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1、 用一元一次方程解决实际问题 行程问题 教学设计 义务教育课程冀教版标准实验教科书（七年级下册） 一、本课教学内容的本质、地位、作用（教学内容解析）方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，它随着现实生活的需要而产生，是应用非常广泛的数学工具，它在义务教育阶段的数学课程中占有非常重要的地位和作用。本节课选自冀教版七年级下册第七章第三节用一元一次方程解决实际问题第三课时内容中的行程问题。本节课是在学生已经掌握一定的列方程解应用题的基础之上，进一步让学生亲身经历将现实问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程，是今后进一步学习列方程解应用题的基础。本节课的内容无论在知识上还是在数学思想方法上，都是十
2、分很好的素材，能很好培养学生的探索精神、应用意识及创新能力。二、教学目标设置基于以上对数学内容的理解，依据新课程标准，以教材的特点和学生的认知水平为出发点，制定以下教学目标：1、知识目标（1）利用路程、时间、速度三者之间关系，借助画线段图列一元一次方程解以现实生活为背景的行程问题。（2）运用画图直观分析、探究发现，充分发挥学生的主体作用，学生在轻松愉快的气氛中掌握知识。 （3）结合实际，创造活跃有趣的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学习的信心。2、能力目标（1）通过小组合作学习，培养学生的合作意识和语言表达能力。（2）培养学生观察、分析能力及树立
3、方程思想解决问题能力。3、情感目标（1）使学生在讨论、交流的学习过程中获得积极的情感体验、探索意识，创新意识得到有效发展。（2）在分析实际问题过程中，培养学生勇于探索、自主学习的精神，同时感受到生活中处处有数学，体验数学的趣味性。三、我对教学过程中题组设计和处理的想法1、针对例3（本节课的基础类型题目）向学生提出具有挑战性的两个问题：（1）按照你的理解画线段图；（2）找出等量关系。这两个问题是解决本题的关键，让学生在自己原有知识的基础上，试着画图，动脑想。虽然想法各异，但通过演示课件，经历过程，建立模型，找出等量关系，列出方程，问题解决，这一过程达成共识。其中，学生在解决问题的过程中，经历自主
4、与合作的探究过程，亲身经历了将实际问题抽象成数学模型并进行解释的应用过程，从而调动了学生学习数学的积极性，激发学生探索兴趣。2、通过题目的不同变式，启发、引导学生找出各题之间的内在联系和表示方法上的同异，完成学生知识的正向迁移，同时也进一步达到内化知识的目的。如：改变时间的一致性，由同时出发到不同时出发改变运动的结果，由相遇到尚未相遇，改变运动的方向，由相向到同向。3、渗透数学中的化归原则与转化方法，并且从数与形两个方面与学生共同探究规律。具体的想法是：把不同时出发的问题转化为同时出发的基础题，把未曾相遇的问题也转化为基础题，把追及问题化归到相遇问题的一般规律中，并且从线段图上找出所反映的普通
5、规律：利用同一个量的不同表示法找等量关系。其中，较有难度的追及问题提出后，化归到相遇问题是思维跨度较大的问题，再由和化为差也是通过线段图反映的。所以画线段图是帮助解决问题的重要手段。4、练习题的设计力争自然，合理，保证本节情境的整体性，所以在原有基础题型上设计练习题目，巩固追及问题。由求时间的相遇问题转换为已知行驶时间，而求两车速度的题型。而且在原有基础题型上有合理的迁移，如工程问题，其实质可看作行程问题，基于在本节课之前，学生已经非常熟练的掌握了解方程的基本方法，所以设计了以填空为主，强化列方程的课堂练习。四、教学问题的诊断（学生学情分析）1、学生在学习中可能习惯用算术方法分析已知数与未知数
