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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二次函数基础学问梳理一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地,形如yax2bxc（ a, , 是常数,a0）的函数,叫做二次函数； 这里需要强调：和一元二次方程类似, 二次项系数a0,而 b, 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数yax2bxc的结构特点： 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式, x 的最高次数是 2a, , 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：yax 的性质：a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；名师归纳总结 - -
2、- - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - a 的符号开口方顶点坐精品资料欢迎下载性质对称向标轴a0向上0,0y 轴x0时, y 随 x的增大而增大；x0时,y 随 x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 0 a0向下0,0y 轴x0时, y 随 x的增大而减小；x0时,y 随 x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 0 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. yax2c 的性质：精品资料欢迎下载上加下减；a 的符号开口方顶点坐对称性质向标轴a0向上0,cy 轴x
3、0时, y 随 x 的增大而增大；x0时,y 随 x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 c a0向下0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时,y 随 x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 c 3. ya x2 h 的性质：左加右减；a 的符号开口方顶点坐对称x性质h 时,第 3 页,共 18 页向标轴a0向上h,0X=h h 时, y 随 x 的增大而增大； x名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载xh 时, y 有最小y 随 x 的增大而减小；值 0 a0向下h,0X=h xh 时, y 随 x 的增大
4、而减小； xh 时,y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 有最大值 0 4.ya xh2k的性质：a 的符号开口方顶点坐对称性质向标轴a0向上h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时,y随 x 的增大而减小； xh时, y 有最小值 k 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料x欢迎下载xh 时,h 时, y 随 x 的增大而减小；a0向下h,kX=h y随 x 的增大而增大； xh时, y 有最大值 k 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：h2k ,确定其顶点坐标方法一： 将抛物线解
5、析式转化成顶点式ya xh,k；h,k处,详细平移方法 保持抛物线yax 的外形不变, 将其顶点平移到如下：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - y=ax2精品资料欢迎下载y=ax2+k向上 k0【或向下 k0【或左 h0【或左 h0【或左 h0【或下 k0【或下 k0】平移 |k|个单位y=ax-h2+k在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移” 概括成八个字“ 左加右减,上加下减”方法二： y ax 2 bx c 沿 y 轴平移 : 向上（下）平移 m 个单位,y ax 2 bx c 变成y
6、ax 2 bx c m（或 y ax 2 bx c m） y ax 2 bx c 沿 x 轴平移：向左（右）平移 m 个单位,y ax 2 bx c 变成y a x m 2b x m c（或 y a x m 2 b x m c）四、二次函数 y a x h 2k 与 y ax2bx c 的比较2 2从解析式上看,y a x h k 与 y ax bx c 是两种不同的表达形式,后者2 2 2通过配方可以得到前者,即 y a x b 4 ac b,其中 h b,k 4 ac b2 a 4 a 2 a 4 a五、二次函数 y ax 2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax2
7、bx c 化为顶点式 y a x h 2k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载0,c、以及0,c关于画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点对称轴对称的点2h,c、与 x轴的交点x ,0,x ,0（如与 x轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点： 开口方向, 对称轴,顶点,与 x 轴的交点, 与 y 轴的交点 . 六、二次函数yax2bxc的性质2 1. 当 a 0 时,抛物线开口向上,对称轴为
8、 x2 ba,顶点坐标为 2 ba,4 ac4 a b当 x2 ba时, y 随 x 的增大而减小；当 x2 ba时, y 随 x的增大而增大；当2x2 ba时, y 有最小值 4 ac4 a b 2. 当 a 0 时,抛物线开口向下,对称轴为 x2 ba,顶点坐标为22 ba,4 ac4 a b当 x2 ba时, y随 x 的增大而增大；当 x2 ba时, y 随 x 的增2大而减小；当 x2 ba时, y 有最大值 4 ac4 a b七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：yax2bxc （ a , b , c 为常数,a0）；ya xh 22. 顶点式：k （ a , h, k 为常数
9、,a0）；ya xx 1x3. 两根式：x （a0, 1x ,x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） . 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函名师归纳总结 数都可以写成交点式, 只有抛物线与 x 轴有交点, 即b24 ac0时,抛物线第 7 页,共 18 页的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载八、二次函数的图象与各项系数之间的关系九 二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依
10、据题目的特点,般来说,有如下几种情形：挑选适当的形式, 才能使解题简便 一1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式十、二次函数图象的对称十一、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情形）：一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc 当函数值y0时的特别情形 . 图象与 x 轴的交点个数：名师归纳总结 当b24ac0时,图象与 x 轴交于两点A x 1,0,B x2,0x 1
