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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思第四章总练习题000000001.()()()() .()(),0,.( )()(),(0)0.Lagrange,(0,1)( )(0)() ,f xhf xhfxhfxh hf xxf xxxh gg xfxxfxxgg hggh h00设y=f(x)在x-h,x+h(h0) 内可导证明存在,0 x 时a时其中 l 为常数 . 证明 : 若则在区间内方程有唯一实根证在连续 由连续怀念书函数的中间值定理在区间( )( )0.,( )Rolle,( ),( )0.14.( )(,)lim( )0.( )(1)( ),lim( )0.lim( )lim(1)(
2、 )lim(xxxxxf afxlf afxa afxllf xfxg xf xfxg xg xf xf xf内方程至少有一实根若有两个实根根据定理将在有一零点这与条件矛盾设函数在上可导，且现令证明证)(01)0.x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思12121215.( ) , Lipschiz,0, , ,|()() |.(1)( ) , ,( ) , Lipschiz(2)(1)?(3) , Lipschiz(1)( ) , 0,f xa bLx xa bf xf xL xx
3、fxa bf xa ba bfxa bL称函数在满足条件 若存在常数使对于任意都有若在连续 则在满足条件中所述事实的逆命题是否成立举一个在上连续但不满足条件的函数 .解在连续, 存在常数12121212122121|( ) |. , ., , ,|()() | |( )() | |( ) |()().(2). ( ) , Lipschiz( ) , ( )| 1,1LipschizfxL xa bx xa b xxcx xf xf xfc xxfcxxL xxf xa bfxa bf xx使得根据中值公式 , 对于任意存在使得否在满足条件, 未必处处可导 , 更谈不到在连续. 例如,在满足条件
4、111111(3) ( )0,1,Lipschiz1( )(0,1.216.( ) , ,( )( ) , ,( )( )( ).( )( )()()()()()()banniiiiiiiniiiif xxfxxF xa bFxf xa bf x dxF bF aF bF aF xF xFxxfxx, 但在0不可导 .在连续 但不满足条件, 因其导函数在无界设在可导 且其导函数在上可积 证明证1( )( ( )0). , .17.( )( ),( , ),( )( )( ),1,bainf x dxxa bP xaP xbca bP xcP xnP xxxn为的分割设多项式与的全部根都是单实根
5、证明对于任意实数多项式的根也全都是单实根 .证不妨设 a=0,b0,c(0,b),是 次多项式 , 且首项系数为正 .有单实根则这些根把实轴分为个区间 每个区间保持固定正负号 且正负相间 . 否则某个根将为极值点 , 导数为111232322212221222lim( ).0( ),(,),(,),(,),().nxkkkkkkinkP xbP xbxxxx xxx xxxxxxxP xb零, 此与单实根矛盾. 在两个无穷区间保持正号 , 且严格单调递增或递减 , 在每个有穷区间有一个最值点 , 且在其两侧分别递增和递减, 设为偶数 ,则=+设且有n个单实根. 必有根据连续函数的中间值定1122233322222221212122,(0, ),(,),(,),(,),(,),(,),(,),( ).,kkkkkkkkiicbcxcxxcxxcxxcxxcxP cc Pnc理 对于存在使得为 次多项式是P(x)=c 的所有单实根 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页