X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件随机变量的分类随机变量的分类：随机变量随机变量2.22.2离散型随机变量离散型随机变量(P25)(P25)定义定义 若随机变量若随机变量X取值取值x1,x2,xn,且取这些值的概率依次为且取这些值的概率依次为p1,p2,pn,则称则称X为离散型随机变量，而称为离散型
4、随机变量，而称PX=xk=pk,(k=1,2,)为为X的的分布律分布律或概率分布。可表为或概率分布。可表为 X PX=xk=pk,(k=1,2,)，或或(1)pk 0,k1,2,;(2)几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1.(0-1)分布分布(p26)若以若以X表示进行一次试验事件表示进行一次试验事件A发生的次数，则称发生的次数，则称X服从服从(01)分布分布(两点分布两点分布)XPXkpk(1p)1k,(0p1时时,X的全部取值为的全部取值为:m,m+1,m+2,PX=m+1=P第第m+1次试验时成功并且次试验时成功并且 在前在前m次试验
5、中成功了次试验中成功了m-1次次2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念.定义定义(P29)(P29)设设X是是随机变量，对任意实数随机变量，对任意实数x，事，事件件X x的概率的概率PX x称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。记为记为F(x)，即，即 F(x)P X x.易知，对任意实数易知，对任意实数a,b(ab),P aX bPX bPX a F(b)F(a).二、分布函数的性质二、分布函数的性质(P29)1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2,则则F(x1)F(x2);2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x)1，且
6、且 3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质。一般地，对离散型随机变量一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为其分布函数为 解解X012P0.1 0.6 0.3试求出试求出X的分布函数的分布函数。例例2 向向0,1区间随机抛一质点，以区间随机抛一质点，以X表示质点坐表示质点坐标标.假定质点落在假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，
7、求率与区间长成正比，求X的分布函数的分布函数解：解：F(x)=PXx 当x1时,F(x)=1当0 x1时,特别,F(1)=P0 x1=k=12.4 连续型随机变量一、概率密度一、概率密度 1.定义定义(p33)对于随机变量对于随机变量X，若存在非负函，若存在非负函数数f(x)，(-x+)，使对任意实数使对任意实数x，都有，都有则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，f(x)为为X的的概率概率密度函数密度函数，简称概率密度或密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为常记为X f(x),(-x+)密度函数的密度函数的几何意义几何意义为为2.密度函数的性质密度函数的性质(p34)(1)非负性非负
8、性 f(x)0，(-x)；(2)归一性归一性性质性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；是密度函数的充要性质；设随机变量X的概率密度为求常数a.答:(3)若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则设随机变量X的分布函数为求f(x)（4 4）对任意实数对任意实数b b，若若X X f(x)f(x)，(-(-xx)，则则PX=PX=b b 0 0。于是于是二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布1.均匀分布均匀分布(p36)若Xf(x)则称则称X在在(a,b)内服从均匀分布。记作内服从均匀分布。记作 XU(a,b)对任意实数对任意实数c,d(acd0的指数分布。的指数分布。其分布函数为其分
9、布函数为解解解当t 0时，当t 0时，=1-在在t t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥于是3.正态分布正态分布ABA，B间真实距离为间真实距离为，测量值为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？其中其中 为实数，为实数，0，则称，则称X服从参数为服从参数为 ,2的的正态正态分布分布,记为记为N(,2)，可表为可表为XN(,2).若随机变量随机变量(1)单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=对称对称；(p38)f()maxf(x).正态分布有两个特性正态分布有两个特性：4.标准正态分布标准正态分布(p38)参数参数 0，21的正态分布称为的正态分布称为标准正态分标准正态分布
10、，记作布，记作XN(0,1)。分布函数表示为分布函数表示为其其密度函数密度函数表示为表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅供读者查阅(x)的值。的值。(P226附表附表1)如，若如，若ZN（0，1）,（0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注注：(1)(x)1(x)；(2)若XN(,2)，则正态分布表设随机变量设随机变量XN(-1,22),P-2.45X3|X|3的值的值.如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值33 作两作两条线，当生产过程的指标观察值落
11、在两线之外条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报时发出警报.表明生产出现异常表明生产出现异常.正态分布表(p67)14 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布态分布(100,15(100,152 2),),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件，三个个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初求：使用的最初9090小时小时内无一元件损坏的概率内无一元件损坏的概率.解:设设Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数,故则YB(3,p)其中正态分布表 2.5 2.5 一维随机变量函
12、数的分布一维随机变量函数的分布(p55)设设X一个随机变量，分布律为一个随机变量，分布律为 XPXxkpk,k1,2,若若yg(x)是一元单值实函数，则是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随也是一个随机变量。求机变量。求Y的分布律的分布律.例例:已知已知XPk-1 0 1求：求：Y=X2的分布律的分布律YPk1 0 或或 Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,（其中其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）有相同的，其对应概率合并。）一般地一般地XPkY=g(X)二、连续型随机变量函数的密度函数二、连续型随机变量函数的密度函数 1 1、一般方法、一般方法(p56)(p56)若若Xf(x),
