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1、微分方程的概念微分方程的概念(2)(2)什么是方程？什么是方程？代数方程代数方程超越方程超越方程（三）（三）.分类分类分类2:微分方程的阶一一、微微分分方方程程的的概概念念微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为称为微分方程的阶微分方程的阶.通常，通常，n 阶微分方程的一般形式为阶微分方程的一般形式为F(x,y,y,y(n)=0，其中其中 x 是自变量，是自变量，y 是未知函数，是未知函数，F(x,y,y,y(n)是已知函数，是已知函数，而且一定含有而且一定含有 y(n).如：以下方程1，2，4是二阶，3是一阶。一一、微微分分方方程程的的概概念念
2、11/9/202210一一、微微分分方方程程的的概概念念例例2：指出下列微分方程的阶数。：指出下列微分方程的阶数。一阶一阶二阶二阶一阶一阶三阶三阶一一、微微分分方方程程的的概概念念例例2：指出下列微分方程的阶数。：指出下列微分方程的阶数。一阶一阶二阶二阶一阶一阶二阶二阶（三）（三）.分类分类分类3.线性与非线性方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂全是一次幂(不含乘积不含乘积)时，微分方程就称为线性微分方程时，微分方程就称为线性微分方程.否则为非线性微分方程。练习：一一、微微分分方方程程的的概概念念将函数 y=y(x)代入方程后使方程恒等,
3、则称之.（四）、主要问题（四）、主要问题求方程的解求方程的解微分方程的解：微分方程的解：一一、微微分分方方程程的的概概念念如：方程中都是方程的解如果解中含有任意常数C,且个数与阶数相同必须独立n阶方程通解一般形式:（四）、主要问题（四）、主要问题求方程的解求方程的解微分方程解的分类：微分方程解的分类：（1）通解通解：例如：通解通解一一、微微分分方方程程的的概概念念若：此解若为通解，只可能是一阶微分方程的通解。确定了通解中任意常数的解。（2）特解特解：一一、微微分分方方程程的的概概念念微分方程解的分类：微分方程解的分类：方程中都是方程的特解。问：两者有关系吗？若给出：可以代入得出。（3 3）初始
4、条件）初始条件:初始条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解;用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件一一、微微分分方方程程的的概概念念微分方程解的分类：微分方程解的分类：如：可以确定中的C一一、微微分分方方程程的的概概念念例1.曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐标,求此曲线方程.设曲线方程为 y=y(x),则一阶线性微分方程初始条件通解特解4.几何意义:通解积分曲线族特解积分曲线例:验证 是 的通解对 用隐函数求导法得:故 是方程的解,且含有一个任意常数.通解一一、微微分分方方
5、程程的的概概念念解：解：由初始条件由初始条件代入代入由初始条件由初始条件代入代入则则于是，满足所给初始条件的特解为于是，满足所给初始条件的特解为 例例 2 验证函数验证函数 y=3e x xe x 是方程是方程y +2y +y=0的解的解.解解 求求 y=3e x xe x 的导数，的导数，y =-=-4e x+xe-x,y =5e x-xe-x,将将 y，y 及及 y 代入原方程的左边，代入原方程的左边，(5e x-xe-x)+2(-4e x+xe-x)+3e x xe x=0，即函数即函数 y=3e x xe x 满足原方程，满足原方程，得得有有所以该函数是所以该函数是所给二阶微分方程的解所给二阶微分方程的解.11/9/2022练习：验证解，并判断是通解还是特解？练习：验证解，并判断是通解还是特解？一一、微微分分方方程程的的概概念念微分方程的初等解法：微分方程的初等解法：初等积分法初等积分法思考：思考：怎么解微分方程？怎么解微分方程？求解微分方程求积分（通解可用初等函数或积分表示出来。）通解可用初等函数或积分表示出来。）如引例中一一、微微分分方方程程的的概概念念小结微分方程：含有未知函数的导数或微分分类：一元/多元、阶、（非）线性解：通解（含C，且个数和阶数相同）特解，不含C，将初始条件代入通解得出。