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1、学习必备欢迎下载小学数学难题解法大全第一部分常用解题依据（六之六）数学规律（六）数学规律1数的整除性规律【能被 2 或 5 整除的数的特征】 （见小学数学课本，此处略）【能被 3 或 9 整除的数的特征】一个数， 当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和 9 整除时， 这个数便能被3或 9 整除。例如， 1248621 各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=24 324，则 3 1248621。又如， 372681 各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=27 927，则 9 372681。【能被 4 或 25 整除的数的特征】一个数， 当且仅当它的末两位数能被4 或 25 整除时，
2、 这个数便能被4 或 25 整除。例如， 173824 的末两位数为24，424，则 4173824。43586775 的末两位数为75，2575，则 2543586775。【能被 8 或 125 整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8 或 125 整除时，这个数便能被8 或 125 整除。例如， 32178000 的末三位数字为0，则这个数能被8 整除，也能够被125 整除。3569824 的末三位数为824，8824，则 8 3569824。214813750 的末三位数为750，125750，则 125214813750。【能被7、11、13 整除的数的特
3、征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被7、11、13 整除时，这个数就能被7、11、13 整除。例如， 75523 的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，4487=64，即7448，则 775523。又如， 1095874 的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，22113=17，即13221，则 131095874。再如， 868967 的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99， 9911=9，即1199，则 1186
4、8967。此外，能被11 整除的数的特征，还可以这样叙述：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差（大减小）能被11 整除时，则这个数便能被11 整除。例如， 4239235 的奇数位上的数字之和为4+3+2+5=14，偶数位上数字之和为2+9+3=14，二者之差为14-14=0，011=0，即 110，则 114239235。2.和差积商的变化规律【和的变化规律】（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是如果 a+b=c，那么（ a+d）+b=c+d；（ a-d）+b=c-d。（ 2）如果一个加数增加一个数
5、，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母表达就是如果 a+b=c，那么（ a+d）+（b-d）=c。【差的变化规律】（ 1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。用字母表达，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载就是如果 a-b=c，那么（ a+d）-b=c+d，（ a-d）-b=c-d。（ ad+b）（ 2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。用字母表达，就是如果 a-b=c，那么 a-（b+d）=c-d
6、（ab+d） ，a-（b-d）=c+d。（ 3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表达，就是如果 a-b=c，那么（ a+d）-（ b+d）=c，（ a-d）-（b-d）=c。【积的变化规律】（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果 ab=c，那么（ a n） b=cn，（ an） b=cn。（ 2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是如果 ab=c，那么（ a n）（ bn）=c，或（ an）（ bn）=c。【商或余数的变化规律】（
7、 1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果 ab=q，那么（ an） b=qn，（ an） b=qn。（ 2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是如果 ab=q，那么 a（ bn） =qn，a（ bn）=qn。（ 3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是如果 ab=q，那么（ an）（ b n）=q，（ an）（ bn）=q。（4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着
8、扩大（或缩小）同样的倍数。这一变化规律用字母表示，就是如果 ab=q（余 r） ，那么（ a n）（ bn）=q（余 rn） ，（ an）（ bn）=q（余 rn） 。例如， 849=9 3，而（ 842）（ 92） =9 6（32） ，（ 843）（ 93）=9 1（33） 。3.最值规律【积最大的规律】（ 1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是如果 a1+a2+ +an=b（b 为一常数），那么，当a1=a2=an 时， a1a2 an 有最大值。例如， a1+a2=10，；1+9=1019=9；2+8=1028=16；3+7=1037=
