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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点书 香 浸 润,励 志 成 长！第一单元 位置1、用数对 确定点的位置,如（ 3,5）表示：（第三列,第五行）2、几 列几 行列不变竖排叫列横排叫行（从左往右看）（从前往后看）平移时用“ 上” 、“ 下” 、“ 前” 、“ 后” 、“ 左” 、“ 右” 来表述；3、图形左、右平移：行不变图形上、下平移：其次单元分数乘法一、分数乘法（一）分数乘法的意义：1、分数乘整数与整数乘法的意义相同；都是求几个相同加数的和的简便运算；例如：8 5 表示求 5 个 98 的和是多少？92、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少；例如：8 93
2、 表示求 48 的 93 是多少？4（二）、分数乘法的运算法就：1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子,分母不变；（整数和分母约分 ）2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母；3、为了运算简便,能约分的要先约分,再运算；留意：当带分数进行乘法运算时,要先把带分数化成假分数再进行运算；（三）、规律：（乘法中比较大小时）名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点一个数（ 0 除外）乘大于 1 的数,积大于这个数；一个数（ 0 除外）乘小于 1 的数（ 0 除外）,积小于这个数；一个
3、数（ 0 除外）乘 1,积等于这个数；（四）、分数混合运算的运算次序和整数的运算次序相同；（五）、整数乘法的交换律、结合律和安排律,对于分数乘法也同样适用；乘法交换律： a b = b a 乘法结合律： a b c = a b c 乘法安排律：（ a + b ） c = a c + b c 二、分数乘法的解决问题（已知单位“1” 的量（用乘法）,求单位“1” 的几分之几是多少）1、画线段图：（1）两个量的关系：画两条线段图；（2）部分和整体的关系：画一条线段图；2、找单位“1” ：在分率句中分率的前面；或“ 占” 、“ 是” 、“ 比” 的后面一个数 几倍；求一个数的几分之几是多少：一个数几
4、几；3、求一个数的几倍：4、写数量关系式技巧：（1）“ 的”相当于“ ”“ 占” 、“ 是” 、“ 比” 相当于“ = ”（2）分率前是“ 的” ：单位“1” 的量 分率 =分率对应量（3）分率前是“ 多或少” 的意思：单位“1” 的量 （ 1 分率） =分率对应量三、倒数1、倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数；强调：互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们相互依存,倒数不能单独存在；（要说清谁是谁的倒数） ；2、求倒数的方法：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（1）、求分数的倒数：交换分子分
5、母的位置；（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是1 的分数,再交换分子分母的位置；（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数,再求倒数；（4）、求小数的倒数：把小数化为分数,再求倒数；3、1 的倒数是 1； 0 没有倒数 ；由于 1 1=1；0 乘任何数都得 0,1 （分母不能为 0）04、对于任意数 a a 0,它的倒数为1；非零整数 a 的倒数为1；分数b 的倒数是a；a a a b5、真分数的倒数大于 1；假分数的倒数小于或等于 1；带分数的倒数小于 1；第三单元 分数除法一、分数除法1、分数除法的意义：乘法： 因数 因数 = 积除法： 积 一个因数 = 另一个因数分数除法与整数除法的意
6、义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算；2、分数除法的运算法就：除以一个不为 0 的数,等于乘这个数的倒数；3、规律（分数除法比较大小时） ：（1）、当除数大于 1,商小于被除数；（2）、当除数小于 1（不等于 0）,商大于被除数；（3）、当除数等于 1,商等于被除数；4、 “” 叫做中括号；一个算式里,假如既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的；二、分数除法解决问题名师归纳总结 （未知单位“1” 的量（用除法）： 已知单位“1” 的几分之几是多少,求单位“1” 的第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - -
7、- - - - 名师总结 优秀学问点量； ）1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“ 的” ：单位“1” 的量 分率 =分率对应量（2）分率前是“ 多或少” 的意思：单位“1” 的量 （ 1 分率） =分率对应量2、解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：依据数量关系式设未知量为 X,用方程解答；（2）算术（用除法）：分率对应量 对应分率 = 单位“1” 的量3、求一个数是另一个数的几分之几：就一个数 另一个数4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：两个数的相差量 单位 “ 1” 的量或： 求多几分之几： 大数 小数 1 求少几分之几： 1 - 小数 大数三、比和比的
