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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师精编 优秀教案【教学设计】全日制一般高级中学教科书（必修）教学第五册（下）59正弦定理、余弦定理一、内容及其解析1.内容：把同学学习的解三角形问题从解直角三角形问题扩充到解任意三角 形问题,引入正弦定理和余弦定理；2.解析：正弦定理和余弦定理是高中学习了“ 三角函数” 和“ 平面对量” 知 识后的应用问题,它是在复习中学所学的解直角三角形问题的勾股定理基础上,从实际需要动身把解直角三角形问题扩充到解任意三角形问题；本节的教学重点是正弦定理、 余弦定理的内容及其证明正弦定理、余弦定理的方法； 本节的难点运用
2、正弦定理、 余弦定懂得决两类基本的解三角形问题；教学关键是让同学懂得 正弦定理和余弦定理的应用；二、目标及解析 1.目标：把握正弦定理内容及证明正弦定理的方法（向量方法）；会运用正弦定懂得决两类基本的解三角形问题；把握余弦定理内容及证明正弦定理的方法（向量方法）会运用余弦定懂得决两类基本的解三角形问题；2.解析：能说出正弦定理的内容,会用向量法证明正弦定理；会判定给出的问题能否用正弦定懂得决,并会用正弦定懂得三角形问题；能说出余弦定理的内容,会用向量法证明余弦定理；会判定给出的问题能否用余弦定懂得决,并会用余弦定懂得三角形问题；三、教学问题诊断分析：1.运用正弦定理、余弦定懂得三角形时,受中学
3、学习勾股定理的影响,往往 只会考虑直角三角形的问题,忽视了正弦定理、余弦定理对任意三角形都成立；2.运用正弦定理和余弦定懂得三角形时,往往分不清晰该用正弦定理仍是该用余弦定理,忽视了正弦定理和余弦定理应用的条件；3.当解三角形时,假如显现一解或两解,不会进行判定；四、教学过程设计（一）教学基本流程细心整理归纳 精选学习资料 复习旧知提出问题引入新知巩固学问小结 第 1 页,共 7 页 第一课时正弦定理 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师精编 优
4、秀教案（二）教学情形一、教学目标：1.正确把握正弦定理内容及证明正弦定理的向量方法；2.敏捷运用正弦定懂得决两类基本的解三角形问题；摸索：为了建造瑞丽姐告大桥, 需要测量瑞丽江两岸的两个基座点 A 与点 B的距离；为此测量人员先在岸的一边定出基线 BC ,测得BC10,C A （如图）,ACB105,ABC45这时怎样求 AB 的长呢？B 设计意图：在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数,可以由已知的边和角求出未知的边和角；那么斜三角形怎么办？提出课题：正弦定理、余弦定理；二、问题与例题：问题 1：中学我们已经学习过解直角三角形,请同学们回忆一下直角三角形的边角关系？【分析
5、】在RtABC中,如C2,有csinB,cC；a2b2c2,acsinA,bAB2,aAbBatanA,bsinsinsin利用直角三角形中的这些边角关系对任给直角三角形的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边与其他角；式在任意三角形中也是成立的,这就是我们今日要学的正弦定理（板书正弦定理）；设计意图： 复习提问勾股定理, 解直角三角形基本情形, 通过直角三角形的特别性的得到正弦定理的一般形式,然后引入新课；问题 2：在 Rt ABC 中,如 C,恒有 c a b c成立,其反映了2 sin A sin B sin C直角三角形的边与角 （或角的三角函数） 之间的关系； 在前面学过的三角函数
6、或向量学问中,哪一处学问点表达了边（线段）角（三角函数）关系呢？【分析】三角函数的定义：y|rsin|,yrcos；向量的数量积：aba|bcos；设计意图：为了证明正弦定理, 引导同学联系所学学问对比正弦定理的形式找到证明正弦定理的方法；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -问题 3：aAbBcC名师精编优秀教案在RtABC中明显成立；对于任意的三角形,我们sinsinsin怎么证明它的正确性呢？（
7、让同学自己动手尝试证明,老师分析、点评）【分析】在 ABC 中,令 AB c , AC b , BC a,作边 BC 的高 AD 交 BC 于点 D ；A 就有：证法一（略讲）三角形面积法）由 AD c sin B b sin C有 S ABC 1 ab sin C 1 ac sin B 1 bc sin A B D C 2 2 2即 a b c；sin A sin B sin C证法二：（精讲）向量数量积法）如ABC 是锐角三角形,就|B A 2CC AB,AD2B ,AC,AD2CD 由向量的减法法就（三角形法就）,有ABACCBADABAC ADCB|AC|cos0又ADCD,有|AD|
8、AB|cos2B|AD即|AD|csinBbsinC0csinBbsinCbcCsinBsin同理aAbB,故aAbBcC；sinsinsinsinsinA 如ABC 是钝角三角形,让同学自己仿证；证法三：（向量数量积法）在ABC 中,作ADBC交 BC 于点 D ；B D C 如点 D 在边 BC 上,有细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -AB,AD2B,名师精编2优秀教案AC,ADC由AB、AC
