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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载,有一、填空题（本大题共5 小题,每道题2 分,共 10 分）1、在53棋盘中选取两个相邻的方格（即有一条公共边的两个方格） _ 种不同的选取方法；2、将 5 封信投入 3 个邮筒,有 _种不同的投法；3、含 3 个变元x y z的一个对称多项式包含9 个项,其中4 项包含 x , 2 项包含xyz,1 项包含常数项,求包含xy的项有个. 4、如kfn不恒等于零,而k1fn恒等于零,就f n 是 n 的_次多项式；5、把 9 个相同的球放入3 个相同的盒,不答应空盒,就有_种不同方式；二、单项挑选题（本大题共5 小题,每道题2
2、分,共 10 分）1、不定方程x 1x 2x nr rn 正整数的解的个数为多少？（）A.r1B.rrnrnC.nr1D.nrrn1r2、从 1 至 1000 的整数中,有多少个整数能被5 整除 但不能被 6 整除？（）A.167 B.200 C.166 D.33 3、对于第一类stirling 数,且（ n2）, 以下等式正确选项（）A .s1n 1, 1 n1n1 .B.s1n,21 n1n2 .C.s 1n 3, 1 n1n3 D.s1n,n1nn124.fn1,n0 , 就kf n 等于（）nA. 0B.n2k .3 nC.k1 .D.n nk.1 knkn23 n1 5、期末考试有六
3、科要复习,如每天 至少 复习完一科（复习完的科目不再复习）把全部科目复习完,就有多少种不同的支配？（）, 5 天里A. 9 B. 16 C.90 D.1800 三、判定题（本大题共5 小题,每道题2 分,共 10 分）名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载；判定以下各题正误,正确的在题后括号内打“ ”,错误的打“ ”1、nn1n1nk10,（）kkk12、是P nx0的 m 重根,就有P nP n.P nm1（）但nPm0；S2n,1k；（）3、数列lg5n的指数生成函数为e 5 ；4、对n,k,S 2
4、n,kS 2n,1k1（）5、如Bt存在逆元,就恒有AtAtBtBt四、运算题（本大题共3 小题,分值分别为6、6、9 分,共 21 分）运算以下各题,并在答题纸上写出解题过程及结果；如只写出运算结果而无解题过程就该题得分为零；2 n 51、求 1 2 x x 的绽开式中 x 的系数 ,其中 n 3；2、求 a n n 5 的常生成函数； （n 0）3、解递推关系 a n 5 a n 1 6 a n 2 n 2,a 0 27, a 1 49.（n 2）4 4五、应用题（本大题共 5 小题,分值分别为 5、6、6、 7、9 分,共 33 分）解以下各题,并在答题纸上写出解题过程及结果；如只写出运
5、算结果而无解题过程就该题得分为零；1、把 4 个人分成两组,每组至少一人,求不同的分组方法？2、一次宴会, 5 位来宾寄存他们的帽子,在取帽子的时候有多少种可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子？3、平面上有n n2个圆,任何两个圆都相交但无3 个圆共点,求这n 个圆把平面划分成多少个不连通的区域；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4、用 17 张 100 元钱买 3 支股票,不要求每支股票都买,但要求买 A 股钱数必需是 200 的倍数,买B 股钱数是 400 的倍数,求有多少种买法？anan
6、1n5、有个猎人有个习惯,卖完小鸟后的第一天抓2 只小鸟,第n 天抓只小鸟,并每 天把它们随机的放在 20 个大鸟笼里喂养；有人知道猎人这种习惯,便问猎人什么时候才拿鸟去卖；猎人回答：当必有一个鸟笼里至少有 15 只小鸟时；请问猎人多少天后才拿小鸟去卖？六、证明题（本大题共2 小题,分值分别为6、10 分,共 16 分）证明以下各题,并在答题纸上写出证明过程；1、F 为 Fibonacci 数,nk1,试证：11n1Fn1Fn.；10FnFn12、用两种不同方法证明：n12 n2n2n3k1 kk n1 n2 0名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 -