6、，未知数与已知数之间的关系，不能利用“问题情境”建立数学模型，对于较为复杂的应用题无法找出等量关系，随便行事，乱列式。为此，老师要充分引导学生关注生活实际，仔细分析题目，使学生朝“数学模型”方面理解。2、学生对抽象的知识理解不清。3、学生初学列方程解应用题时，往往弄不清解题步骤，不设未知数就直接进行列方程或在设未知数时，有单位却忘记写单位。4、学生对以前学过的知识淡化，掌握不清。5、找出等量关系后不会列方程，是因为各数量之间关系掌握的不扎实。6、学生在列方程解应用题时可能还存在由于分析问题的思路不同，导致列出方程也不同，这样一来，学生可能以为存在错误，实际不是，作为教师应主动鼓励学生开拓思路，
7、只要是思路正确，所列方程合理都是正确的，使得方程尽可能明了。五、本节课的教法特点及预期效果分析（教学策略分析）根据本节课的特点及七年级学生的心理特征和认知特征，在本章教学和学习中，从多角度地进行思考，借助于演示，观察，比较，画线段图等进行分析，寻找等量关系，并采用情境激趣法，启发引导，合作交流的教学方式。1、采用情境激趣法，引入新课启发引导学生回顾所学行程问题有关知识，这样可以调动学生学习数学的兴趣，刺激学生学习数学的欲望，引导学生从旧知中发现新知，与学生原有的认知水平相吻合，有利于探索活动的展开并起到一定的铺垫作用。2、师生互动，合作探究对于行程问题，我采用师生互动，启发引导的教学方式，教师
8、充分发挥多媒体的直观性，让学生发现题中的等量关系，点燃学生思维的火花，接着教师利用图形引导学生进一步分析各数量之间的关系，进而得到一元一次方程。在学生逐渐掌握新知后，教师又为其设置题组练习，由浅入深，层层递进，以此来培养学生的类比迁移能力和探索问题的能力，以达到触类旁通的效果。另外，通过实物投影展示学生作品，锻炼了学生，使学生在相互欣赏中得到提高。3、跟踪探索，拓展升华对于问题解决，大多数是学生独立完成，教师参与其中，对学有困难的学生进行指导、帮助，使他们主动参与学习活动，发表自己的看法，肯定他们的点滴进步，当发现学生采用不同解法时，师及时给予表扬，这样会极大程度地提高学生学习的积极性。4、反
9、馈练习，巩固提高建立数学模型，解决实际问题一直是学生的难点，为了帮助学生克服心理障碍，配备解题方法与前面有联系的生活中常见的实例作为习题，让学生从问题情境中建立数学模型，同时发挥多媒体的直观性，使抽象的数学知识变得具体形象，便于找出等量关系列出方程，接着展示学生解决问题方法，给学生提供一个实现自我价值的舞台，锻炼了学生的胆量，培养了学生的能力。通过本节课的学习，使学生深刻体会到方程是解决生活当中的实际问题的重要数学模型，让学生进一步体会到生活中处处有数学，平时要养成用数学视角来观察生活的意识。六、教案（教学过程）教 学 课 题用一元一次方程解决实际问题教 学 目 标1、借助“线段图”分析复杂问
10、题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题.2、发展学生分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用.3、感受数学在生活中的作用与价值，认识到数学来源于生活、服务于生活，与人类生活密切的联系.激发学生学数学、用数学的兴趣.教 学 重 点通过探究和交流，找到复杂问题中已知量和未知量间的数量关系.教 学 难 点通过等量关系列出一元一次方程教 具 准 备三角板学具准备三角板 直尺教 学 方 法及教 学 手 段创设问题情境-建立模型解释应用与拓展，通过多媒体辅助教学，以及形象、生动的演示，让学生通过观察，分析路程、速度、时间的数量关系，通过画线段图，分析量与量之间的关系，通过讨论交流确定等量关系、