9、在 AD 方向上的射影相等,有ABADD ACADC 即|AB|AD|cos2B|AC|AD|cos2Cy所以csinBbsinCbBcCsinsin同理aAbB,故aAbBcC；sinsinsinsinsin如点 D 在边 BC 的延长线上,由同学自己仿证；证法四：（平面解析法）如图建立Axy；BA sincBB x作平行四边形 ABCD ,就ADBC,DABB,a由三角函数定义,知CbcosA ,bsinA ,Dacos由CD /AB,有bsinAasinBb；即aAbB,同理aAcC,故asinsinsinsinsinAsinBsinC证法五：（圆内接三角形法）已知如图,在圆 O 内接三
10、角形 ABC 中,过点 A 作圆 O 的直径 AD ,连接CD ；在RtADC中,由ABCADC,有B A C sinb2R,即bB2RADCsinD 同理可得到其它边角关系,即可证得；设计意图：引领同学证明（证法一、证法二（重点）正弦定理,提示同学正弦 定理的证明方法仍有多种,并让同学自己下来探究；【正弦定理】在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -即aAbB
11、名师精编；优秀教案csinsinsinC问题 4：请同学们观看正弦定理,利用正弦定理可以解什么类型的三角形问题？【点评】正弦定理适合任意三角形,是勾股定理的推广；正弦定理说明同一三角形中, 边与它所对角的正弦成正比, 且比例系数为外接圆的直径 2 R；由 a b,b c 知：已知两角及其一边可以求其他边,如sin A sin B sin B sin Ca sin Ab；已知两边及其一边的对角可以求其他角,如 sin A asin B；sin B b设计意图： 使同学清晰正弦定理, 并让同学真正懂得利用正弦定理可以解决什么类型的三角形的边角问题；例题 1：在ABC 中,已知c10 ,A45,C3
12、0,求 b （保留两个有效数字）；【解】由题意,有B180AC 105由正弦定理,有bsinBc26219；,A30,求 B 和 c ；sinC例题 2：在ABC 中,已知a10 ,b103【解】由题意,知a10 ,b10,3A30由正弦定理,有细心整理归纳 精选学习资料 sinBbsinA3或B120；B120,就C30 第 5 页,共 7 页 a2又由ab,有B60就有：如如B60,就C90csinCa20；csinCa10；sinAsinA - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -
13、- - - - - - - - -名师精编 优秀教案设计意图：巩固正弦定理,让同学会利用正弦定懂得决简洁的三角形的边角问题,并为其次课时判定三角形的一解或多解埋下伏笔；二、目标检测：1. 在 ABC 中,肯定成立的等式是（ C ） A. a sin A b sin B B. a cos A b cos BC. a sin B b sin A D. a cos B b cos A2. 在 ABC 中,已知 a 4 , b 4 2 , B 45,求 A 和 c ；【分析】由题意,知 a 4 , b 4 2 , B 45由正弦定理,有3. 在任一sinAasinB1bsinCsinAc sinAsi
14、nB0；b2又由ab,有A30；由C180AB 105就有csinCa262；sinAABC 中,求证：asinBsinC【分析】由题意及正弦定理,令a2RsinAb2RsinBc2 RsinC就有：asinBsinCb sinCsinA c sinAsinB2R sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB 0设计意图：巩固正弦定理,让同学会利用正弦定懂得决简洁的三角形的边角问题；三、小结：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师
15、归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师精编 优秀教案问题 5：正弦定理表达了三角形中怎样的边角关系？利用正弦定理能解决什么类型的三角形问题？已知两角和任一边,求其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；四、配餐作业：A组：1. 在 ABC 中（结果保留两个有效数字）：已知 c 3 , A 45 , B 60,求 b ；已知 b 12 , A 30 , B 120,求 a ；2. 依据以下条件解三角形（角度精确到1 ,边长精确到 1）：b11 ,a20 ,B30；c54 ,b39 ,C115；b26 ,
16、c15 ,C23；a15 ,b10 ,A60；B组：1. 如图,已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 57 cm,它与两条邻边 AB 和 AD 的夹角分别是 27 和 35 ,求 AB 和 AD （精确到 1 cm）；2. 已知 ABC 中,a 3 3 , c 3 3 , C 15；求 S ABC（保留三个有效数字）；3. 在 ABC 中,b 2 B 45,如 ABC 有两解,求 a 的取值范畴；4. 已知在 ABC 中,三边 a , b , c 所对的角分别是 A , B , C,且 a , b , c 成等差数列,求证：sin A sin C 2 sin B；C组：1. 在ABC 中,A ,B,C所对的边长分别为a ,b ,c,求证：A80,a2b bc,S ABC1absinC1acsinB1bcsinA；2. 在222ABC 中,三个内角A ,B,C的对边分别是a,b,c,且求 C ；3. 在ABC 中,求证：a2sin2Bb2sin2A2 absinC； 第 7 页,共 7 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -