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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点多边形学问要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形；凸多边形分类 1：凹多边形正多边形：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形；分类 2：多边形 非正多边形：1、n 边形的内角和等于 180（n-2）；多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于 360；3、n 边形的对角线条数等于 1/2 n（n-3）只用一种正多边形：3、 4、6/；镶嵌 拼成 360 度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4；学问点一：多边形及有关概念1、 多边形的定义：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做
2、多边形. （ 1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角,一个n 边形有 n 个内角；外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角；（ 2）在定义中应留意：一些线段（多边形的边数是大于等于 3 的正整数）；首尾顺次相连,二者缺一不行 ; 懂得时要特殊留意“ 在同一平面内” 这个条件 ,其目的是为了排除几个点不共面的情形 ,即空间多边形 . 2、多边形的分类 :1 多边形可分为凸多边形和凹多边形,画出多边形的任何一条边所在的直线,假如整个多边形都在这条直线的同一侧,就此多边形为凸
3、多边形,反之为凹多边形（见图 多边形 . 凸多边形 凹多边形 图 1 1）.本章所讲的多边形都是指凸2 多边形通常仍以边数命名,多边形有n 条边就叫做n 边形三角形、四边形都属于多边形,其中三角形是边数最少的多边形学问点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形；如正三角形、正方形、正五边形等；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 正三角形正方形正五边形名师总结优秀学问点正十二边形正六边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件,二者缺一不行. 如四条边都相等的四边形不肯定是正方形,四个角都相
4、等的四边形也不肯定是正方形,只有满意四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形学问点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. 如图 2,BD 为四边形ABCD 的一条对角线；要点诠释：1从 n 边形一个顶点可以引 n 3条对角线,将多边形分成 n2个三角形；2n 边形共有 条对角线；证明 ：过一个顶点有 n3 条对角线 n3 的正整数 ,又共有 n 个顶点,共有 nn-3 条对角线,但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次,凸 n 边形,共有 条对角线；学问点四：多边形的内角和公式1.公式：边形的内角和为. 2.公式的证明：证法 1：在 边形内任取
5、一点,并把这点与各个顶点连接起来,共构成 个三角形,这 个三角形的内角和为,再减去一个周角,即得到 边形的内角和为 . 证法 2：从 边形一个顶点作对角线,可以作 条对角线, 并且 边形被分成 个三角形, 这 个三角形内角和恰好是 边形的内角和,等于 . 证法 3：在 边形的一边上取一点与各个顶点相连,得 个三角形,边形内角和等于这 个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数,即 . 要点诠释：1 留意：以上各推导方法表达出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想；2 内角和定理的应用：已知多边形的边数,求其内角和；已知多边形内角和,求其边数；学问点五：多边形的外角和公式1.公式：
6、多边形的外角和等于 360 . 2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角,所以 边形的内角和加外角和为,外角和等于 .留意： n 边形的外角和恒等于 360 ,它与边数的多少无关；要点诠释：1 外角和公式的应用：已知外角度数,求正多边形边数；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 已知正多边形边数,求外角度数. 名师总结优秀学问点2 多边形的边数与内角和、外角和的关系：n 边形的内角和等于n2180 n 3,n 是正整数 ,可见多边形内角和与边数n 有关,每增加1 条边,内角和增加180 ；多
7、边形的外角和等于360 ,与边数的多少无关；学问点六：镶嵌的概念和特点 1、定义： 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全掩盖,通常把这类问题叫做用多边形掩盖平面 或平面 镶嵌 ；这里的多边形可以外形相同,也可以外形不相同；2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360 ；相邻的多边形有公共边；3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：1 用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为 360 ；2 只用一种正多边形镶嵌地面对于给定的某种正多边形,怎样判定它能否拼成一个平面图形,且不留一点间隙？解决问题的关键在于正多边形的内角特点；当环绕一点拼在一起的
8、几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角 360 时,就能铺成一个平面图 形；事实上,正n 边形的每一个内角为,要求 k 个正 n 边形各有一个内角拼于一点,恰好掩盖地面,这样360 ,由此导出 k2,而 k 是正整数,所以n 只能取 3,4,6；因而,用相同的正多边形地砖铺地面,只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用；留意： 任意四边形的内角和都等于360 ；所以用一批外形、大小完全相同但不规章的四边形地砖也可以铺成无间隙的地板,用任意相同的三角形也可以铺满地面；3 用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形,关键是相关正多边形“ 交接处各角之和