11、列出方程.通过练习巩固所学知识、层层深入，培养学生动脑、动口、动手的能力和团队的合作精神.充分利用现代化的教学手段，通过多媒体课件的直观演示，让学生亲身经历数学建模的过程，激发学生的学习兴趣，变学生的被动学习为主动学习. 教 学 过 程教 学 内 容学 生 活 动设 计 意 图一、 创设情境 揭示课题二、 师生互动，探索新知例3 A，B两地间的距离为375km,一辆轿车和一辆公共汽车分别从A，B两地同时出发沿公路相向而行，轿车的平均速度为90km/h, 公共汽车的平均速度为60km/h，他们出发后多少小时在途中相遇？1、深入探索，细致研究（1）学生读题后，借助手中的学习用具进行运动过程模拟；（
12、2）模拟动画演示；（3）学生画线段图，老师展示线段图.2、分析问题：A，B两地间的路程375km公共汽车行驶的路程60xkm轿车行驶的路程90xkm 借助线段图，结合题意，说一说你是怎样理解的这道题？等量关系：=+轿车行驶的路程公共汽车行驶的路程A，B两地间的路程.学生借助已知与未知数得到表示各量的代数式，进而得到方程.学生独立完成解题过程，老师出示解题过程使学生有所参照.解：设两车出发后x小时相遇，依题意，得90x + 60x = 375 . 解这个方程，得 x =2.5 . 答：两车出发后2.5小时相遇.老师分析列方程用的等量关系得出：找到同一个量的不同表示方法是解决问题的关键三、变式练习
13、，深化方法1、试着做做：在上述问题中，如果公共汽车先出发0.5h后轿车再出发，其它条件均不变，那么，轿车出发多少小时两车才能相遇？ A，B两地间的路程375km轿车行驶的路程公共汽车后行驶的路程公共汽车先行驶的路程看动画演示，解释每一段代表的量解：设轿车出发后x小时两车相遇，依题意，得90x + 60x +600.5 = 375 . 解这个方程，得 x =2.3 . 答:轿车出发后2.3小时两车相遇.2、想一想在例3中，两车出发后多少小时还相距30km才能相遇？它的等量关系是 .四、跟踪探索，拓展升华试一试A，B两地间的公路长为375km，一辆轿车和一辆公共汽车分别从A，B两地同时出发沿公路同
14、向而行.公共汽车在前，轿车的平均速度为90km/h，公共汽车的平均速度为60km/h.轿车出发后多少小时追上公共汽车？A，B两地间的路程公共汽车行驶的路程轿车行驶的路程等量关系是：公共汽车行驶的路程+A，B两地间的路程轿车行驶的路程=解：设轿车出发后x小时追上公共汽车，依题意，得90x - 60x = 375 . 解这个方程，得 x =12.5 . 答:轿车出发后12.5小时追上公共汽车.五、反馈练习，巩固提高1、做一做学校科技小组的同学乘公共汽车去较远的省城参观科技展览.小明因为特殊原因要晚出发半小时，但他在同一地点乘坐了速度更快的高速客车追赶大家.公共汽车和高速客车的速度分别为60km/h
15、和80km/h.高速客车在出发后多少小时可追上公共汽车？追上的地点距出发地点有多远？解：设高速客车出发后x小时追上公共汽车，依题意，得80x - 60x = 600.5 . 解这个方程，得 x =1.5 . 80x =801.5=120 . 答: 高速客车出发1.5小时后追上公共汽车，追上的地点距出发地点有120km.2、课堂练习：（1）A，B两村相距2800m，小明从A村出发，向B村步行5分钟后，小军骑自行车从B村向A村出发，经过10分钟后两人相遇，小军骑自行车比小明步行每分钟多走130m，小明每分钟步行多少m？如果设小明每分钟步行x m，那么小军骑自行车每分钟走 ，则所列方程为 .（2）小
