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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载正弦定理一、教学内容分析 ：一般高中课程标准数学教科书数学必修 5人教 A 版第一章解三角形： 1 1“正弦定理和余弦定理”的第1 课。“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性， 在这次课程改革中， 被保留下来， 并独立成为一章。 解三角形作为几何度量问题， 应突出几何的作用和数量化的思想，为同学进一步学习数学奠定基础。本课“正弦定理”， 作为单元的起始课， 为后续内容作学问与方法的预备，是在同学 已有的三角函数及向量知 识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发觉并把握
2、正弦定理（重要的解三角形工具），解决简洁的三角形度量问题。教学过程中，应发挥同学的主动性，通过探究发觉、合情推理与演绎证明的过程，提高同学的思辨才能。二、同学学习情形分析：由于本 课内容和一些与测量、 几何运算有关的实际问题相关，教学中如能留意课程与生活实际的联系，留意学问的发生过程，定能激起同学的学习爱好。当然本课涉及代数推理，定理证明中可能涉及多方面的学问方法，综合性强，同学学习方面有肯定困难。三、设计思想：定理教学中有一种简洁的处理方式：简洁直接的定理出现、照本宣科的定理证明，然后是大剂量的“复制例题”式的应用练习。本课采纳试验探究、自主学习、合作沟通的争论性学习方式，重点放在定理的形成
3、、证明的探究及定理基本应用上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。从实际问题动身，引入数学课题，最终把所学学问应用于实际问题。四、教学目标：让同学从已有的学问体会动身,通过对特别三角形边角间数量关系的探求，发觉正弦定理。再由特别到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学 生通过观看，猜想，比较，推导正弦定理，由此培育同学合情推理探究数学规律的数学思考才能。培育同学联想与引申的才能，探究的精神与创新的意识，同时通过三角函数、向量与正弦定理等学问间的联系来帮忙同学初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。五、教学重点与难点：本节课的重点是正弦定理的探究、证明及其基本
4、应用。难点是正弦定理应用中“已知两边和其中一边的对角解三角形，判定解的个数”，以及规律思维才能的培育。六、教学过程设计：（一）创设情境 :A问题 1、在建设水口电站闽江桥时, 需预先测量桥长 AB,于是在江边选取一个测量点 C,测得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CB=435m,CBA=880 , BCA=420 。由以上数据， 能测880420可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结算出桥长 AB吗？这是一个什么数学问题.引出：解三角形已知三角形的某些边和角，B435mC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学
5、习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载求其他的边和角的过程。设计意图：从实际问题动身，引入数学课题。师：解三角形，需要用到很多三角形的学问，你对三角形中的边角学问知多少？生： ，“大角对大边，大边对大角”师：“ab c A B C”，这是定性的争论三角形中的边角关系，我们能否更深刻的、从定量的角度争论三角形中的边角关系？引出课题：“正弦定理设计意图：从联系的观点，从新的角度看过
6、去的问题，使同学对于过去的学问有了新的熟悉，同时使新学问建立在已有学问的坚实基础上，形成良好的学问结构。（二）猜想、试验：1、发散思维，提出猜想：从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可能存在哪些关系？学情预设：此处，同学依据已有学问“abc ABC”，可能显现以下答案情形。如a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC,a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC，等等。 设计意图：培育同学的发散思维，猜想也是一种数学才能2、争论特例，提炼猜想：考察等边三角形、特别直角三角形的边角关系，提炼出asinA=bsinB=csinC。3、
7、试验验证，完善猜想：这一关系式在任一三角形中是否成立了？请同学以量角器、刻度尺、运算器为工具，对一般三角形的上述关系式进行验证，老师用几何画板演示。在此基础上，师生一起得出猜想，即在任意三角形中，有asinA=bsinB=csinC。设计意图：着重培育同学对问题的探究意识和动手实践才能（三）证明探究：对此猜想，据以上直观考察，我们感情上是完全可以接受的，但数学需要理性思维。如何通过严格的数学推理，证明正弦定理了？1、 特别入手，探究证明：在中学， 我们已学过如何解直角三角形，下面就第一来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。在 RtABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,C90 0 ， 依据
8、锐角的正弦函数的定义，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结asin Absin Bsi n C 1cabcc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 c， c，又c ,就 sin Asin BsinC，从而在直角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC中， sin Asin Bsin C 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、推广拓展，探究证明：问题 2： 在锐角三角形 ABC中，如何构造、表示“ a 与sinA 、 b 与 sinB