9、21；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载4+6=1046=24；4.5+5.5=104.55.5=24.75；5+5=1055=25；5.5+4.5=105.54.5=24.75；9+1=1091=9；由上可见，当a1、a2 两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为0，即 a1=a2 时，它们的积就会变得最大。三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限，在此不一一举例。由“积最大规律” ，可以推出以下的结论：结论 1 所有周长相等的n 边形，以正n 边形（各角相等，各边也相等的n 边形）的面积
10、为最大。例如，当n=4 时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。例题：用长为24 厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？解 设长为 a 厘米，宽为b 厘米，依题意得（ a+b） 2=24 即 a+b=12 由积最大规律，得a=b=6（厘米）时，面积最大为66=36（平方厘米） 。（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。）结论 2 在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。例题：用12 米长的铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高如何分配，它的体积才会最大？解 设长方体的长为a 米，宽为b 米，高为c 米，依题意得（ a+b+c） 4=12 即 a
11、+b+c=3 由积最大规律，得a=b=c=1（米）时，长方体体积为最大。最大体积为111=1（立方米）。（ 2）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是2 或 3，并且 2 至多为两个时，这些自然数的积最大。例如，将自然数8 拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积为最大。怎么办呢？我们可将各种拆法详述如下：分拆成 8 个数，则只能是8 个“ 1” ，其积为 1。分拆成 7 个数，则只能是6 个“ 1” ，1 个“ 2” ，其积为2。分拆成 6 个数，可得两组数： （1，1，1，1，1， 3） ； （1，1，1， 1，2，2） 。它们的积分别是3 和 4。分拆
12、成 5 个数，可得三组数： （1，1，1，1，4） ； （1，1，1，2，3） ； （1，1，2，2，2） 。它们的积分别为4，6，8。分拆成 4 个数，可得5 组数： （1，1， 1，5） ； （1，1，2，4） ； （1，1， 3，3） ； （1，2，2，3） ； （2，2，2，2） 。它们的积分别为5，8，9，12，16。分拆成 3 个数，可得5 组数： （1，1，6） ； （1，2，5） ； （ 1，3，4） ； （2，2，4） ； （2，3，3） 。它们的积分别为6，10，12，16，18。分拆成 2 个数，可得4 组数： （1，7） ； （2，6） ； （3，5） ； （4，4）
13、。它们的积分别为7，12，15，16。分拆成一个数，就是这个8。从上面可以看出，积最大的是18=332。可见，它符合上面所述规律。用同样的方法，将6、 7、14、 25 分拆成若干个自然数的和，可发现6=3+3 时，其积 33=9 为最大；7=3+2+2 时，其积 322=12 为最大；14=3+3+3+3+2 时，其积33332=162 为最大；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载由这些例子可知，上面所述的规律是正确的。【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。 用字母表达， 就
14、是如果a1a2 an=c（c 为常数），那么，当a1=a2=an 时， a1+a2+an 有最小值。例如， a1a2=9，19=91+9=10；33=93+3=6；由上述各式可见，当两数差越小时，它们的和也就越小；当两数差为0 时，它们的和为最小。例题：用铁丝围成一个面积为16 平方分米的长方形，如何下料，材料最省？解 设长方形长为a 分米，宽为b 分米，依题意得ab=16。要使材料最省，则长方形周长应最小，即a+b 要最小。根据“和最小规律”，取a=b=4（分米）时，即用16 分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省。推论由“和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为
15、最小。例如，面积均为4 平方分米的正方形和圆，正方形的周长为8 分米；而的周长小于正方形的周长。【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。为 0.4336=2.598（平方分米）。方形的面积。推论由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。例如，周长为4 分米的正方形面积为1 平方分米；而周长为4 分米的圆，于和它周长相等的正方形面积。【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正n 边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。例如，表面积为8 平方厘米的正四面体SABC（如图 1.30） ，它每一个面均为正三角形，
16、每个三角形面积为2 平方厘米，它的体积约是1.1697 立方厘米。而表面积为8 平方厘米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载长约为 1.1546 厘米，体积约为1.539 立方厘米。显然，正方体体积大于正四面体体积。推论由这一体积变化规律，可推出如下结论：在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。例如，表面积为8 平方厘米的正四面体，体积约为1.1697 立方米；表面积为8 平方厘米的正六面体（正方体），体积约为 1.539 立方厘米；而表面积是8 平方厘米的球，体积却约有2.128 立方厘米。可见
17、上面的结论是正确的。【排序不等式】对于两个有序数组：a1a2 an 及 b1b2 bn，则 a1b1+a2b2+ +anb 抇 n（同序）Ta1b 抇 1+a2b 抇 2+ +anb 抇 n（乱序） a1b n+a2bn-1+ +anb1（倒序）（其中 b 抇 1、b 抇 2、 b 抇 n 为 b1、b2、 bn 的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当a1=a2=an，或 b1=b2=bn 时，式中等号成立。 ）由这一不等式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。例题：设有10 个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、九、十个人的桶，分别需要1、2、3、 9、