16、明和小华家相距300米，两人同时从家里出发去学校，小明在小华后面，小明每分钟走160米，小华每分钟走100米，问小明几分钟追上小华？如果设小明x分钟追上小华，则列方程为 .（3）两个工程队共同铺设一段长1350km的天然气管道.甲工程队每天铺设5km，乙工程队每天铺设7km.如果两队同时施工，那么它们多少天后能完成这项工程？那么你会设： ，所列方程为 .给学生一定的时间，让学生思考，分析，探索解决这一问题的方法.让学生通过想象，体会两车行进并相遇的情况，再动手操作验证，并注意分析速度、时间与路程各自的特点.感受到相遇地点离点B较近。学生动手画图，并深入体会图中所隐含的等量关系.教师给予及时的指
17、导和点拨.学生分析图中各量的关系，得到等量关系.两车同时出发，途中相遇，运动时间相同，设出未知数. 学生通过线段图从和差的角度经过组内交流得到不同的等量关系，从而列出不同的方程.分析得出每一个方程的两边都是同一个量的不同表示方法学生认真思考，画出线段图，找出等量关系学生设恰当的未知数，列出相应的方程并解答 在例三的基础之上, 学生动手画图，并找出图中所隐含的等量关系,并且设出恰当的未知数,用代数式把线段图中各部分表示出来.展示学生的线段图,通过解释和动画演示,引导学生列方程求解. 在前面解决问题的基础之上，让学生自己分析得到问题的等量关系.实物投影展示学生的书写过程，得到三个方程让学生根据自己
18、的想法动手画线段图，找等量关系，独立完成. 利用实物投影展示学生作品.发现既可以代入所列方程的左边也可以代入右边求得120，充分验证方程两边是同一个量的不同表示方法。启发学生设不同未知数，多角度对问题进行求解.以口答的方式解决课堂练习.列出方程后说出等量关系；列出所有方程；把每天铺设长度看作速度，工程问题转化为行程问题.从生活中的实际问题情境出发，使学生思维活跃，兴趣盎然，激发求知欲，创设良好开端.提出问题，可以让学生带着问题进行有目的的学习.培养学生思考问题的能力. 通过学生的想像与操作，探索解决问题的多种途径.为后面建立数学模型奠定良好基础.培养学生多角度考虑问题的能力.列方程解一些实际问
19、题的过程是一个“数学建模”的过程，这个过程常常需要文字语言、图形语言、符号语言的相互转换.教学中可以适当的加以渗透，以培养学生对三种语言进行转换的能力.教师对学生的回答给予适当的评价.对渴望得到认可的同学给以更多的激励和表扬. 再一次展示两车行进的动画，一方面知识再次展现，另一方面知识环环相扣,让学生体验数学问题的探索性与挑战性，对知识的理解得以升华.渗透数学中的转化方法，把未曾相遇的问题转化为基础题.通过启发引导学生找出各题之间内在的联系和表示方法上的同异，渗透数学中的化归原则，把追及问题化归到相遇问题的一般规律中，并且从线段图上找出所反映的普遍规律：解决行程问题时，大多利用同一个量的不同表
20、示方法来找等量关系.巩固新知、深化学习内容，大胆的放手让学生自己观察分析探索出解题方法，老师对学生给予及时的指导和点拨.借助同一问题的不同解法，告诉学生要学会多角度考虑问题.通过练习及时反馈学生对知识的掌握，教师进行适时的指导.尤其是解决第三题的时候，要引导学生有合理的知识迁移，把工程问题看作行程问题来解决.六、师生小结，布置作业关于行程的实际问题数学模型列出方程抽象为设出恰当未知数解释求解作业1、P20 1，2，3题 2、利用方程20x + 30 x = 1000编一道行程问题的应用题.3、（选作）A，B两地间的公路长为375km.一辆轿车和一辆公共汽车分别从A，B两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平均速度为90km/h，公共汽车的平均速度为60km/h.两车出发后多少小时还相距30km？梳理本节课的知识要点，纳入学生认知结构，渗透数学思想方法，提高学生解决实际问题的能力.巩固所学知识，落实四基.