11、x2,其中的第 8 页,共 18 页x 1,x2是 一 元 二 次 方 程ax2bxc0a0的 两 根 这 两 点 间 的 距 离ABx2x 1b2a4 ac. 当0时,图象与 x 轴只有一个交点； 当0时,图象与 x 轴没有交点 . 1 当a0时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有y0；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 当a0精品资料欢迎下载y0时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有2. 抛物线yax2bxc 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 , c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x
12、轴的交点坐标,需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式； 依据图象的位置判定二次函数yax2bxc 中 a, b , c 的符号,或由二次函数中 a , b , c 的符号判定图象的位置,要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. 十二、二次函数的应用1对于任意实数 m,以下函数肯定是二次函数的是 A y=m1 2x 2 By=m+1 2x 2 Cy=m 2+1x2 Dy=m 21x22. 已知二次函数 y=（m+1）x 2 有最大值,就
13、 m的取值范畴是 _3. 抛物线 y=1 25x 2 的对称轴为 _,顶点坐标为 _名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 抛物线ya x1x3a精品资料欢迎下载）0的对称轴是直线（Ax1yBxm1m xCx3Dx35. 已知函数mx222的图象关于 y 轴对称,就 m_；6. 抛物线y1 x 232+5,顶点坐标是 ,当 x 时,y 随 x 的增大而减小, 函数有最 值 . 7已知二次函数 y=x 22x3 的函数值 y2 15. 如二次函数Ba2 且 a 2 Ca 2 Da2 且 a 2 yx22xm的图像与x
14、 轴没有公共点,就m 的取值范畴是_；16. 已知函数 y=x22x+k 的图象经过点（ 1 2,y1）,（3 2,y2）,就 y1 与 y2的大小关不能确定系为（） Ay1y2 By1=y2 Cy1y2 D17. 抛物线 y x 26x12 经过平移得到 y x2,就平移方法是 名师归纳总结 A 向右平移 3 个单位长度,再向下平移3 个单位长度第 11 页,共 18 页 B 向右平移 3 个单位长度,再向上平移3 个单位长度- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载 C向左平移 3 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度 D向左平移 3
15、个单位长度,再向上平移 3 个单位长度18已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如下列图,就以下结论： a+b+c1；abc0；4a2b+c1,其中正确结论的序号是 A B C D 19已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 一 2,0 、x ,0 ,且 1x12,与 y 轴正半轴的交点在 0 ,2 的下方以下结论： 4a2b+c=0； ab0；2a6+10其中正确结论的个数是 _20. 二次函数 y=ax 2+bx+ca 0 的图象经过点 -1,2 ,且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1,x2,其中 -2 x1-1 ,0x21,（a0 ,顶点在其次象限 以下结论：
16、4a-2b+c0； 2a-b0； a-1 ； b 2+8a4ac. 其中正确的有 名师归纳总结 A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个第 12 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载21如图,二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,且 OA=OC,就以下结论： abc 0； ac b+1=0；OA.OB=其中正确结论的序号是 _22已知关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（ 2,y1）,（ 1,y2）,（1,0）,且 y10y2,对于以下结论：
17、 abc0；a+3b+2c0；对于自变量 x的任意一个取值,都有 x 2+x；在 2x 1 中存在一个实数 x0,使得 x0=,其中结论错误选项 _（只填写序号）23如图是二次函数 y=ax 2+bx+c 图象的一部分,图象过点 A（ 3,0）,对称轴为直线 x= 1,给出以下结论：abc0 b 2 4ac0 4b+c0 如 B（,y1）、C（,y2）为函数图象上的两点,就y1y2当 3x1 时, y0,名师归纳总结 其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）_第 13 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 24二次函数yax2bxc （精
18、品资料欢迎下载a0）的图象如下列图,以下结论：abc0； 2 ab0；4acb20； 3 ac0；abam2bm （ m为不等于 1 的任意实数）；如ax12bx1ax22bx ,且x1x ,就x1x22其中正确结论的序号为25已知二次函数 yax 2bxc a 0 中,函数值 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：x 5 4 3 2 1 y 3 2 5 6 5 就关于 x 的一元二次方程 ax2bxc2 的根是26已知一次函数 y 1=kx+m（k 0）和二次函数 y2=ax 2+bx+c（a 0）的自变量和对应函数值如表：名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 18 页精
19、选学习资料 - - - - - - - - - x 1 0 2 精品资料欢迎下载4 y10 1 3 5 x 1 1 3 4 y20 4 0 5 当 y2y1时,自变量 x 的取值范畴是（）Ax 1 B x4 C 1x4 D x 1 或 x4 27已知关于 x 的函数 y=ax 2+x+1a 为常数 1 如函数的图象与 x 轴恰好有一个交点,求 a 的值 2 如函数的图象是抛物线,且顶点始终在28. 已知函数y3x229. x 轴上方,求 a 的取值范畴（1） 确定以下抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；名师归纳总结 （2） 当 x= 时,抛物线有最值,是 . 时,y 随 x 的增大而第 15
20、页,共 18 页（3） 当 x 时,y 随 x 的增大而增大； 当 x - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载减小 . （4） 求出该抛物线与 x 轴的交点坐标及两交点间距离；（5） 求出该抛物线与 y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由y3x2的图象经过怎样的平移得到的？29如图,抛物线 y1 2 x在直线 y2x 上（1）求 a 的值；（2）求 A,B 的坐标；2xa 与 x 轴交于点 A,B,与 y 轴交于点 C,其顶点（3）以 AC,CB为一组邻边作ABCD,就点 D关于 x 轴的对称点 D是否在该抛物线上？请说明理由AOBC名
21、师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 30. 已知抛物线yx2bx精品资料欢迎下载c 与 x 轴交于 A , B 两点,与 y 轴交于点 C , O 是坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 原点,点 A的坐标是 -l,0精品资料欢迎下载在第四象限内的抛物线上,点 C 的坐标是 0,-3.有一动点 D ,过 D 作 DE m . x 轴,垂足为 E ,交 BC 于点 F . 设点 D 的横坐标为名师归纳总结 1求抛物线的函数表达式 ; 第 18 页,共 18 页 2连接 AC , AF ,如ACBFAB ,求点 F 的坐标 ; 3在直线 DE 上作点 H ,使点 H 与点 D 关于点 F 对称,以 H 为圆心 , HD 为半径作 H ,当 H 与其中一条坐标轴相切时,求m 的值. - - - - - - -