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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 初三数学复习统计初步的有关学问一. 本周教学内容：复习统计初步的有关学问学问要点平均数、众数、中位数、方差、标准差等都是统计学中的基本统计量；其中平均数、众数及中位数是 从不同角度描述一组数据的集中趋势的特点数；方差和标准差都是用来衡量一组数据相对它们的平均数的 离散程度的大小；（一）平均数、众数与中位数 1. 总体、个体、样本和样本容量；总体是考察对象的全体,总体中的每一个考察对象叫做个体；从总体中抽取的一部分个体叫做总体的 一个样本,样本中个体的数目叫做样本容量； 2. 平均数；x1,x2,xn,那么样本平均数为：f1xf21 nx1x 2
2、xn设样本数据为 3. 加权平均数,xx f1x f2x fi其中,finn中位数、众数；中位数：将一组数据按大小次序排列,把处在最中间位置的一个数据,叫做这组数据的中位数；众数：在一组数据中显现次数最多的数叫做这组数据的众数；（或最中间两个数据的平均数） 4. 众数、中位数、平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势,其中以平均数的应用最为广泛；（二）方差与标准差 1. 方差：（1）定义：样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做该样本的方差；（2）方差的运算公式：S21 nx 1x 2x 2x2x n2 x （3）方差的简化运算公式：S21 nx 12x 22x n2nx2（4）数据的
3、规律变化对平均数、方差的影响；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数据平均数方差 2. 标准差：x 1x 1,x2,xnaaxS22a,x2a,xnxaS22 k Skx 1,kx2,kxnkxkx 1a,kx2a,kx nk xa2 k S2样本方差的算术平方根叫做样本标准差 3. S1x1x 2x2x2x nx2 样本方差、 标准方差越大, 说明样本数n样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的特点数,据的波动就越大,也就是说稳固性越差；（三）频率分布： 1. 频率分布：频率分布反映的是样本数据在各个小范畴内所
4、占比例的大小,从而估量总体的分布规律； 2. 获得一组数据频率分布的一般步骤：（1）运算最大值与最小值的差；（2）打算组距和组数；（3）打算分点；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图； 3. 有关的名词：在频率分布表里,落在各小组内的数据的个数叫做频数；每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一 小组的频率；即：频率频数频数数据总数样本容量在频率分布直方图里：名师归纳总结 小长方形的面积组距频率频率1200 名考生的成果,第 2 页,共 9 页组距小长方形的高频率1 频数组距组距 数据总数例 1. 为了考察北京市中学毕业升学数学考试的情形,从十二万五千考生中抽取了在以下说法中正确选项（）-
5、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A. 十二万五千名考生数学考试成果的总和是总体 B. 每个考生考试成果是个体,而不是“ 同学”； C. 1200名考生是样本 D. 1200名考生的成果是样本容量分析： 此题主要考查对四个基本概念的懂得,这里的考察对象是考生的“ 数学成果”因此,十二万五千名考生的数学考试成果是总体,每个考生的数学考试成果是个体；1200 名考生的数学考试成果是总体的一个样本,1200 是样本容量,应选B；180 名中学男生的身高例 2. 为制定本市中学一、二、三年级同学校服的生产方案,有关部门预备对作调查,现有三种调查方案： A. 测量少
6、年体校中 180 名男子篮球、排球队员的身高 B. 查阅有关外地 180 名男生身高的统计资料 C. 在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学,在这几所学校有关年级的（1）班中,用抽签的方法分别选出 10 名男生,然后测量他们的身高为了达到估量本市中学这三个年级男生身高分布的目的,你认为采纳上述哪一种调查方案比较合理,为什么？分析： 此题要求从所给的三种调查方案中选出合理的方案并阐释理由,这需要领会统计的基本思想,才能做出正确挑选及合理说明；解： 方案 C比较合理,由于方案 计总体的统计思想；C采纳了随机抽样的方法,随机抽样比较具有代表性,符合用样本估例 3. 求以下各组数据的平均数
