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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 2022 年（新版）九年级数学上册学问点归纳（北师大版）第一章 特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形； 菱形的性质：具有平行四边形的性质, 且四条边都相等, 两条对角线相互垂直平分, 每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴； 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相互垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；2 矩形的性质与判定 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形；矩形是特殊的平行四边形； 矩形的性质：具有
2、平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角；（矩形是轴对称图形,有两条 对称轴） 矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形 依据定义 ；对角线相等的平行四边形是矩形；三个角都相等的四边形是矩形； 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3 正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形； 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（正方形是轴对称图形,有两条对称 轴）（书上：正方形的四个角都是直角,四条边都相等,正方形的对角线相等且相互平分） 正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线
3、相互垂直的矩形是正方形；如图 3 所示 ：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系 梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形；名师归纳总结 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形；一组邻边相等菱形一个内角为直角正方形第 1 页,共 8 页 一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形；（或对角线相等）一组邻边相等且一个内角为直角平行四边形（或对角线相互垂直平分）一内角为直角矩形一邻边相等或对角线垂直- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等；同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形； 三
4、角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半； 夹在两条平行线间的平行线段相等； 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半其次章 一元二次方程 1 熟悉一元二次方程 只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为 ax 2 bx c 0（a、b、c 为常数, a 0）的形式,这样 的方程叫一元二次方程 ； 把 ax 2 bx c 0（a、 b、c 为常数, a 0）称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数；b 为一 次项系数； c 为常数项；2 用配方法求解一元二次方程配方法 （配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根） 配方法解一元二次方程的基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式；将
5、二次项系数化成 1；把常数项移到方程的右边；两边加上一次项系数的一半的平方；把方程转化成xm 20的形式；两边开方求其根；3 用公式法求解一元二次方程公式法xb2 b4 ac（留意在找abc 时须先把方程化为一般形式）2 a4 用因式分解法求解一元二次方程分解因式法把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解；（主要包括“ 提公因式”和“ 十字相乘” ）5 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系：当b2-4ac0 时,方程有两个不等的实数根；当 b 2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根；当 b 2-4ac0 时,方程无实数根；名师归纳总结 假如一元二次方程ax2bxc0的
6、两根分别为x1、x2,就有：x 1x 2bx 1x2c；第 2 页,共 8 页aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根,求另一根；（2）不解方程,求二次方程的根x1、x2 的对称式的值,特殊留意以下公式：2 x 1x2x 1x222x 1x211x 1x2x 1x22x 1x2214 x1x202x 1x2x 1x 2|x 1x 2|x 1x 224x 1x2|x1|x 2|2x 1x222x 1x 22|xx2|x 1x 23 x 1x3x 1x233x 1x 2x 1x 2
7、其他能用x 1x2或x 1x 2表达的代数式；2（3）已知方程的两根x1、x2,可以构造一元二次方程：2 xx 1x 2xx 1x 20（4）已知两数 x1、x2的和与积,求此两数的问题, 可以转化为求一元二次方程x2x 1x2x的根 6 应用一元二次方程 在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤：设未知数（在设未知数时,大多数情形只要设问题为 x；但也有时也须依据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；查找等量关系（一般地,题目中会含 有一表述等量关系的句子,只须找到此句话即可依据其列出方程）； 处理问题的过程可以进一步概括为：问题分析 抽象方程求解 检验解答第三章图形的相像1 成比例线段 一.
8、 线段的比 1. 假如选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m、n, 那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n , 或写成Am. Bnac, 那么这四条线段a、b、c、d 叫 2. 四条线段 a、b、c、d 中, 假如 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比 , 即bd做成比例线段 , 简称比例线段 . 3. 留意点 : a:b=k, 说明 a 是 b 的 k 倍; 名师归纳总结 由于线段a、b 的长度都是正数, 所以 k 是正数 ; ; _A图 1 _C_B第 3 页,共 8 页比与所选线段的长度单位无关, 求出时两条线段的长度单位要一样除了 a=b 之外 ,a:b b:a
9、, a 与 bb 互为倒数 ; a 比例的基本性质: 如ac, 就 ad=bc; 如 ad=bc, 就acbdbd- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载2 平行线分线段成比例 两条平行线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例；. A D _l_1 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例B E _l_2平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例C F _l_3如图 2, l1 / l2 / l3, 就ABBC. DEEF图 2 3 相像多边形 1. 各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相