9、”的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载探究 1： 能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？学情预设：此处，同学可能显现以下答案情形。同学对直角三角形中证明定理的方法记忆犹新，可能通过以下三种方法构造直角三角形。生 1：如图 1，过 C 作 BC 边上的线 CD ，交
10、BA 的延长线于 D，得到直角三角形DBC。生 2：如图 2，过 A 作 BC 边上的高线 AD ，化归为两个直角三角形问题。生 3：如图 3，分别过 B、C 作 AB、AC 边上的垂线，交于D，连接 AD ，也得到两个直角三角形经过师生争论指出：方法2，简洁明白，简洁得到“c 与sinC 、 b与 sinB ”的关系式。图 1图 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - -
11、- - - - - - -学习好资料欢迎下载_D acos -B , a sin - B _C bcosA , bsinA _a_b_a_c_B c,0 图 3图 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结探究 2：能否引入向量，归结为向量运算？（1）图 2 中蕴涵哪些向量关系式？同学探究， 师生、生生之间沟通争论， 得 ABBCAC, ABBCCA0, ABCBCA,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（这三个式子本质上是相同的）,ADBC0 等,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）如何将向量关系转化为数量
12、关系？ 施以什么运算 .生：施以数量积运算（3）可取与哪些向量的数量积运算？学情预设：此处，同学可能会做如下种种尝试，如两边自乘平方、两边同时点乘向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量 AB（或BC、AC），均无法如愿。此时引导同学两边同时点乘向量AD ,并说出理由：数量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积运算产生余弦，垂直就实现了余弦与正弦的转换。学问链接：过渡教材中，证明方法所引用的单位向量j 就是与向量 AD共线的单位向量。过 去，同学常对此感到费解，经如此铺垫方显自然探究 3：能否引入向量的坐标形式，把向量关系转化为代数运算？（1）如图 4，建立直角坐标系，
13、可得：A0,0,Bc,0,CbcosA,bsinA,（2）向量 BC 的坐标 =？（ bcosA-c ，bsinA ）（3）哪一点的坐标与向量BC 的坐标相同？由三角函数的定义，该点的坐标又为多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据平行四边形法就， D（ a cos180 0B, a sin180 0B ），从而建立等量关系： bcosA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢
14、迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c= a cos180 0B,bsinA=a sin180 0B ,整理，得 c= bcosA+ acosB（这其实是射影可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理）， a/sinA=b/sinB，同理可得 a/sinA=c/sinC。学问链接：向量，融数与形于一体，是重要的数学工具，我们可以通过向量的运算来描述和争论几何元素之间的关系（如角与距离等），这里同学已经学过向量，可依据同学素养情形打算是否采纳探究2 与 3问题
15、3：钝角三角形中如何推导正弦定理？（留做课后作业 ）（四）懂得定理、基本应用：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a sin Ab sin Bc sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、正弦定理 ：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即问题 4、定理结构上有什么特点，有哪些变形式？（ 1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，表达了数学的和谐美。（ 2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。从而知正弦定理的基本作用为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如ab sin A 。si
16、n B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 已 知 三 角 形 的 任 意 两 边 与 其 中 一 边 的 对 角 可 以 求 其 他 角 的 正 弦 值 ， 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Aa sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b。2、例题分析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1在ABC 中，已知 A32.00 ， B81.80 ， a42.9cm，解三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评述：定理的直接应用，对于解三角形中的复杂运算可使用运算器。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