8、应用（一）、比的意义1、比的意义： 两个 数相除 又叫做两个数的 比；2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项；比的前项除 以后项所得的商,叫做比值；例如 15 ：10 = 15 10= 3 （比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示）2前项比号后项比值3、比可以表示两个相同量的关系, 即倍数关系； 也可以表示两个不同量的比, 得到一个新量；例：路程 速度 =时间；4、区分比和比值比：表示 两个数 的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结
9、 优秀学问点比值 ：相当于商,是 一个数 ,可以是整数,分数,也可以是小数；5、依据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式；6、比和除法、分数的联系：比号“ ：”后 项比值比前项除 法被除数除号“ ”除 数商分 数分子分数线“ ”分 母分数值7、比和除法、分数的区分：除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系；8、依据比与除法、分数的关系,可以懂得比的后项不能为 0；体育竞赛中显现两队的分是（二）、比的基本性质2：0 等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系；1、依据比、除法、分数的关系：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外）,商不变；分数的基本性质：
10、分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0 除外）,分数值不变；比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数0 除外 ,比值不变；2、最简整数比：比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比；3、依据比的基本性质,可以把比化成最简洁的整数比；4. 化简比：依 用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数；据（1）比 两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整的基 数比的方法来化简；本性 两个小数的比：向右移动小数点的位置,先化成整数比再化简；（2）用求比值的方法；留意 : 最终结果要写成比的形式；如： 1510 = 15 10 = 3 = 3 2 25按比例安排
11、：把一个数量依据肯定的比来进行安排；这种方法通常叫做按比例安排；名师归纳总结 如：已知两个量之比为a b ,就设这两个量分别为ax 和bx；6、路程肯定,速度比和时间比成反比；（如：路程相同,速度比是4：5,时间比就为 5：4）第 5 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点工作总量肯定,工作效率和工作时间成反比；（如：工作总量相同,工作时间比是 3：2,工作效率比就是 2：3）第四单元 圆一、熟悉圆1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形；2、圆心：将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心；一般用
12、字母 O表示；它到圆上任意一点的距离都相等3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径；一般用字母 r 表示；把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径；4、直径 ： 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径；一般用字母 d 表示；直径是一个圆内最长的线段；5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小；6、在同圆或等圆内, 有很多条半径, 有很多条直径； 全部的半径都相等, 全部的直径都相等；7在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2 倍,半径的长度是直径的1 ；2用字母表示为： d2r 或 r d 28、轴对称图形：假如一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形；折痕所在的
13、这条直线叫做对称轴；9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴；这些图形都是轴对称图形；10、只有 1 一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆；只有 2 条对称轴的图形是：长方形只有 3 条对称轴的图形是：等边三角形只有 4 条对称轴的图形是：正方形 ; 有很多条对称轴的图形是：圆、圆环；二、圆的周长名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长；用字母 C表示；2、圆周率试验：在圆形纸片上做个记号,与直尺0 刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出
14、圆的周长；发觉一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（ ）；3圆周率： 任意一个圆的 周长 与它的 直径 的比值 是一个固定的数, 我们把它叫做 圆周率 ；用字母 （pai ） 表示；（1）、一个圆的周长总是它直径的3 倍多一些,这个比值是一个固定的数；圆周率 是一个无限不循环小数；在运算时,一般取 3.14 ；（2）、在判定时,圆周长与它直径的比值是 倍,而不是 3.14 倍；（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之；4、圆的周长公式 ： C= d d = C 或 C=2 r r = C 2 5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长；在一个长方形里
