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1、微分方程的稳定性补充微分方程的稳定性补充 1.微分方程模型在微分方程模型在 模型分析模型分析 中的主要问题之一中的主要问题之一 稳定性分析稳定性分析用微分方程方法建立的动态模型问题用微分方程方法建立的动态模型问题，模型分模型分析析中的一个重要问题是：中的一个重要问题是：（1）微分方程模型的稳定性及其实际意义 当时间充分长后当时间充分长后 ，动态过程的，动态过程的 变化趋势变化趋势 是什么？是什么？如果存在某个邻域，使微分方程的解如果存在某个邻域，使微分方程的解x(t)从这个邻从这个邻域内的某个点域内的某个点x(0)出发出发，满足满足:则称微分方程则称微分方程的的平衡点平衡点是是稳定稳定的；的；
2、如果存在某个邻域，使微分方程的解如果存在某个邻域，使微分方程的解 x(t)，y(t)从这个邻域内的某个点从这个邻域内的某个点 x(0)，y(0)出发出发，满足满足:则称微分方程则称微分方程的的平衡点平衡点是是稳定稳定的。的。上述上述一阶自治方程一阶自治方程和和二阶自治方程组二阶自治方程组解的解的稳定性理论稳定性理论结果可简介如下：结果可简介如下：非线性方程非线性方程(一个方程一个方程)情况情况形式形式:x(t)=f(x(t)平衡点平衡点:解 f(x)=0,得 x=x0.注意:有时该方程的根不止一个.稳定意义稳定意义:当当t 时时,若若x x0,则称则称 x0是稳定的是稳定的平衡点平衡点;否则称
3、否则称 x0是不稳定平衡点是不稳定平衡点.由此由此,当当 f(x0)0 时时,x x0;当当 f(x0)0 时时,x +.(c)一阶一阶非非线线性性问题问题的的稳稳定性定性结论结论:根据有关数学理根据有关数学理论论,一阶一阶非非线线性性问题问题的的稳稳定性在非定性在非临临界情况下，与界情况下，与一阶一阶线线性性问题结论问题结论完全相同完全相同.研究方法研究方法:(a)作作f(x)的线性替代的线性替代(利用一元函数的泰勒展开式利用一元函数的泰勒展开式):f(x)f(x0)(x-x0)+f(x0)=f(x0)(x-x0);(b)线性问题研究线性问题研究:求解求解x=f(x0)(x x0),解得解得
4、非线性方程非线性方程(两个方程两个方程)组情况组情况 平衡点平衡点:解解 f(x,y)=0,得得 x=x 0 g(x,y)=0,y=y 0 .y(t)=g(x(t),y(t)形式形式:x(t)=f(x(t),y(t),稳稳定意定意义义:当当 t +时时,如如 x x0,y y0,则则称称 (x0,y0)是是稳稳定的平衡点定的平衡点;否否则则称称 (x0,y0)是不是不稳稳定平衡点定平衡点.上面的方程上面的方程组组有有时时可能不止一可能不止一组组解解.研究方法研究方法:(a)作作 f(x,y)与与 g(x,y)的的线线性替代（利用二元函数性替代（利用二元函数(b)的泰勒展开式）的泰勒展开式）:f
5、(x,y)fx(x0,y0)(x-x0)+f y(x0,y0)(y-y0);g(x,y)g x(x0,y0)(x-x0)+g y(x0,y0)(y-y0).(b)线线性性问题问题研究研究:记记 a1=f x(x0,y0),a2=f y(x0,y0),b1=g x(x0,y0),b2=g y(x0,y0),p=-(a1+b2),q=a1 b2-a2 b1,并无妨并无妨设设 x0=0,y0=0;求解求解 其中其中 1 ,2 为为特征方程特征方程 r 2+p r+q=0 的两根的两根.这里这里 1+2=-p,1 2 =q 或写为或写为(1)当当p 0,q 0时时,如果如果p2 4q 0，由，由 1+
6、2=-p,1 2 =q,推得推得 1 与与 2 均为负数均为负数，故当故当 t +时，时，e 1 t 与与 e 2 t 均趋于零均趋于零，系统稳定系统稳定;如果如果 p2 4q 0，由，由 1+2=-p,k=i 中中 为负数为负数（k =1，2），故当故当 t +时，时，ek t=et（sint cost）（k =1，2）也均趋于零也均趋于零，系统仍为稳定系统仍为稳定的的；(2)当当 p 0 时时,如果如果 p2 4q 0，由，由 1+2=-p,可推出可推出 1 与与 2 中至少有一个为正数，中至少有一个为正数，故当故当 t +时，时，e1 t 与与 e2 t 中至少有一个中至少有一个 趋于趋
7、于 +，系统不稳定系统不稳定;如果如果 p2 4q 0，仍由，仍由 1+2=-p,可推出可推出 k=i （k =1，2）中中 为正数为正数，故当故当 t +时时,ek t=et（sint cost）（k =1，2）趋于趋于+，仍可推出，仍可推出 系统不稳定系统不稳定。(3)当当q 0 时时,此时必定有此时必定有 p2 4q 0，此时此时系统也必不稳定系统也必不稳定。由由 1 2 =q,可推出可推出 1 与与 2 中至少有一个为中至少有一个为 正数，正数，故当故当 t +时，时，e1 t 与与 e2 t 中至少有一个趋于中至少有一个趋于 +，当当 p 0,q 0 时时,相应的平衡点是稳定的；相应的平衡点是稳定的；当当 p 0 或当或当 q 0 时时,相应的平衡点是不稳定的。相应的平衡点是不稳定的。综述之，在线性方程组非临界（综述之，在线性方程组非临界（p0)情况中情况中 (C)非线性问题的非线性问题的稳定性结论稳定性结论:(i)若相应的线性问题是若相应的线性问题是稳定稳定的的,则对应非线性问题也则对应非线性问题也是是稳定稳定的的；(ii)若相应的线性问题是若相应的线性问题是不稳定不稳定的的,则对应非线性问题则对应非线性问题也是也是不稳定不稳定的的.在非临界情况下在非临界情况下（p0)，结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！21