18、10 分钟。问：如何安排这10 个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？解 设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1， 2，3， 9，10。打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成1，2，3， 9，10。根据排序不等式，最小积的和为倒序，即110+29+38+47+56+65+74+83+92+101 =（110+29+38+47+56） 2 =（10+18+24+28+30） 2 =220（分钟）其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。4、等积规律【三角形等积的基本规律】如果两个三角形的底相等，高也相等，那
19、么，这两个三角形的面积相等。例如，在图1.32 中， D 是 BC的中点（即BD=DC ） ，则 ABD 与 ACD的面积相等。 （等底同高）【三角形等积规律推论】由三角形等积这一基本规律，可以推出下面几个结论。结论 1 如果两个三角形有公共的底边，且这底边所对的顶点所在直线，与这底边平行， 则这两个三角形面积相等。例如，在图1.33 中，A1A2 的连线与BC平行，则 A1BC与 A2BC的面积相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载结论 2 在两个三角形中，若相等的底在同一直线上，底所对的顶点在与
20、底平行的另一同一直线上，则这两个三角形的面积相等。例如图 1.34 中的 A1B1C1与 A2B2C2， 它们的底B1C1=B2C2 ， 并且底同在直线B1C2上， 顶点 A1、 A2 的连线 A1A2，与 B1C2平行，那么A1B1C1与 A2B2C2的面积便是相等的。结论 3 如果一个三角形的一边被分成了n 等分，并把这些等分点与顶点连结，那么这个三角形就被分成了n+1 个等积的三角形。例如图 1.35 中， BC被点 D1、D2、D3、D4、D5 分成了六等分，则ABC的面积也就被AD1、AD2、AD3、AD4、AD5也分成了六等分。即ABD1、 AD1D2、 AD2D3、 AD3D4、
21、 AD4D5、结论 4 如果两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。例如，在图1.36 中， ABC的高 AD，和 A 払扖挼母逜扗捪嗟龋珺C=3BBC的面积，便是A 払扖3 倍。（七）图形旋转与几何体侧面展开1.几何图形旋转【长方形（或正方形）旋转】将一个长方形（或正方形）绕其一边旋转一周，得到的几何体是“圆柱”。如图 1.37，将矩形ABCD绕 AB 旋转一周，得圆柱AB。其中 AB为圆柱的轴，也是圆柱的高。BC或 AC是圆柱底面圆的半径， CD叫做圆柱的母线。【直角三角形旋转】将一个直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周
22、，所形成的几何体是“圆锥”。例如图 1.38，将直角三角形ABC，绕直角边AC旋转一周， 便形成了圆锥AC。其中 AC是圆锥的轴， 也是圆锥的高；CB是圆锥底面的半径；AB 叫做圆锥的母线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载【直角梯形旋转】将一个直角梯形绕着它的直角腰旋转一周所形成的几何体，叫做“圆台”。例如图 1.39，将直角梯形ABCD绕着它的直角腰AB旋转一周。便形成了圆台AB。其中， AB 是圆台的轴，也是圆台的高，上下底AD、BC，分别是圆台上、下底面圆的半径，斜腰DC，是圆台的母线。【半圆
23、旋转】将一个半圆绕着它的直径旋转一周所形成的几何体，叫做“球”。例如图 1.40，半圆绕着它的直径AB旋转一周， 便形成了球O。原来的半圆圆心O 是球心； 原来半圆的半径和直径，分别叫做球的半径和直径；原来半圆的直径也是球的轴和直径。2.几何体侧面展开【正棱柱、圆柱侧面展开】正棱柱（底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱）和圆柱的侧面展开，摊在同一个平面上，是一个矩形。矩形的上、下对边，是柱体上、下底面的周长；矩形左右两对边，是柱体的侧棱或母线。例如图 1.41，将正六棱柱ABCDEF A 払扖扗扙扚捈霸仓鵒O1A 抇1A 抇 2A2。图中画出的是棱柱侧面展开图。圆柱侧面展开后，也是一矩形，只是
24、中间没有那些虚线。% 【正棱锥侧面展开】正n 棱锥（底面为正n 边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥）侧面展开，摊在同一平面上，是顶点公共、腰与腰相连的n 个全等的等腰三角形。例如图 1.42，将正三棱锥SABC的侧面展开，摊在同一个平面上，便形成了三个全等的等腰三角形SAB 、SBC和SCA【圆锥侧面展开】圆锥侧面展开，摊在同一个平面上，变成的是一个扇形。扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，扇形的两条半径，是圆锥的母线。例如图 1.43，将圆锥SO的侧面展开，摊在同一个平面上，便成了扇形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共
25、8 页学习必备欢迎下载径 SA 、SA挼募薪铅瓤砂聪旅娴氖阶蛹扑悖篲式中 r 是圆锥底面圆半径，l 是圆锥母线的长。【正棱台侧面展开】正n 棱台（用一平行于正n 棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面间的几何体）侧面展开，摊在同一个平面上，得到的是n 个全等的等腰梯形，并且腰腰相连。例如图 1.44，将正三棱台ABCA【圆台侧面展开】圆台侧面展开，摊在同一个平面上的图形，是圆环的一部分，叫做“扇环”。这个扇环像梯形，它的两“腰”是圆台的母线，它的上、下“底”是两条弧，其弧长分别是圆台上、下底面圆的周长。例如图 1.45，将圆台O1O2 的侧面展开，摊在同一个平面上，就形成了精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页