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1、定积分的概念与性质定积分的概念与性质9808798087 第第5章章 定积分及其应用定积分及其应用5.2 微积分基本公式5.3定积分的换元积分法与分部积分法5.4 广义积分5.5定积分的应用5.1 定积分的概念与性质1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积abxyoabxyo 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系面积和与曲边梯形面积的关系分割点上和下和积分近似值311.0555623
2、0.1304351.00095430.0697671.00027630.0476191.00013830.0361451.000071030.0291261.000051230.02439021.000031430.0209791.00002解决步骤：解决步骤：在区间在区间a,b内插入内插入n-1个分点个分点：把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间第第i个小区间的长度记为个小区间的长度记为,即即1.1.曲边梯形面积的求法曲边梯形面积的求法(1)(1)分割分割在第在第i个小区间上任取一点个小区间上任取一点 矩形的面矩形的面积积相应相应小曲边梯形的面积小曲边梯形的面积用以用以,即即 为宽，为
3、宽，为高的小为高的小近似代替近似代替(2)(2)近似代替（以直代曲）近似代替（以直代曲）(4)(4)取极限取极限令令,则则(3)(3)近似求和近似求和将将n n个小矩形面积之和个小矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值，即作为曲边梯形面积的近似值，即四个步骤：分割、近似代替、近似求和、取极限?且且设设某物体作变速直线运动某物体作变速直线运动,已知速度已知速度如何计算物体从时刻如何计算物体从时刻到时刻到时刻所经过的路程？所经过的路程？思路：在一个很短的时间间隔内，以内任意一时刻的瞬时速度近似代替该区间内任意一点的速度，即以匀速代变速。2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程解决步骤：解决步骤：
4、第第i个小区间的长度记为个小区间的长度记为 把时间区间把时间区间a,b分成分成n个小区间个小区间(1)(1)分割分割在区间在区间a,b内插入内插入n-1个分点个分点：(3)(3)近似求和近似求和(2)(2)近似代替近似代替(以匀速代变速或以不变代变以匀速代变速或以不变代变)(4)(4)取极限取极限,则则令令近似代替内任意一点的速度，即以匀速代变速。两个实例两个实例2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程1.1.曲边梯形的面积：曲边梯形的面积：速度速度从时刻从时刻到时刻到时刻所经过的路程所经过的路程:四个步骤：分割、近似代替、近似求和、取极限 以上两个以上两个问题虽问题虽然研究然研究对对象不
5、同，但是从数量关系上看都是象不同，但是从数量关系上看都是要求某种整体的量，且解决要求某种整体的量，且解决问题问题所用的思想方法也相同，通所用的思想方法也相同，通过过：分割分割把整体的把整体的问题问题分成局部分成局部问题问题；近似代替近似代替在局部上在局部上“以直代曲或以不以直代曲或以不变变代代变变”求出局部的近似求出局部的近似值值；近似求和近似求和得到整体量的一个近似得到整体量的一个近似值值；取极限取极限得到整体量的精确得到整体量的精确值值.以上四步在数量上都以上四步在数量上都归结为对归结为对某一函数某一函数 施行施行结结构相同的数学运算构相同的数学运算确定一种特殊的确定一种特殊的和式和式“在
6、科学技在科学技术术和生和生产实际产实际中中还还有有许许多多问题问题也都可以也都可以归结为归结为求求这这种种和式的极限，和式的极限，现现在抛开其在抛开其问题问题的的实际实际意意义义，将它，将它们们数量关系上数量关系上的本的本质质特性加以概括，抽象出来得出定特性加以概括，抽象出来得出定积积分的定分的定义义.”的极限的极限.5.1.2 5.1.2 定积分的定义定积分的定义定义定义51 设函数设函数 在区间在区间 上有定义，在上有定义，在 中插入个分点，中插入个分点，把区间分成把区间分成 个小区间个小区间每个小区间的长度依次为每个小区间的长度依次为在每个小区间在每个小区间 上任取一点上任取一点 ，作函
7、数值作函数值 与小区间长度与小区间长度 的乘积的乘积 ，并作，并作和式（称为和式（称为积分和式积分和式）记记 ，如果当，如果当 时，和式的极限时，和式的极限 存在，则称这个极限值为函数存在，则称这个极限值为函数 在在上的上的定积分定积分（简称（简称积分积分），记作），记作 ，即，即积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定理定理51 闭区间闭区间a,b上的连续函数上的连续函数f(x)必可积必可积。定理定理52 在闭区间在闭区间a,b上只有上只有有限个间断点有限个间断点，且，且有界有界的连续函数的连续函数f(x)必可积必可积。说明说明.定积分定积分的值与区间的值与区间的分法以及点的分法以
8、及点的取法无关；的取法无关；2.定积分只与定积分只与被积函数被积函数和和积分区间积分区间有关，而与积分有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即有变量用什么字母表示无关，即有3.规定规定.由连续曲线轴所围成的曲边梯形的面积：.5.作变速直线运动的物体5.1.3 5.1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义(1)(2)有时为正，有时为负时有时为正，有时为负时(3)课堂练习课堂练习：用定积分的几何意义计算。：用定积分的几何意义计算。课堂练习课堂练习2：用定积分表示阴影部分的面积。：用定积分表示阴影部分的面积。5.1.4 5.1.4 定积分的简单性质定积分的简单性质性质性质1性质性质2可以推广可以推广
9、(k 为常数)性质性质 (积分区间可加性积分区间可加性)性质性质性质性质 在区间在区间上上最小值和最大值最小值和最大值,则则 上上在区间在区间性质性质如果如果分别是分别是和和性质性质(2)奇函数的图像关于原点对称奇函数的图像关于原点对称(1)偶函数的图像关于偶函数的图像关于y轴对称轴对称 例例2 2不计算定积分的值，比较下列定积分大小不计算定积分的值，比较下列定积分大小(1)因为当因为当所以所以时，时，(2)因为当因为当时，时，例例0 0 课堂练习课堂练习：1比较定积分比较定积分 与与 的大小的大小（答案：（答案：）2比较定积分与比较定积分与 的大小的大小（答案：（答案：)性质性质 (积分中值
10、定理积分中值定理)如果函数如果函数通常我们称通常我们称使得使得至少存在一点至少存在一点上上上连续，则在区间上连续，则在区间在闭区间在闭区间上的平均值。上的平均值。在在为函数为函数积分中值定理的几何解释积分中值定理的几何解释：当当 时时,由曲线由曲线 ,直线直线 所围成的曲边所围成的曲边梯形的面积，等于以区间梯形的面积，等于以区间 为底为底、以该区间上某一点处的函数值以该区间上某一点处的函数值 为高的矩形的面积为高的矩形的面积 。1定积分的概念定积分的概念2用定积分定义计算定积分的方法用定积分定义计算定积分的方法 3定积分的几何意义定积分的几何意义本节小结本节小结 4定积分的性质定积分的性质作业作业