13、-Xf(x),-x+x+,Y=g(X),Y=g(X)为随机变量为随机变量X X 的函数，则可先求的函数，则可先求Y Y的分布函数的分布函数 FY(y)PY yP g(X)y 然后再求然后再求Y的密度函数的密度函数此法也叫此法也叫“分布函数法分布函数法”当y0时当0y1时当y1时2、公式法：一般地 若XfX(x),y=g(x)是单调可导函数，则 注注：1 1 只有当只有当g(x)g(x)是是x x的单调可导函数时，才可用以的单调可导函数时，才可用以上公式推求上公式推求Y Y的密度函数。的密度函数。2 2 注意定义域的选择注意定义域的选择其中h(y)为yg(x)的反函数.的概率密度关于x严单,反函
14、数为故例例4 4 设设XU(0,1),XU(0,1),求求Y=ax+bY=ax+b的概率密度的概率密度.(a0).(a0)解解:Y=ax+bY=ax+b关于关于x严单严单,反函数为反函数为故而故小结.习题课习题课一、填空：一、填空：1.设随机变量设随机变量X服从参数为（服从参数为（2,p）的二项分布，）的二项分布，随机变量随机变量Y服从参数（服从参数（3,p）的二项分布，若）的二项分布，若 ，则则PY1=2.设随机变量设随机变量X服从（服从（0，2）上的均匀分布，则随）上的均匀分布，则随机变量机变量Y=X2在（在（0，4）内的密度函数为）内的密度函数为fY(y)=3.设随机变量设随机变量XN（
15、2，2 2），且），且P（2X4）=0.3，则，则P(X0)=二二.从某大学到火车站途中有从某大学到火车站途中有6 6个交通岗个交通岗,假设在各假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的并且遇到红灯的概率都是概率都是1/3.1/3.以以Y Y表示汽车在第一次停止之前所通表示汽车在第一次停止之前所通过的交通岗数过的交通岗数,求求Y Y的分布律的分布律.(.(假定汽车只在遇到假定汽车只在遇到红灯或到达火车站时停止红灯或到达火车站时停止)三、三、某射手对靶射击，单发命中概率都为某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射
16、击他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率。几发，求他恰好命中两发的概率。求：求：Y=1-XY=1-X2 2的概率密度的概率密度2.6 二维随机变量的联合分布一、多维随机变量 (p41)设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称 F(x,y)=PXx,Yy为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。二.联合分布函数联合分布函数几何意义：几何意义：分布函数分布函数F()表示随机点表示随机点(X,Y)落在区域落在区域 中的概率。如图阴影部分：中的概率。如图阴影部分：(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)且(1)归一性归一性 对任意(x,y)
17、R2,0 F(x,y)1,(2)单调不减单调不减 对任意y R,当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意x R,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2).(3)右连续右连续 对任意xR,yR,反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。1)求常数A，B，C。2)求P0X2,0YY求：求：(1)(1)常数常数A A；(2)F(1,1)(2)F(1,1)；(3)(X,Y)(3)(X,Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0,y0,y 0,2X+3y0,2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。例例4.设解(1)由归一性(3)(
18、X,Y)(3)(X,Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0,y0,y 0,2X+3y0,2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。解 3.两个常用的二维连续型分布两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布二维均匀分布(p45)若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为则称则称(X,Y)在区域在区域D上上(内内)服从均匀分布。服从均匀分布。易见，若（易见，若（X，Y）在区域）在区域D上上(内内)服从均匀分布，服从均匀分布，对对D内任意区域内任意区域G，有，有其中，其中，1、2为实数，为实数，10、20、|1，则称，则称(X,Y)服从参数为服从参数为 1,2,1,2
19、,的的二维正态分布，可记为二维正态分布，可记为 (2)二维正态分布二维正态分布N(1,2,1,2,)若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为(P101)定义定义2.4.6.n2.4.6.n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)，如果存在非负的如果存在非负的n n元函数元函数f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n)使对任意的使对任意的n n元立方体元立方体定义定义2.4.7.2.4.7.若若(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)的全部可能取值为的全部可能取值为R Rn n上的有限或可列无穷多个点，称上的有限或可列无穷多个点
20、，称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)为为n n维离散型的，称维离散型的，称PXPX1 1=x=x1,1,X X2 2=x=x2 2,.X,.Xn n=x=xn n ，(x(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n)为为n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)的联合分布律。的联合分布律。则称则称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)为为n n维连续型随机变量，称维连续型随机变量，称f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n)为为(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)的概率密度。的概率密度。EX:EX:随机变量（随机变量
21、（X X，Y Y）的概率密度为）的概率密度为xyD答答:PXPX 0=00=0FY(y)F(+,y)PYy 称为称为二维随机变量二维随机变量(X,Y)关于关于Y的边缘分布函数的边缘分布函数.2.7.边缘分布与独立性边缘分布与独立性一、边缘分布函数一、边缘分布函数(p46)(p46)FX(x)F(x,+)PXx称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)关于关于X的边缘分布函数；的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些某些)低维分量的分布低维分量的分布。例例1.已知已知(X,Y)的分布函数为的分布函数为 求求FX(x)与与FY(y)。二、边缘分布律