9、能否拼成一个周角” 的问题；例如,用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌,见下图：又如,用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面,由于它们的交接处各角之和恰好为一个周角 360 ；规律方法指导1内角和与边数成正比：边数增加,内角和增加；边数削减,内角和削减 . 每增加一条边,内角的和就增加 180 （反过来也成立） ,且多边形的内角和必需是 180 的整数倍 . 2多边形外角和恒等于 360 ,与边数的多少无关 . 3多边形最多有三个内角为锐角,最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角,最少没有钝角
10、 . 4在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时,常与方程思想相结合,运用方程思想是解决本节问题的常用方法 . 5在解决多边形的内角和问题时,通常转化为与三角形相关的角来解决 讨论复杂图形的基础,同时留意转化思想在数学中的应用 . 经典例题透析 类型一：多边形内角和及外角和定理应用1一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍,它是几边形？. 三角形是一种基本图形,是名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点. 只要设出边数,依据条件列出关于的总结升华： 此题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用方程,
11、求出的值即可,这是一种常用的解题思路. 举一反三：【 变式 1】如一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800 ,求这个多边形的边数. 【 变式 2】一个多边形除了一个内角外,其余各内角和为2750 ,求这个多边形的内角和是多少？【答案】 设这个多边形的边数为,这个内角为,. 【 变式 3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为 类型二：多边形对角线公式的运用1350 ,求这个多边形的边数；【 变式 1】一个多边形共有20 条对角线,就多边形的边数是（）. A6 B7C8 D9 【变式 2】一个十二边形有几条对角线；总结升华 ：对于一个n 边形的对角线的条数,我们可以总结出规律条,牢记这个
12、公式,以后只要用相应的 n 的值代入即可求出对角线的条数,要记住这个公式只有在懂得的基础之上才能记得牢；类型三：可转化为多边形内角和问题【 变式 1】如下列图,1+2+ 3+4+5+ 6=_. 【 变式 2】如下列图,求A B C D E F 的度数；类型四：实际应用题4如图,一辆小汽车从P 市动身,先到B 市,再到 C 市,再到 A 市,最终返回 P市,这辆小汽车共转了多少度角？名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 思路点拨： 依据多边形的外角和定懂得决. 名师总结优秀学问点举一反三：【 变式 1】如下列图,小亮从 A
13、 点动身前进 10m,向右转 15 ,再前进 10m,又向右转 15 , ,这样始终走下去,当他第一次回到动身点时,一共走了 _m. 【变式 2】小华从点 A 动身向前走 10 米,向右转 36 ,然后连续向前走 10 米,再向右转 36 ,他以同样的方法连续走下去,他能回到点 A 吗？如能,当他走回点 A 时共走了多少米？如不能,写出理由；【变式 3】如下列图是某厂生产的一块模板,已知该模板的边AB CF,CD AE. 按规定 AB 、CD 的延长线相交成80 角,因交点不在模板上,不便测量. 这时师傅告知徒弟只需测一个角,便知道AB 、CD 的延长线的夹角是否合乎规定,你知道需测哪一个角吗
14、？说明理由. 思路点拨： 此题中将 AB 、CD 延长后会得到一个五边形,依据五边形内角和为540 ,又由 AB CF,CD AE,可知 BAE+ AEF+ EFC=360 ,从 540 中减去 80 再减去 360 ,剩下 C 的度数为 100 ,所以只需测C 的度数即可,同理仍可直接测A 的度数 . 总结升华： 此题实际上是多边形内角和的逆运算,关键在于正确添加帮助线 . 类型五：镶嵌问题5分别画出用相同边长的以下正多边形组合铺满地面的设计图；1 正方形和正八边形；2 正三角形和正十二边形；3 正三角形、正方形和正六边形；思路点拨： 只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角,那么这些多
15、边形就能作平面镶嵌；解析： 正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是 60 、 90 、 120 、 135 、150 ；1 由于 902 135360,所以一个顶点处有 1 个正方形、 2 个正八边形,如图 1 所示；2 由于 602 150360,所以一个顶点处有 1 个正三角形、 2 个正十二边形,如图 2所示；3 由于 602 90120 360,所以一个顶点处有 1 个正三角形、 1 个正六边形和 2 个正方形,如图 3 所示；总结升华： 用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形,实质上是相关正多边形“ 交接处各角之和能否拼成一个周角” 的问题； 举一反三
16、：【变式 1】分别用外形、大小完全相同的三角形木板； 四边形木板； 正五边形木板；正六边形木板作平面镶嵌,其中不能镶C、D、嵌成地板的是 A 、B、解析： 用同一种多边形木板铺地面,只有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用,不能用正五边形木板,故【 变式 2】用三块正多边形的木板铺地,拼在一起并相交于一点的各边完全吻合,其中两块木板的边数都是 8,就第三块木板的边数应是 A、4 B、 5 C、6 D、8 【答案】 A（提示：先算出正八边形一个内角的度数,再乘以 2,然后用 360 减去刚才得到的积,便得到第三名师归纳总结 第 5 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点块木板一个内角的度数,进而得到第三块木板的边数）练习1多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600 ,求这个多边形的边数2n 边形的内角和与外角和互比为 13：2,求 n3五边形 ABCDE的各内角都相等,且 AEDE,AD CB吗？4将五边形砍去一个角,得到的是怎样的图形？5四边形 ABCD中, A+B=210 , C4D求： C或 D的度数6在四边形 ABCD中, ABACAD, DAC 2BAC求证： DBC 2BDC名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页