《2022年小学数学难题解法大全第一部分常用解题依据数学规律.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年小学数学难题解法大全第一部分常用解题依据数学规律.docx（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学校数学难题解法大全学习必备欢迎下载第一部分常用解题依据（六之六）数学规律（六）数学规律1数的整除性规律【能被 2 或 5 整除的数的特点】 （见学校数学课本,此处略）【能被 3 或 9 整除的数的特点】一个数, 当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3 和 9 整除时, 这个数便能被3或 9 整除；例如, 1248621 各位上的数字之和是 1+2+4+8+6+2+1=24 324,就 3 1248621；又如, 372681 各位上的数字之和是 3+7+2+6+8+1=27 927,就 9 372681；【能被 4 或 25 整除的数的特点】
2、 一个数, 当且仅当它的末两位数能被4 或 25 整除时, 这个数便能被4 或 25 整除；例如, 173824 的末两位数为24,424,就 4173824；43586775 的末两位数为75,2575,就 2543586775 ；【能被 8 或 125 整除的数的特点】一个数,当且仅当它的末三位数字为0,或者末三位数能被8 或 125 整除时,这个数便能被 8 或 125 整除；例如, 32178000 的末三位数字为 0,就这个数能被 8 整除,也能够被 125 整除；3569824 的末三位数为 824,8824,就 8 3569824；750,125750,就 12521481375
3、0；214813750 的末三位数为【能被 7、11、13 整除的数的特点】一个数,当且仅当它的末三位数字所表示的数,与末三位以前的数字所表示的数 的差（大减小的差）能被 7、11、13 整除时,这个数就能被 7、11、13 整除；75,523-75=448,448 7=64,即 例如, 75523 的末三位数为 523,末三位以前的数字所表示的数是 7448,就 775523；又如, 1095874 的末三位数为874,末三位以前的数字所表示的数是1095,1095-874=221,221 13=17,即13221,就 131095874；再如, 868967 的末三位数为967,末三位以前
4、的数字所表示的数是868,967-868=99, 99 11=9,即1199,就 11868967；此外,能被 11 整除的数的特点,仍可以这样表达：一个数,当且仅当它的奇数位上数字之和,与偶数位上数字之和的差（大减小）能被 11 整除时,就这个数便能被11 整除；例如, 4239235 的奇数位上的数字之和为 4+3+2+5=14,偶数位上数字之和为 2+9+3=14,二者之差为 14-14=0,0 11=0,即 110,就 114239235；2.和差积商的变化规律【和的变化规律】（1）假如一个加数增加（或削减）一个数,另一个加数不变,那么它们的和也增加（或削减）同一个数；用字母表达就是
5、假如 a+b=c,那么（ a+d）+b=c+d；（ a-d）+b=c-d；（ 2）假如一个加数增加一个数,另一个加数削减同一个数,那么它们的和不变；用字母表达就是 假如 a+b=c,那么（ a+d）+（b-d）=c；【差的变化规律】（ 1）假如被减数增加（或削减）一个数,减数不变,那么,它们的差也增加（或削减）同一个数；用字母表达,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 就是 假如 a-b=c,那么（ a+d）-b=c+d,（ a-d）-b=c-d；（ ad+b）（ 2）假如减数增加（或削减）一个数,被
6、减数不变,那么它们的差反而削减（或增加）同一个数；用字母表达,就是 假如 a-b=c,那么 a-（b+d）=c-d（ab+d）,a-（b-d）=c+d；（ 3）假如被减数和减数都增加（或都削减）同一个数,那么,它们的差不变；用字母表达,就是 假如 a-b=c,那么（ a+d）-（ b+d）=c,（ a-d）-（b-d）=c；【积的变化规律】（1）假如一个因数扩大（或缩小）如干倍,另一个因数不变,那么,它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数；用 字母表达,就是 假如 a b=c,那么（ a n） b=c n,（ a n） b=c n；（ 2）假如一个因数扩大如干倍,另一个因数缩小同样的倍数,那么它们