7、；（1） 0.1 ,0.3 ,0.6 , 0.2 , 0.4 （2）39,29,31,36,38,37 （3）3.7 ,3.5 , 3.5 ,3.6 ,3.5 ,3.7 ,3.7 分析：（1）中有五个数据,大小比较分散,宜用定义法；（2）中的六个数据,都比较接近 35,可用新数据法；（3）中一些数据重复显现多次,可挑选加权平均数公式来求； 4解： x1010 30 60 20 4 . 5 10 601235,得到新数据是：5（2）取 a=35,用原数据分别减去, 6, 4,1,3,2 0 x14641326原数据的平均数是xxa03535（3）数据中 3.7 显现 3 次, 3.5 显现 3
8、次, 3.6 显现 1 次名师归纳总结 就x1 . 37335336 . 第 3 页,共 9 页7- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1252367例 4. 某公司欲聘请一位员工,三位应聘者 评分项目A、B、C的原始评分如下表原始评分外表工作体会电脑操作社交才能工作效率应聘人A 4 5 5 3 3 B 4 3 3 4 4 C 3 3 4 4 5 假如按五项原始评分的平均数评分,谁将被聘用？假如按外表、工作体会、 电脑操作、社交才能、工作效率的原始评分分别占 10%、 15%、20%、25%、30%综合评分,谁将被聘用？解： 运算可得：x A 4,x B
9、36,x C 38 按原始评分的平均分,应聘人 A 最高,将被录用；（2）按其次种方法综合评分,得xA=3.8 ,xB=3.65 ,xC=4.05 ,故应聘人C得分最高,将被录用；注：按原始评分的平均数评分,突出了“ 工作体会” 和“ 电脑操作”交才能” 和“ 工作效率”,各有所长；,按后一项方法综合评分突出“ 社例 5. 一家鞋店在一段时间里销售了某种女鞋 20 双,其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：鞋的尺码 cm 30 28 20 23 21 25 销售量（双）5 1 2 3 5 4 指出这组数据的众数、中位数；分析： 数据频数最高的数就是众数,由于20 是偶数,所以排在最中间的两个数据的
10、平均数是中位数；这解： 这组数据中, 30、21 显现的频数都是5,最多,因此众数是30cm,21cm,将20个数据进行排列,最中间的两个数为23,25,故中位数为2322524cm；注： 1. 一组数据中的众数可能不止一个； 2. 此题求中位数,在排列数据时,易犯如下错误：排列数据 20,21,23,25,28,30 中位数为 23 2524cm；2例 6. 有 14 个数据, 由小到大排列, 其平均数为 34,现在有一位同学求得这组数据前 8 个数的平均数为 32,后 8 个数的平均数为 36,求这组数据的中位数；分析： 这一组数据共有 14 个数, 且排列次序是由小到大排列的,那么中位数
11、应当是最中间两个数据的平均数,只需求出最中间两个数据或它们的和即可；名师归纳总结 解： 设这组数据前6 个数据的和为x,中间两数据的和为y,后 6 个数据的和为z,由题意,得：第 4 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xyz3414x y 328 y z 368 ,得 y=68 最中间两个数据的平均数为 34,故这 14 个数的中位数是 34；例 7. 如下列图,ABC是一块锐角三角形余料,边 BC=120毫米,高 AD=80毫米,要把它加工成一个矩形零件,使矩形的一边在 BC上,其余两个顶点分别在 AB、AC上,设该矩形的长 QM=y毫
12、米,宽 MN=x毫米；（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x 与 y 分别取什么值时,矩形PQMN的面积最大？最大面积为多少？（ 3） 当 矩 形 PQMN的 面 积 最 大 时 , 它 的 长 和 宽 是 关 于 t 的 一 元 二 次 方 程t210pt200q0的两个根,而p、 的值又恰好分别是a,10,12,13, 这5个数据的众数与平均数,试求a 与 b 的值；分析： 此题综合性强,内容涉及几何、函数、方程、统计学问；解：（1）由题意知,APN ABC y1203x,0x80PNAE,即y80xBCAD120802（2）设矩形 PQMN的面积为 S 就Sxyx 1203
13、x3x2120x3x4022400,0x80222当x40时,S 有最大值2400,此时y24006040故当 x=40 毫米, y=60 毫米时,矩形PQMN面积最大,最大面积为2400 平方毫米； 3由根与系数的关系,得406010pp104060200 qq12a,10,12,13,b 众数为 10 a=10 或 b=10 当a10 时,有10101213b12,b15cm）：5当 b=10 时,同理可得a=15；10 株苗,分别测得它们的苗高如下（单位：例 8. 从甲、乙两种农作物中各抽取甲： 9,10,11, 12,7, 13,10,8,12,8；名师归纳总结 - - - - - -