17、结例 2在ABC 中，已知 a长精确到 1cm）。20cm,b28cm, A400 ，解三角形（角度精确到10 ，边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评述：应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。课后摸索：已知三角形的两边一角，这个三角形能唯独确定吗？为什么？3、课堂练习：（1）、引题（问题1）（2）、在 ABC中， sinA sinB 是 A B 的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件设计意图：设计二个课堂练习，练习（1）目的是首尾呼应、学以致用。练习（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师
18、精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载就是将正弦定理、简易规律与平面几何知识整合，准时巩固定理，运用定理。（五）课堂小结：问题 5：请同学们用一句话表述学习本课的收成和感受。生 1：原先我只会解直角三角形，现在我会解一般三角形了师：通过本课学习，你发觉自己更强大了。生 2：原先我以为正弦定理的证明，只有书上一种方法，今日我们学到了课本以外的众多方法。师：我们学习过两个重要数学工具，即三角函
19、数与平面对量，正弦定理的证明充分展现了它们的妙用。生 3：公式很美。师：美在哪里？生 3：表达了公式的对称美，和谐美 在同学们的热闹争论的基础上，用课件展现小结：1、在正弦定理的发觉及其证明中，蕴涵了丰富的思想方法，既有由特别到一般的归纳思想，又有严格的演绎推理。在定理证明中我们从直观几何角度、向量运算角度探求了数学工具的多样性。2、正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规律, 据此，可以用角的正弦替代对边，具有美学价值3、利用正弦定懂得决三类三角形问题：（ 1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。（ 2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。（ 3）实现边与角的正弦的
20、互化。设计意图：通常，课堂小结均由老师和盘托出，同学接受现成的结论。本设计充分发挥同学思维参加的主动性和制造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。（六）作业布置：1、书面作业： P10 习题 1.11、22、争论类作业：1）在钝角三角形中探求证明定理的不同方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2）在 ABC中，a sin Ab sin Bc sin Ck，争论 k 的几何意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3）已知三角形的两边一角，这个三角形能唯独确定吗？设计意图：对问题3），依据分散难点，循序渐进原就，在例2 中初步涉及，在课后让同学先行摸索，在“正、余弦定理
21、”第三课时中予以下图的剖析阐述。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载已 知 边 a,b 和A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CCbbaaAAAHHCCbbaaaAB 1HB 2HB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aCH = bsinA无 解a = CH = bsinA仅有一个解CH =b sin
22、Aab有两个解a b仅有一个解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结七、教学反思：1、本课就新课程理念下定理教学课的课堂模式，做了一些探究。以问题解决为中心， 通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，采纳试验探究、自主学习的争论性学习方式，重点放在定理的形成与证明的探究上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值，培育同学的思辨才能。转变了定理教学中简洁的处理方式（简洁直接出现、照本宣科证明，大剂量的“复制例题”式的应用练习） 。2、“用教材教，而不是教教材” ，尽管教材中对本课学问方法的要求并不高，只介绍了通过作高将一般三角形变换为直角三角形，再将三角比变换得到等式的化归方法，但教学不
23、仅是忠实执行课程标准，而且是师生共同开发课程，将教材有机裁剪，并融入个性见解的过程。如在正弦定理的证明探究中，同学完全可能环绕“如何构造直角三角形？”， 八方联系，广泛联想，分别应用平面几何四点共圆、向量的数量积运算、向量的坐标运算等学问方法。本课设计充分预设各种课堂生成，尽量满意不同思维层次同学的需求。3、突出数学的本质。 正弦定理的本质是 “定量的描写三角形边角之间的关系” ，是“大角对大边，小角对小边”的定量化。但量、算、猜不能代替数学摸索与规律证明，而定理的证明实质是：用垂直做媒介，将一般三角形化为直角三角形处理。本课设计既讲类比联想，又讲规律推理，让同学知其然，知其所以然。4、来源于生活实际，又回到生活中，强调了数学应用意识。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载