7、的积不变；用字母表达,就是 假如 a b=c,那么（ a n） （ b n）=c,或（ a n） （ b n）=c；【商或余数的变化规律】（ 1）假如被除数扩大（或缩小）如干倍,除数不变,那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数；用字母表达,就是 假如 a b=q,那么（ a n） b=q n,（ a n） b=q n；（ 2）假如除数扩大（或缩小）如干倍,被除数不变,那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数；用字母表达,就是 假如 a b=q,那么 a （ b n） =q n,a （ b n）=q n；（ 3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数,那么它们的商不变；用字母表达,就是 假如
8、a b=q,那么（ a n） （ b n）=q,（ a n） （ b n）=q；（4）在有余数的除法中,假如被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数,不完全商虽然不变,但余数却会跟 着扩大（或缩小）同样的倍数；这一变化规律用字母表示,就是 假如 a b=q（余 r）,那么（ a n） （ b n）=q（余 r n）,（ a n） （ b n）=q（余 r n）；例如, 84 9=9 3,而（ 84 2） （ 9 2） =9 6（3 2）,（ 84 3） （ 9 3）=9 1（3 3）；3.最值规律【积最大的规律】（ 1）多个数的和肯定（为一个不变的常数）假如 a1+a2+ +an=b（b 为一
9、常数）,当这几个数均相等时,它们的积最大；用字母表示,就是那么,当 a1=a2= =an 时, a1 a2 an 有最大值；例如, a1+a2=10, ；1+9=101 9=9；2+8=102 8=16；3+7=103 7=21；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4+6=104 6=24；4.5+5.5=104.5 5.5=24.75；5+5=105 5=25；5.5+4.5=105.5 4.5=24.75； ；9+1=109 1=9； 由上可见,当a1、a2 两数的差越小时,它们的积就越大；只有当
10、它们的差为0,即 a1=a2 时,它们的积就会变得最大；三个或三个以上的数也是一样的；由于篇幅所限,在此不一一举例；由“ 积最大规律”,可以推出以下的结论：结论 1 全部周长相等的 n 边形,以正 n 边形（各角相等,各边也相等的 n 边形）的面积为最大；例如,当 n=4 时,周长相等的全部四边形中,以正方形的面积为最大；例题：用长为 24 厘米的铁丝,围成一个长方形,长宽如何安排时,它的面积为最大？解 设长为 a 厘米,宽为 b 厘米,依题意得（ a+b） 2=24 即 a+b=12 由积最大规律,得 a=b=6（厘米）时,面积最大为6 6=36（平方厘米） ；（注：正方形是特别的矩形,即特
11、别的长方形；）结论 2 在三度（长、宽、高）的和肯定的长方体中,以正方体的体积为最大；例题：用 12 米长的铁丝焊接成一个长方体,长、宽、高如何安排,它的体积才会最大？解 设长方体的长为a 米,宽为 b 米,高为c 米,依题意得（ a+b+c） 4=12 即 a+b+c=3 由积最大规律,得 a=b=c=1（米）时,长方体体积为最大；最大体积为1 1 1=1（立方米）；（ 2）将给定的自然数N,分拆成如干个（不定）的自然数的和,只有当这些自然数全是2 或 3,并且 2 至多为两个时,这些自然数的积最大；例如,将自然数 8 拆成如干个自然数的和,要使这些自然数的乘积为最大；怎么办呢？我们可将各种
12、拆法详述如下：分拆成 8 个数,就只能是 8 个“1” ,其积为 1；分拆成 7 个数,就只能是 6 个“1” ,1 个“2” ,其积为 2；分拆成 6 个数,可得两组数： （1,1,1,1,1, 3）；（1,1,1, 1,2,2）；它们的积分别是 3 和 4；分拆成 5 个数,可得三组数： （1,1,1,1,4）；（1,1,1,2,3）；（1,1,2,2,2）；它们的积分别为 4,6,8；分拆成 4 个数,可得 5 组数：（1,1, 1,5）；（1,1,2,4）；（1,1, 3,3）；（1,2,2,3）；（2,2,2,2）；它们的积分别为 5,8,9,12,16；分拆成 3 个数,可得 5
13、组数：（1,1,6）；（1,2,5）；（ 1,3,4）；（2,2,4）；（2,3,3）；它们的积分别为 6,10,12,16,18；分拆成 2 个数,可得 4 组数：（1,7）；（ 2,6）；（3,5）；（4,4）；它们的积分别为 7,12,15,16；分拆成一个数,就是这个 8；从上面可以看出,积最大的是18=3 3 2；可见,它符合上面所述规律；用同样的方法,将 6、 7、14、 25 分拆成如干个自然数的和,可发觉6=3+3 时,其积 3 3=9 为最大；7=3+2+2 时,其积 3 2 2=12 为最大；14=3+3+3+3+2 时,其积 3 3 3 3 2=162 为最大；名师归纳总