10、像多边形. 相像多边形对应边的比叫做相像比. 2. 在相像多边形中, 最为简洁的就是相像三角形. . 相像三角形对应边的比叫做相像比. 3. 三角分别相等、三边成比例的三角形叫做相像三角形判定：4. 定理两角分别相等的两个三角形相像； 5. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相像； 6. 三边成比例的两个三角形相像 . 二. 黄金分割 1. 如图 1, 点 C把线段 AB分成两条线段AC和 BC,假如ACBC, 那么称线段:AB被点 C 黄金分割 , 点 CABAC叫做线段AB的黄金分割点 ,AC 与 AB的比叫做黄金比. AC: AB510 .61812 2. 黄金分割点是最美丽、最令人赏心悦
11、目的点. . 性质： 1、相像三角形对应高的比, 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相像比 2.相像三角形周长的比等于相像比. 相像三角形面积的比等于相像比的平方. 全等三角形是相像三角的特例, 这时相像比等于1. 留意 : 证两个相像三角形, 与证两个全等三角形一样, 应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 . （4 探究三角形相像的条件名师归纳总结 1. 相像三角形的判定方法: 直角三角形第 4 页,共 8 页一般三角形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载. 基本定理 : 平行于三角形的一边且和其他两边 或两边的延长线 相交的直线
12、 , 所截得的三角形与原三角形相像. 两角对应相等; 一个锐角对应相等; 两边对应成比例, 且夹角相等 ; 两条边对应成比例: 三边对应成比例. a. 两直角边对应成比例; b.斜边和始终角边对应成比例. 2. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例. 如图 2, l 1 / l 2 / l 3, 就ABBC. DEEF 3. 平行于三角形一边的直线与其他两边 或两边的延长线 相交 , 所构成的三角形与原三角形相像5 相像三角形的判定定理的证明6 利用相像三角形测高7 相像三角形的性质 8 图形的位似第四章 投影与视图A）三视图. 主视图从正面看到的图 左视图从
13、左面看到的图 俯视图从上面看到的图. 画物体的三视图时 , 要符合如下原就 : 大小：长对正 , 高平齐 , 宽相等 . . 虚实 : 在画图时 , 看的见部分的轮廓通常画成实线 , 看不见部分的轮廓线通常画成虚线 . B）投影. 物体在光线的照耀下 , 会在地面或墙壁上留下它的影子 , 这就是投影现象 . . 太阳光线可以看成平行光线 , 像这样的光线所形成的投影称为平行投影；. 在同一时刻 , 物体高度与影子长度成比例 . . 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线 垂直于投影面的平行光线 下的平行投影 . . 探照灯 , 手电筒 , 路灯 , 和台灯的光线可以看成是从一点动身的光线
14、, 像这样的光线所形成的投影称为中心投影.皮影和手影都是在灯光照耀下形成的影子. 它们是中心投影；C）视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用；名师归纳总结 . 眼睛所在的位置称为视点,第 5 页,共 8 页. 由视点发出的光线称为视线,. 眼睛看不到的地方称为盲区- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载第五章 反比例函数学问点 1 反比例函数的定义（前三个截图为书上的内容,剩下为本章总结内容）x 是自变量, y 是 x 的反比例函数；自变量 x 的取值范畴是x0的一切实数,函数值的取值范畴是y0；比例系数k0是反比例函数定义的一个重要组
15、成部分；反比例函数有三种表达式：yk（k0）,0）；k0）是等价的,所以当y 是 x 的反比例函数时,x 也是 y 的反xykx1（k0）,kxy（定值）（k函数yk y（k（k0）与xx比例函数；（k 为常数,k00）是反比例函数的一部分,当k=0 时,yk,就不是反比例函数了,由于反比x例函数yk（k）中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定x反比例函数的表达式；学问点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数yk（k0）中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的x值,从而确定反比例函数的表达式；名师归纳总结 - - - - -
16、- -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 学问点 3 反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支, 这两个分支分别位于第一、第三象限或其次、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量 x 0,函数值 y 0,所以它的图像与 x 轴、 y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永久达不到坐标轴；反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线；再作反比例函数的图像时应留意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多,画的图像越精确；连线时,必需依据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑
17、的曲线连接,切忌画成折线；画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交；学问点 4 反比例函数的性质关于反比例函数的性质,主要讨论它的图像的位置及函数值的增减情形,如下表：反比例函数k0yk（k0）k0xk 的符号图像 x 的取值范畴是x0,y 的取值 x 的取值范畴是x0,y 的取性质范畴是y00值范畴是y0当k时,函数图像的两个分当k0时,函数图像的两个分支分别在第一、第三象限,在每个 象限内, y 随 x 的增大而减小；支分别在其次、第四象限,在每 个象限内, y 随 x 的增大而增大；留意：描述函数值的增减情形时,必需指出“ 在每个象限内 ” 否就,笼统地说,当k0时,
18、y 随 x的增大而减小“ ,就会与事实不符的冲突；反比例函数图像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数k 的符号打算的,反过来,由反比例函数图名师归纳总结 像（双曲线） 的位置和函数的增减性,也可以推断出k 的符号； 如yk在第一、 第三象限, 就可知k0；x第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 反比例函数yk（k学习好资料欢迎下载yk越0）中比例系数k 的肯定值 k 的几何意义；x如下列图,过双曲线上任一点P（ x,y）分别作 x 轴、 y 轴的垂线, E、F 分别为垂足,就kxyxyPFPES 矩形OEPF反比例函数yk（k0）
19、中, k 越大,双曲线yk越远离坐标原点；k 越小,双曲线xxx靠近坐标原点；双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形,对称轴是直线y=x 和直线 y=x；第六章 概率的进一步熟悉（树状图是难点！）用树状图或表格求概率 相关学问点链接：频数与频率 频数：在数据统计中,每个对象显现的次数叫做频数,频率：每个对象显现的次数与总次数的比值为频率；概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小,即一个时间发生的可能性大小的数值；必然大事发生的概率为1；不行能大事发生的概率为0；不确定大事发生的概率在0 与 1 之间；【学问点1】频率与概率的含义在试验中,每个对象显现的频繁程度不同,我们称每个对象显现的次数为频数,而每个对象显现的次数与频数 总次数的比值为频率,即 频率 总次数把刻画大事 A 发生的可能性大小的数值,称为大事 A 发生的概率；【学问点 2】通过试验运用稳固的频率来估量某一时间的概率 在进行试验的时候,当试验的次数很大时,某个大事发生的频率稳固在相应的概率邻近；我们可以通过多次试验,用一个大事发生的频率来估量这一大事发生的频率；名师归纳总结 【只是点3】利用画树状图或列表法求概率（重难点）第 8 页,共 8 页- - - - - - -