《2022年北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案习题.docx（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 习题 4.4 1. 求以下函数的单调性区间与极值点:x 11,x 20,x 21.1 1,+ 1 y35 x5 x3.解y =15x415x215x 2x21,y15 x2x 2115 x2x1 x10,x , 1 1 1,0 0 0,1 y+ 0 0 0 + y 极大值无极值微小值2y11.x0.x2x名师归纳总结 y21x310,x 11.0,1 1 1,+ 第 1 页,共 6 页x3x2xx ,0 y+ 0 + y 微小值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3y12x,x,.x 2yy21x22 x
2、221 1x20,x1. 1,1 1 1,+ 1x22 2 x2 x , 1 1 4yx x0.0 1 + 0 y 极大值 1 微小值1ln2xy2lnx1/x xln2xe2lnxln2xlnx 2lnx 0,x1,x2 e.e 2,+ x x20,1 2x2x22 e1,e 2 1 y0 + 0 y 微小值极大值2. 求函数f x 23 x9x212x2 在区间 1,3名师归纳总结 上的最大值与最小值,并指明最大值点与最小第 2 页,共 6 页值点.解f 62 x18 x126x23x26x1 x20,x1,2.f 121, 17,f26,f311.f 121 是最小值,f311 是最大值
3、.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 将周长为2p 的等腰三角形绕其底边旋转一周, 求使所得旋转体体积最大的等腰三角形的底边长度.名师归纳总结 解设腰长为x ,就p/ 2xp .x第 3 页,共 6 页V2x2px 2px 22pxp2px ,33V22 p px 2pxp224px3p20,33x 03p V p/ 2V p 0. 3p 是最大值.44等腰三角形的底边长度 2 p 324. 求出常数 l 与 的值 使函数 k , f p31 p .2 2lxkx 在xx1 处有极值2,并求出在这样的 与 之下 l kf x 的全部极值点, 以及在
4、0,3上的最小值和最大值.解 f 3x22lxk,32 lk0, 1lk2.k3,l0.f x33 . x f 3 x233x1x10,x1,f 6 , x f 16,f1 是微小值,f1 是极大值.f00,f12,f318. 12 是最小值,f318 是最大值.5. 设一电灯可以沿垂直线OB 移动,OA 是一条水平线 长度为 . 问灯距离O 点多高时,A 点有最大的照度.解JKa2sin2 tanKsin2 cos,02.2 a2 aJK3 cos2sin2cos0,tan01.a22J0J/ 20, 0是最大值 , 这时灯的高度 hatan0a.26. 如两条宽分别为a 及 的河垂直相交
5、如一船从一河转入另一河 问其最大的长度是多少.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解设船与一岸夹角为,就船长为al a csc b sec ,0 .2 bsec tan al a csc cot b sec tan 0, ,csc cot btan 3 a ,tan 3 a , 0 arctan 3 a .b b blim , lim l , l 在 0,有最小值,0 是最小值点.0 / 2 22 2此时船长 l=a 1+ 3 b, b 1+ 3 a,a b32/3 2/3 2/3 2/3 2/3 2/3 2/3 2/3a a b a a b a b .
6、7. 在半径为 的球内作一内接圆锥体 , 要使锥体体积最大,问其高及底半径应是多少.解设球心到内接圆锥体底的距离为x , 就锥体体积a4a.V=32 ax2ax ,0xa .V32 x ax a22 x32 3 x2 axa2332 x2 axa233 xaxa 0,x 0a.3V033 a V a 0, a33a332. a3为最大值27底半径a22 x 0a2a22 2a ,高 ax 0a33338. 在半径为 的球外作一外切圆锥体 , 要问其高及底半径取多少才能使锥体体积最小.名师归纳总结 解设锥的高为h ,rh.a2a2,rhaha2.2aa2a2 h ha 第 4 页,共 6 页ha
7、 a 2VV h 3 h2 3a h2 aa 2V2 a2 3 hha 22 a23 h ha 2 2a h3ha 3ha 2a2 a23h222a2h22 h4 ah 23 h h4 20,h 04 .3ha 2a223 ha2 a2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当h4 a 时,V0, 当h4 a 时 , V0, 4 为最小值 , 此时r 04 a22 .8 a2名师归纳总结 9. 在曲线y24 x 上求出到点18,0 的距离最短的点第 5 页,共 6 页解d2f y y 2182y 2z182zg z ,0zzy2.44z limg z , 在
8、 ,）有最小值g z=2z1811z80,z64, 0324, 6468g0,448g 64 为最小值yz8,xy216.4曲线y24x 上到点18,0 的距离最短的点16,8,16, 810. 试求内接于已知圆锥且有最大体积的正圆柱的高度解设已知圆锥的高度为H,底半径为H. 设内接正圆柱的底半径为x ,就其体积为V2 xRxH,0xR .RV2 x Rx2 x2Rx3x2x2 R3x0,x0,2R .3V0V R 0. V2R为最大值 此时内接正圆柱的高度h = R2R HH.33R311. 试求内接于椭圆x2y21 且其底平行于x 轴的最大等腰三角形的面积.a2b2解xacos ,0 si
9、n tt2 .yb设内接等腰三角形的顶点在b ,0,而底边上的一个顶点在第一象限.内接三角形面积Sabcos 1 sin ,0t2.Sab sin 1 sin 2 costab 1sint2sin2tsintz ab 22 zz1ab 2z1 z10,zsint01.2S 0ab S 20, ab11113 3ab为最大值.424- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12. 设动点 自平面坐标的原点O 开头以速度8m/min沿y轴正向前进 而点B 在 轴的正向距离原点50m 处 同时沿 轴向原点作匀速运动,速度为6m/min. 问何时A与 距离最近. 最近的距离是多少.解2 sf t 8 2502 6 ,t0.tlimf t ,f t 在t0 取最小值.f 128 t12506 200 t6000,t03.f050,f324 232 21600d2,d40.开头后 分钟达到最近距离40m.AB名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页