7、- - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、填空题 （每道题 2 分,共 10 分）：1、22 解：用加法原就：5 （ 3-1） +3 （ 5-1）=22；2、243 解：每封信都有3 个挑选；信与信之间是分步关系；所以分步属于乘法原就,即3333381 3=243；3、 2 解：设 S 为 9 个项构成的集合,设a 表示含有 x 这一性质,设 b 表示含有 y 这一性质, ,设 c 表示含有 z 这一性质,所求为：N ab ,而：2N abc SN0N a N b N c N ab N bc N ac （其中N 为常数项个数）. 再由对称性有：N a N b N c ,N abN
8、bcN ac ,又S9,N a 4,N abc 得：N ab2；4、 k 解：多项式的差分定理3.6；5、 7 解：等价于正整数9 的 3-部无序分拆数P 39；r由定理P rnP knrnr得：k1rP 39=k1P k6 P 16 P 3P 26 P 36 P 2 3 +P 33=4+1+1+1=7 =1+3+6=4+1P 3 +二、挑选题（ 每道题 2 分,共 10 分）：1、A 解：课本推论1.3；2、A 解：设所求为N；令 S=1,2 , ,1000 ,以 A 、B 分别表示 S 中能被 5 和能被6 整 除的整数所成之集,就：3、A N= A-B = A - AB1 .n （n2
9、）2 ,仅有D =1000/5-1000/5 6=200-33=167 ；解：S（1n1,）1 2 n1 1 n1n4、D 解：方法一：用代入法,2fnfn1fnn21 n符合；名师归纳总结 方法二2f：数f学1 归f纳法n,n当,k=2时,第 4 页,共 10 页nnnn221 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 假设 k=m时,有mfn学习必备n欢迎下载m nm .1 m1n5、D 当 k=m+1时,有m1fnmfn1 mfn（m1）.1 m11；n n1 nm由数学归纳法证得：kfnnnk.1 knk；求得为 D项；1解：该问题类同于求将6 件相异
10、物分放到5 个不同盒中使得无一空的不同方法,即求： 5 ！S2（ 5,）；因此 5 ！S2（ 5,）=5！n=1800；2三、 判定题（ 每道题 2 分,共 10 分）：1、解：定理 1.16；证：设Aa 1,a2,.,an, A 的 k 元子集,n1； 故含a 的 k 元 子 集 的 个 数 为n1, 不 含a 的 k 元 子 集 的 个 数 为k1knn1n1；kkk1=t5 ；2、解：由定理直接可知道,原命题成立；3、解：该数列的指数生成函数为lg5 ntn/n .tlg5n/n .t elg5n0n0为一类,剩余4、解：解：S 2n ,k表示 n 元集Aa1,a2,.,an的 k 划分
11、数,如a 1n1n1元集划元集进行k1 划分数为S 2n,1k1；如a 1不为一类, 第一将分成5、k 类的方式数为S2n,1k,再将a 1放入 k 类中的某一类,方式数有k ,即n ,kkS2n,1k；所以S 2S 2n,1k1S 2n,1k,即原命题成立；解：如Bt存在逆元,记为B1t,就有BtB1 t1,所以AtAtB1tAtB1t,故原命题不成立；BtBtB1t四、 运算题 ：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、2n（n3）学习必备欢迎下载5名师归纳总结 解：12xx2n= 1x 2n 1x2n； （3
12、分）第 6 页,共 10 页又由于 1x2n2n2nxk （5 分）k0k所以x 的系数为 52n（n3） （6 分）52、54t1t2解：设A t a tn,就A t n5tnn1 tn4tnn0n0n0n01t241t114t4t54 t121t23、an32n3n1n11n2 .24解：递推关系an5an16an2n2（ 1）的特点方程为x25x60,特点根为x 12 ,x 23 . 故其通解为anc12nc23n. （ 3 分）由于（ 1）式无等于1 的特点根,所以递推关系an5 an16an2n2n2（2）有特点根a nAnB,其中 A 和 B 是待定常数,代入（2）式得AnB5A
13、n1 B6 A n2Bn2化简得2An2B7An2,所以2A12B7A2解之得A1 B 211.于是anc 12nc23n1n1, （ 7 分）424- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其中c 1,c2学习必备欢迎下载112749c 1c2是待定常数；由初始条件得442 c 13 c 2111244解之得c 1,3c2.1所以an32n3n1n11n2 . （ 9 分）24五、 应用题 ：1、7 不同的分组方法；解：设所求为N；以甲乙丙丁表示4 个人,就满意太阳题意的N 种分组方法可分成如下两类：1 有一组仅有 1 人的分组方法；由于在一人组中的人可以是