15、画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽；6、区分周长的一半 和半圆的周长 ：（1） 周长的一半 ：等于圆的周长2 运算方法： 2 r 2 即 rr （2）半圆的周长： 等于圆的周长的一半加直径；运算方法 ： r 2r 即 5.14 三、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积；用字母 S 表示；2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；3、圆面积公式的推导：顶点在圆心的角叫做圆心角；（1）、用逐步靠近的转化思想：表达化圆为方,化曲为直；化新为旧,化未知为已知,化复杂为简洁,化抽象为详细；（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形；（3）、
16、拼出的图形与圆的周长和半径的关系；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点圆的半径 = 长方形的宽由于：圆的周长的一半 = 长方形的长宽长方形面积 = 长所以：圆的面积 = 圆周长的一半圆的半径 S圆 = r r 2 r2 = S 圆的面积公式： S圆 = r4、环形的面积：一个环形,外圆的半径是 R,内圆的半径是 r ；（ Rr 环的宽度）S 环 = R2 2 或环形的面积公式： S环 = （R22）；5、扇形的面积运算公式： S扇 = r2n（n 表示扇形圆心角的度数）3606、一个圆,半径扩大或
17、缩小多少倍,直径和周长 也扩大或缩小 相同的倍数 ；而面积 扩大或缩小的倍数是这 倍数的平方倍 ；例如：在同一个圆里,半径扩大 3 倍,那么直径和周长就都扩大 3 倍,而面积扩大 9 倍；7、两个圆：半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方；例如：两个圆的半径比是 23,那么这两个圆的直径比和周长比都是 23,而面积比是 49 8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即：49、当长方形,正方形,圆的 周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小；反之, 面积相同时 ,长方形的周长最长,正方形居中,10、确定起跑线：（1）、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成
18、的圆的周长圆周长最短； + 两个直道的长度；（2）、每条跑道直道的长度都相等, 而各圆周长打算每条跑道的总长度； （因此起跑线不同）（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是：2 跑道的宽度名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（4）、当一个圆的半径增加厘米时,它的周长就增加 厘米时,它的周长就增加 厘米；11、常用各 值结果： 厘米；当一个圆的直径增加 = 3.14 5 = 15.7 9 = 28.26 36= 113.04 2 = 6.28 6 = 18.84 10 = 31.4 64 = 200.96
19、3 = 9.42 7 = 21.98 16 = 50.24 96 = 301.44 4 = 12.56 8 = 25.12 25 = 78.5 12、常用平方数结果2 11 = 121 2 12 = 144 2 13 = 169 2 14 = 196 2 15 = 225 2 16 = 256 2 17 = 289 2 18 = 324 2 19 = 361 第五单元百分数一、百分数的意义和写法1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几；百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比；2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几；3、百分数和分数的主要联系与区分：（1）联系：都可以表示两个
20、量的倍比关系；（2） 区分：、意义不同：百分数 只表示两个数的倍比关系, 不能表示详细的数量, 所以不能带单位 ；分数 既可以表示详细的数,又可以表示两个数的关系,表示具本数时 可以带单位 ；、百分数的分子可以是整数,也可以是小数；分数的分子不能是小数,只能是除 0 以外的自然数；4、百分数的写法： 通常不写成分数形式,而在原先分子后面加上“ ” 来表示；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点二、百分数和分数、小数的互化（一）百分数与小数的互化：1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位,同时在后面添
21、上百分号；2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位,同时去掉百分号；（二）百分数的和分数的互化 1、百分数化成分数：先把百分数化成分数,先把百分数改写成分母是否 2、分数化成百分数： 用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100 的分数,能约分要约成最简分数；100 的分数,再写成百分数形式；先把分数化成小数（ 除不尽时,通常保留三位小数）,再把小数化成百分数；（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化1 = 0.5 = 50% 22 = 0.08 = 8 251 = 0.2 = 20% 55 = 0.625 = 62.5% 81 = 0.25 = 25% 42 = 0.4 = 40%