14、结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载由这些例子可知,上面所述的规律是正确的；【和最小的规律】几个数的积肯定, 当这几个数相等时,它们的和相等； 用字母表达, 就是假如 a1 a2 an=c（c 为常数）,那么,当 a1=a2= =an 时, a1+a2+ +an 有最小值；例如, a1 a2=9, 1 9=91+9=10；3 3=93+3=6； 由上述各式可见,当两数差越小时,它们的和也就越小；当两数差为0 时,它们的和为最小；例题：用铁丝围成一个面积为 16 平方分米的长方形,如何下料,材料最省？解 设长方形
15、长为 a 分米,宽为 b 分米,依题意得 a b=16；要使材料最省,就长方形周长应最小,即 a+b 要最小；依据“ 和最小规律”,取a=b=4（分米）时,即用 16 分米长的铁丝围成一个正方形,所用的材料为最省；推论 由“ 和最小规律” 可以推出：在全部面积相等的封闭图形中,以圆的周长为最小；例如,面积均为4 平方分米的正方形和圆,正方形的周长为8 分米；而的周长小于正方形的周长；【面积变化规律】在周长肯定的正多边形中,边数越多,面积越大；为 0.433 6=2.598（平方分米）；方形的面积；推论 由这一面积变化规律,可以推出下面的结论：在周长肯定的全部封闭图形中,以圆的面积为最大；例如,
16、周长为4 分米的正方形面积为1 平方分米；而周长为4 分米的圆,于和它周长相等的正方形面积；【体积变化规律】在表面积肯定的正多面体（各面为正 体积越大；n 边形,各面角和各二面角相等的多面体）中,面数越多,例如,表面积为8 平方厘米的正四周体SABC（如图 1.30）,它每一个面均为正三角形,每个三角形面积为2 平方厘米,它的体积约是1.1697 立方厘米；而表面积为8 平方厘米第 4 页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载长约为 1.1546 厘米,体积约为 1.539 立方厘米；明显,正方体体积大于正四周体
17、体积；推论 由这一体积变化规律,可推出如下结论：在表面积相等的全部封闭体中,以球的体积为最大；例如,表面积为 8 平方厘米的正四周体,体积约为 1.1697 立方米；表面积为 8 平方厘米的正六面体（正方体）,体积约为 1.539 立方厘米；而表面积是 8 平方厘米的球,体积却约有 2.128 立方厘米；可见上面的结论是正确的；【排序不等式】对于两个有序数组：a1a2 an 及 b1b2 bn ,就 a1b1+a2b2+ +anb 抇 n（同序）Ta1b 抇 1+a2b 抇 2+ +anb 抇 n（乱序） a1b n+a2bn-1+ +anb1（倒序）（其中 b 抇 1、b 抇 2、 、 b
18、抇 n 为 b1、b2、 、 bn 的任意一种排列（次序、倒序排列在外）,当且仅当 a1=a2= =an,或 b1=b2= =bn 时,式中等号成立； ）由这一不等式可知,同序积之和为最大,倒序积之和为最小；例题：设有 10 个人各拿一只水桶,同时到一个水龙头下接水；水龙头注满第一、其次、 九、十个人的桶,分别需要1、2、3、 、 9、10 分钟；问：如何支配这 10 个人的排队次序,可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？解 设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1, 2,3, , 9,10；打水时,等候的人数为其次个有序数组,等候时间最长的人数排前,这样组成 1,2,3,
19、 , 9,10；依据排序不等式,最小积的和为倒序,即 1 10+2 9+3 8+4 7+5 6+6 5+7 4+8 3+9 2+10 1 =（1 10+2 9+3 8+4 7+5 6） 2 =（10+18+24+28+30） 2 =220（分钟）其排队次序应为：依据注满一桶水所需时间的多少,按从少到多的排法；4、等积规律【三角形等积的基本规律】假如两个三角形的底相等,高也相等,那么,这两个三角形的面积相等；例如,在图1.32 中, D 是 BC的中点（即BD=DC）,就 ABD 与 ACD的面积相等； （等底同高）【三角形等积规律推论】由三角形等积这一基本规律,可以推出下面几个结论；名师归纳总