14、甲乙丙丁这四人中的任何一个人,故 4 种分组方法； （2 分）2 两个组各有 2 个人的分组方法；由于甲所在的组确定之后,另一组也确定了而与甲同组的人可以是乙丙丁这3 个人中任何一人,故3 分组方法； （4 分）就 N=4+3=7 （ 5 分）2、44 种可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子；解：属于重排问题,所求为3、这 n 个圆把平面划分成解：设这 n 个圆分平面为D5；D 5.5（111111）5！44 （ 6 分）1！2！3！4！n2n2不连通的区域；a 个不连通区域 . 如再增加一个圆, 就增加的圆与原先的圆共有2n个交点,也就分成了 2n 段,每一段分所在区域为两个区域,即增加
15、了 2n个区域 . 所以 a n 1 a n 2 na n a n 1 2 n 1 1 名师归纳总结 a2a 12 1n1n （ 3 分）第 7 页,共 10 页将以上 1 至n12； （ 6 分）等式相加得：2 na na 1n n12n n1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4、25 种买法；解：此题等同于求方程x 12x2y4x 3y317的非负整数解的个数； （ 1 分）y3方程通过换元可变为：y1217,其中1y 为非负整数,y 为非负偶数,为非负的 4 的倍数的整数； （3 分）4t22t3 1t4tt8所求为常生成由此构
16、造常生函数：1tt2 1函数的t17的系数,化简生成函数为：,可求得公式得18的系数为 25； （611t11211t41t1t21tt分）5、猎人 11 天后才拿小鸟去卖；解：anan1n=a n2（n1）n= =a 123n,因此an1nn1 n1 ； （ 2 分）2S 只小鸟,S =n1aknn1n n1 ,n 天后猎人共抓kk2设fnn n1 ,fn 是 n 的 2 次多项式,因此2kn0f kk20n1kf0 ； （ 4 分）由于f00 ,k1f0 ,12 f0 1,因此nk20n1kf 0 =0n21n31fkk1k0因此S =nn1 n2+ n6由于当必有一个鸟笼里至少有=nn1
17、 n2 6 （ 6 分）15 只小鸟时猎人才拿小鸟去卖,利用鸽笼原理,有：名师归纳总结 Sn1n 115n=11 第 8 页,共 10 页20由此可知 280S 301,即 280n1 n2+n301,n 为整数,解得6因此猎人 11 天后将小鸟拿去卖； （ 9 分）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载六、证明题 ：1、证明：可用数学归纳法证明（1）当 n=1 时,左边 =1121,右边 =F 2F 11=211.=1,成立；10F 1F 011（2）假设 n=k 时,等式成立,就有11k1FkF k10FkFkn=k+1 时,有11k
18、211k111Fk1Fk11Fk1FFkFk1Fk2Fk1101010FkFk110Fkk1FkFk1F k由（ 1 、（2）可得等式成立； （ 6 分）2、证明：名师归纳总结 n0 kx1nn1n1n1n.1n第 9 页,共 10 页方法一：2 kk1 kn1k0k2k1k=n11kn0k12n1n1k1k11nn2n1nn1 n2 k0k2k1k11nn2n1 n2 k0k21kn2n2n3 方法二：令fx n1k22 n1 n2 2n2n3 （ 4 分）n1 n2f1 kn0k12nxk2,就k0 k1 kk1 kk由于fn1xk1kk1k0- - - - - - -精选学习资料 - -
19、 - - - - - - - 因此fx kn0nxk学习必备欢迎下载 （ 5 分） 1xn（1）k名师归纳总结 对（ 1）式两边积分,有：fxn11 1xn1C 1C2第 10 页,共 10 页即n11 1xn1C 1kn0k11nxk1,k而f00 ,因此C1n11,就fxn111xn1n11（2） （ 6 分）对（ 2）式两边积分,有：fxn1n2 1xn2n111 由于f0 0,因此C2n1n2, （ 8 分）1 因此fx n1n2 1x n2n11xn1n2 1 1 又由于f 1kn0k1k2 nk1 =n1n2 2n2n11n121 1 n=2n2nn2212n2n3 （ 10 分）n1 n1 n2- - - - - - -