22、 51 = 0.125 = 12.5% 83 = 0.75 = 75% 43 = 0.6 = 60% 53 = 1.375 = 37.5% 81 = 0.0625 = 6.25% 164 = 0.8 = 80% 57 = 0.875 = 87.5% 81 = 0.04 = 4 253 = 0.12 = 12 254 = 0.16 = 16 25三、用百分数解决问题（一）一般应用题1、常见的百分率的运算方法：名师归纳总结 合格率 = 合格产品数100%发芽率 = 发芽种子数100%第 10 页,共 13 页产品总数种子总数出勤率 = 出勤人数100%达标率 = 达标同学人数100总人数同学总人数
23、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点100%成活率 = 成活的数量100%出粉率 = 粉的重量100%总数量出粉物的重量烘干率 = 烘干后的重量100%含水率 = 烘干前的重量烘干后的重量烘干前的重量烘干前的重量一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%；（一般出粉率在 70、80%,出油率在 30、40%；）2、已知单位“1” 的量（用乘法）, 求单位“1” 的百分之几是多少的问题：数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“ 的” ：
24、单位“1” 的量 分率 =分率对应量（2）分率前是“ 多或少” 的意思：单位“1” 的量 （ 1 分率） =分率对应量3、未知单位“1” 的量（用除法）,已知单位“1” 的百分之几是多少,求单位“1” ；解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：依据数量关系式设未知量为 X,用方程解答；（2）算术（用除法）：分率对应量 对应分率 = 单位“1” 的量4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：两个数的 相差量 单位“1” 的量 100% 或： 求多百分之几： （大数 小数 1 ） 100% 求少百分之几： （ 1 - 小数 大数） 100% （二）、折扣 1、折扣：商品按原定价格的百分之几出
25、售,叫做折扣；通称“ 打折”；几折就表示非常之几,也就是百分之几十；例如八折 = 8 =80 , 六折五 =0.65=6510 一成是非常之一,也就是 10%；三成五就是非常之三点五,也就是 35% 2、（三）、纳税 1、纳税：纳税是依据国家税法的有关规定,依据肯定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳 给国家；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一；国家用收来的税款进展经济、科技、训练、文化和国防安全等事业；3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额；4、税
26、率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率；5、应纳税额的运算方法：应纳税额 = 总收入 税率（四）利息1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法；2、储蓄的意义：人们经常把临时不用的钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不仅可以支援国家建设,也使得个人用钱更加安全和有方案,仍可以增加一些收入；3、本金：存入银行的钱叫做本金；4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息；5、利率： 利息 与本金 的比值 叫做利率；6、利息的运算公式： 利息本金 利率 时间7、留意：如要上利息税（国债和训练贮存的利息不纳税）,就：税后利息 =利息- 利息的应纳税额 =利息 - 利息 利息税率 =利息 （ 1- 利息税率）第六单
27、元 统计一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系；也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）；二、常用统计图的优点：1、条形统计图：可以清晰的看出各种数量的多少；2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少,仍可以清晰看出数量的增减变化情形；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点 3、扇形统计图：能够清晰的反映出各部分数量同总数之间的关系；三、扇形的面积大小：在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角 越大,扇形越大；（
28、因此扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周 角度数的百分比；）第七单元 数学广角一、“ 鸡兔同笼” 问题的特点：题目中有两个或两个以上的未知数,要求依据总数量,求出各未知数的单量；二、“ 鸡兔同笼” 问题的解题方法 1、推测法 2、假设法（1） 假如都是兔（2） 假如都是鸡（3） 古人“ 抬脚法” ：解答思路：假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚,就每只鸡就变成了“ 独脚鸡” ,每只兔就变成 了“ 双脚兔” ；这样,鸡和兔的脚的总数就少了一半；这种思维方法叫化归法；关系式：鸡兔总脚数2- 鸡兔总数 = 兔的只数；鸡兔总数 - 兔的只数 = 鸡的只数；3、列方程法名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页