20、结 - - - - - - -结论 1 假如两个三角形有公共的底边,且这底边所对的顶点所在直线,与这底边平行, 就这两个三角形面积相等；例如,在图1.33 中, A1A2 的连线与 BC平行,就A1BC与 A2BC的面积相等；第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载结论 2 在两个三角形中,如相等的底在同始终线上,底所对的顶点在与底平行的另一同始终线上,就这两个三角形的面积相等；例如图 1.34 中的 A1B1C1与 A2B2C2,它们的底 B1C1=B2C2,并且底同在直线 B1C2上,顶点 A1、A2 的连线 A1A2,与 B1C2平行,那
21、么A1B1C1与 A2B2C2的面积便是相等的；结论 3 假如一个三角形的一边被分成了 n 等分,并把这些等分点与顶点连结,那么这个三角形就被分成了 n+1 个等积的三角形；例如图 1.35 中, BC被点 D1、D2、D3、D4、D5 分成了六等分,就ABC的面积也就被AD1、AD2、AD3、AD4、AD5也分成了六等分；即ABD1、 AD1D2、 AD2D3、 AD3D4、 AD4D5、结论 4 假如两个三角形的高相等,其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍；例如,在图1.36 中, ABC的高 AD,和 A 払扖挼母逜扗捪嗟龋珺C=3BB
22、C的面积,便是A 払扖3 倍；（七）图形旋转与几何体侧面绽开1.几何图形旋转【长方形（或正方形）旋转】将一个长方形（或正方形）绕其一边旋转一周,得到的几何体是“ 圆柱”；如图 1.37,将矩形 ABCD绕 AB 旋转一周,得圆柱 AB；其中 AB 为圆柱的轴,也是圆柱的高；BC或 AC是圆柱底面圆的半径, CD叫做圆柱的母线；【直角三角形旋转】将一个直角三角形围着它的一条直角边旋转一周,所形成的几何体是“ 圆锥”；例如图 1.38,将直角三角形ABC,绕直角边 AC旋转一周, 便形成了圆锥AC；其中 AC是圆锥的轴, 也是圆锥的高；第 6 页,共 8 页CB是圆锥底面的半径；AB 叫做圆锥的母
23、线；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【直角梯形旋转】将一个直角梯形围着它的直角腰旋转一周所形成的几何体,叫做“ 圆台”；例如图 1.39,将直角梯形 ABCD围着它的直角腰 AB 旋转一周；便形成了圆台 AB；其中, AB 是圆台的轴,也是圆台的高,上下底 AD、BC,分别是圆台上、下底面圆的半径,斜腰 DC,是圆台的母线；【半圆旋转】将一个半圆围着它的直径旋转一周所形成的几何体,叫做“ 球”；例如图 1.40,半圆围着它的直径AB 旋转一周, 便形成了球O；原先的半圆圆心O 是球心； 原先半圆的半径和直径,分别叫做球
24、的半径和直径；原先半圆的直径也是球的轴和直径；2.几何体侧面绽开【正棱柱、圆柱侧面绽开】正棱柱（底面是正多边形,侧棱与底面垂直的棱柱）和圆柱的侧面绽开,摊在同一个平面上,是一个矩形；矩形的上、下对边,是柱体上、下底面的周长；矩形左右两对边,是柱体的侧棱或母线；例如图 1.41,将正六棱柱 ABCDEFA 払扖扗扙扚捈霸仓鵒 O 1A 抇1A 抇 2A2；图中画出的是棱柱侧面绽开图；圆柱侧面绽开后,也是一矩形,只是中间没有那些虚线；% 【正棱锥侧面绽开】正 n 棱锥（底面为正 n 边形,顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥）侧面绽开,摊在同一平面上,是顶点公共、腰与腰相连的 n 个全等的等腰三角
25、形；例如图 1.42,将正三棱锥 SABC的侧面绽开,摊在同一个平面上,便形成了三个全等的等腰三角形 SAB、SBC和SCA【圆锥侧面绽开】圆锥侧面绽开,摊在同一个平面上,变成的是一个扇形；扇形的弧长是圆锥底面圆的周长,扇形的两条半径,是圆锥的母线；例如图 1.43,将圆锥 SO 的侧面绽开,摊在同一个平面上,便成了扇形名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载径 SA、SA挼募薪铅瓤砂聪旅娴氖阶蛹扑悖篲式中 r 是圆锥底面圆半径,l 是圆锥母线的长；【正棱台侧面绽开】正n 棱台（用一平行于正n 棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面间的几何体）侧面绽开,摊在同一个平面上,得到的是 n 个全等的等腰梯形,并且腰腰相连；例如图 1.44,将正三棱台 ABCA【圆台侧面绽开】圆台侧面绽开,摊在同一个平面上的图形,是圆环的一部分,叫做“ 扇环”；这个扇环像梯形,它的两“ 腰” 是圆台的母线,它的上、下“ 底” 是两条弧,其弧长分别是圆台上、下底面圆的周长；例如图 1.45,将圆台 O1O2 的侧面绽开,摊在同一个平面上,就形成了名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页