22、二、边缘分布律若随机变量若随机变量X与与Y的联合分布律为的联合分布律为(p47)(X,Y)PXxi,Y yj,pij，i,j1,2,则称则称 PXxipi.，i1,2,为为(X,Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律；PY yjp.j ，j1,2,为为(X,Y)关于关于Y的边缘分布律。的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。边缘分布律自然也满足分布律的性质。例例2.已知已知(X,Y)的分布律为的分布律为xy10 11/10 3/100 3/10 3/10求求X、Y的边缘分布律。的边缘分布律。解：解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故关于故关于X和和Y的分
23、布律分别为：的分布律分别为：X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/5三、边缘密度函数三、边缘密度函数为为(X,Y)关于关于Y的边缘密度函数。的边缘密度函数。设设(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,则称则称(p48)(p48)为为(X,Y)关于关于X的边缘密度函数；的边缘密度函数；同理，称同理，称易知易知N(1,2,12,22,)的边缘密度函数的边缘密度函数fX(x)是是N(1,12)的密度函数，而的密度函数，而fX(x)是是N(2,22)的密度函的密度函数，故数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布二维正态分布的边缘分布也是正态分布。例例3.3.设设(X,Y)(
24、X,Y)的概率密度为的概率密度为（1 1）求常数）求常数c;(2)c;(2)求关于求关于X X的边缘概率密度的边缘概率密度解解:(1)由归一性由归一性x=yx=-y四、随机变量的相互独立性四、随机变量的相互独立性由上述定理可知，要判断两个随机变量由上述定理可知，要判断两个随机变量X X与与Y Y的独立性，只需求出它们各自的边缘的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对分布，再看是否对(X,Y)(X,Y)的每一对可能取值的每一对可能取值点点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可边缘分布的乘积都等于联合分布即可EXEX：判断例：判断例1 1、例、例2 2、例、例3 3中的中的X X与与Y Y是否
25、相互独立是否相互独立例例(p50).已知随机变量已知随机变量(X,Y)的分布律为的分布律为且知且知X与与Y独立，求独立，求a、b的值。的值。例例4.(p51)4.(p51)甲乙约定甲乙约定8:008:00 9:009:00在某地会面。设两人都随机地在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待到者最多等待1515分钟过时不候。分钟过时不候。求两人能见面的概率求两人能见面的概率。定义定义.设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,.Xn)的分布函数为的分布函数为F(x1,x2,.xn),(X1,X2,.Xn)的的k（1 k0,则称同理，同理，对固定的i,
26、pi.0,称为X xi的条件下，Y的条件分布律条件分布律;EXEX.设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律.二 连续型随机变量的条件概率密度定义.给定y，设对任意固定的正数0，极限存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数.记作可证当 时 若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则由(3.3.3)知,当 时，.类似定义，当 时例2.已知(X,Y)的概率密度为(1)求条件概率密度(2)求条件概率xy1解:=p552.8 多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布一、一、二维离散型
27、随机变量函数的分布律二维离散型随机变量函数的分布律设二维离散型随机变量（X，Y），(X,Y)P(Xxi,Yyj)pij，i,j1,2,则 Zg(X,Y)PZzk pk,k1,2,(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp12p13p14Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或 EXEX 设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为 X 0 1 P q p (1)求WXY的分布律;(2)求Vmax(X,Y)的分布律；(3)求Umin(X,Y)的分布律。(4)求w与V的联合分布律。(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijWXY
28、Vmax(X,Y)Umin(X,Y)011201110001VW0 10 1 2000二、多个随机变量函数的密度函数二、多个随机变量函数的密度函数1、一般的方法：、一般的方法：分布函数法分布函数法(p60)若(X1,X2,Xn)f(x1,x2,xn),(x1,x2,xn)Rn,Y=g(X1,X2,Xn),则可先求Y的分布函数:然后再求出Y的密度函数:2、几个常用函数的密度函数 (1)和的分布 已知(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,求ZXY的密度。z x+y=z x+y z 若X与Y相互独立，则ZXY的密度函数 例1.设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2
29、）分布。一般地，设随机变量X1,X2，.,Xn独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,.,n,则p62例2.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则由题意,令查表得 (2)商的分布 已知(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,求Z 的密度。y G1 0 x G2特别，当X，Y相互独立时，上式可化为 其中fX(x),fY(y)分别为X和Y的密度函数。3、极大、极大(小小)值的分布值的分布 设X1,X2,Xn相互独立，其分布函数
30、分别为F1(x1),F2(x2),Fn(xn)，记MmaxX1,X2,Xn,NminX1,X2,Xn 则，M和N的分布函数分别为：FM(z)F1(z)Fn(z)特别，当X1,X2,Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 FM(z)F(z)n;FN(z)11F(z)n.进一步地，若X1,X2,Xn独立且具相同的密度函数f(x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出 fM(z)nF(z)n1f(z)；fN(z)n1F(z)n1f(z).例3.设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为其中0，0,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度小结小结