14、 -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 乙： 8,13,12, 11,10,12,7,7,9, 11；问：（1）哪种农作物的苗长得比较高？（2）哪种农作物的苗长得比较整齐？分析： 比较两种农作物苗高的平均数可得出哪种农作物长得高,运算出两种农作物苗高的方差,通过 比较可得出哪种农作物长得比较整齐；解： x甲1910118 1010x 乙1 811 10131210x甲x乙两种农作物的苗平均高度相同； 2 S甲192102102102810 236102 S乙1 1010 1310 11102 4 282 S 甲2 S 乙甲种农作物的苗长得比较整齐；答：甲、乙
15、两种农作物的苗长得一般高,甲种农作物的苗长得比较整齐；例 9. 一组数据 1,2,3,x, 1, 2, 3,其中 x 是小于 10 的正整数,且数据的方差是整数,求 该数据的方差；分析： 本组数据中有未知数据,要求方差,必需先求出未知数据,而建立方差与未知数据之间的关系 是解决此题的关键；解： x1 1223xx2123 x22 3 x277S2122 3x1 22 127128x2246x27749又 x 是小于 10 的正整数, S 2是整数x=7 当x7时,该数据的方差S2467210；49例 10. 在对某班的一次数学测验成果进行统计分析中,各分数段的人数如下列图（分数取正整数,满 分
16、为 100 分）,请观看图形,并回答以下问题：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）该班有 _名同学；（2）69.579.5 这一组的频数是_,频率是 _；（3）请估算该班这次测验的平均成果；分析： 图表反映了每一分数段所对应的人数,这是懂得图表语言的关键； 1. 解：（1）该班人数为：6+8+10+18+16+2=60（人）18032 71 分 分数为69 5 . 795 这一组的有18 人,故频率为60 x1 4565586510751885169560该班这次测验的平均成果约为71 分；一组数据 2,4,6,
17、 a,b 的平均数为10,（1）求 a,b 的平均数；（2）求 4a+7,4b+10 的平均数； 2. 有 10 个样本数据, 2 显现过 4 次, 2.5 显现过 4 次, 3 显现过 2 次,求样本平均数和方差； 3. 已知数据 a,a,b, c,d,b,c,c,且满意 abcd,求这组数据的众数、中位数、平均数； 4. 已知一组数据的方差为 S 2,将这组数据中的每个数都乘以 R,证明所得的一组新数的方差是 R 2S 2； 5. 已知一组数据 4,8,x,5, 9 的平均数为 y,且 x、y 是方程 Z 210Z240 的两根,求这组数据的众数、中位数及平均数； 6. 某班有 48 名同
18、学, 在一次数学测验中,此班同学中最高得分 100 分,最低得分 51 分,分数只取整数,统计其成果,绘制出频率分布直方图如图,图中从左到右的小长方形的高度比是 1：3：6： 4：2,求分数在 70.5 到 80.5 之间的人数； 7. 一次科技学问竞赛,两组同学成果统计如下表：名师归纳总结 人分数50 60 70 80 90 100 第 7 页,共 9 页甲组2 5 10 13 14 6 数乙组4 4 16 2 12 12 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 已经算得两个组的人均分都是80 分,请依据你所学过的统计学问,进一步判定这两个组这次竞赛中成绩
19、谁优谁劣,并说明理由；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 参考答案 1. （1）19 （2）84.5 6舍去；33 人,乙组有26 2. x2 4,S2014 3. 众数 c；中位数b2c；平均数2a2 b3 cd ；8 5. 解： x、y 是方程 Z210 Z240的两根；x4 或 6x6yy4又当 x=6 时,数据 4,8,x, 5,9 的平均数不行能为4,故xy4x4原数据为4,8, 4,5,9 y680 分）,甲组有众数为 4,中位数为5,平均数为6； 6. 18人 7. 解：（1）从众数看,甲为90 分,乙为 70 分,甲组成果较好；（2）从中位数看,两组中位数均为80 分,但在80 分以上（包括人,甲组人数多于乙组人数,甲组成果较好；（3）从方差看, S 甲 2172,2 S 乙2562 S 甲2 S 乙从成果的稳固情形比较,甲组成果优于乙组；（4）甲组成果高于 90 分的人数有 20 人,乙组成果高于 90 分（包括 90 分）的人数 24 人,这说明,乙组成果集中在高分段的人数较多,同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多 6 人,从“ 优生层”看,乙组的成果较好；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页