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1、 大自然，您是我的女神，我一生的效劳都服从于您的规律。 莎士比亚新的数学发展高潮 在18世纪和19世纪之交处，耸立着卡尔弗雷德里希高斯雄伟的丰碑。 以欧拉、拉格朗日为代表的18世纪数学家，把微积分用于自然探索和工程技艺，产生了微分方程、变分法等众多的数学分支。在获得丰硕成果的同时，牛顿的机械唯物论自然观强化了对科学家思想的统治，以致在18世纪末期，不少数学家对数学本身产生了悲观情绪。似乎数学为自然现象建立起微分方程，给出它的求解方法，就万事大吉了；而有的课颗又太复杂，看不出有任何解决的希望。 当然，悲观的迷雾最终为数学发展的光辉事实所驱散。只要面对生活和生产的实际，数学就会得到新的动力而不断前
2、进。工业革命的深入为此提供了广阔的天地。与此相呼应的法国大革命，结束了封建专制在欧洲的长期统治。这个人类思想解放的伟大运动，也给数学注入了活力。新概念、新思想不断涌现。从苦难深重的德国大地上升起的一颗灿烂的明星卡尔弗雷德里希高斯，宣告了新的数学发展高潮的到来。高斯在数学各个领域的伟大贡献，特别是在数论和几何学上的创新，深刻影响着后世数学的发展。随后又有柯西、黎曼等群星的推进，使19世纪的数学空前繁荣。小木屋里飞出了金凤凰 下了一夜的暴雨，河里的水涨得满满的。春洪夹带着泥石从山上奔泻直下，发出隆隆的响声。空气里弥漫着泥土的芳香，显得格外清新。农民施密特嘴里含着烟斗刚从市场回来。突然在转弯处洪水溢
3、出河面滚滚而来。一个3岁左右正在旁边嬉玩的孩子被这景象惊得不知所措，两手握着拳头呆呆站在那里。一个浪头过来把他卷了进去。灾难眼看就要发生。施密特赶紧飞奔上前，纵身一跃把孩子从水里一把抱起。他没有想到，救起的这个孩童后来成为历史上最伟大的数学家之一。他就是和阿基米德、牛顿齐名的卡尔弗雷德里希高斯。由于他非凡的数学才华和伟大成就，人们尊崇他为“数学王子”。 可是这位年幼王子的血统和王室丝毫无缘。1777年4月30日，高斯诞生于德国不伦瑞克城。祖父是贫苦的农民。父亲约翰狄特里希是个园艺工人，还当过运河看守人和泥瓦匠。他识字不多，但是为人诚实耿直，做事一丝不苟，在家相当严厉。母亲陶乐珊本茨是石匠的女儿
4、，聪明直率，性格坚强。陶乐珊34岁的时候和约翰结婚，独生子高斯是她的心肝宝贝。她了解爱子的兴趣和才能，积极支持他求学上进。约翰于1806年去世。此后高斯母子俩在长期坎坷的生活道路上相依为命，感情至深。高斯成名以后尽心竭力使母亲度过安乐的晚年。在她生命的最后4年，93岁高龄的陶乐珊双目已经完全失明。在母亲的长期病患中，高斯一直亲自在旁侍候。 人们一定会奇怪，像高斯这样的劳动者家庭，在德国比比皆是。双亲的文化知识和他们的财富一样贫乏。他们既供养不起孩子上大学深造，也无力对他的学业作指导。可是偏偏在不伦瑞克的这所简陋木屋里，飞出了一只震惊世界的金凤凰!这是为什么呢? 早熟的童年 在整个数学史上，没有
5、人像高斯那样早熟。说来简直令人难以置信，他在3岁的时候就已经显示出不凡的智慧。有一个星期六，约翰在费力地计算他管辖下工人的周薪，没有察觉儿子正好在旁看着。结果好容易计算出来，他深深地松了一口气。不料小高斯过来拉拉他的衣角，细声说： “算错啦，爸爸。总数是” 约翰惊讶不已，决定重算一遍，果然，儿子是对的!后来高斯曾半开玩笑地说： “我在学会说话以前，已经学会计算。” 家里的确没有人教过他算术。很可能是小高斯自己在学字母的时候，学会了1、2、3、4的意思。 天刚蒙蒙发亮，爸爸已经在园子里默默地干活。小高斯十分懂事。他跟着妈妈，一会儿帮着给小鸡喂食，一会儿忙着把一盆盆鲜花端出去晒太阳。家里的惟一常客
6、是舅舅弗雷德里希本茨。他是位技术高超的锦缎织工，勤学好思，头脑机敏。舅舅十分疼爱聪明的小外甥。他一来总要给小高斯讲故事，做游戏，有时还带他出去捉蝴蝶，钓鱼，采蘑菇，和舅舅相处的这些愉快的时光，一直珍藏在高斯的记忆里。 4月的一天，风和日丽。小高斯骑在舅舅的肩上学“骑马”。他手里拿着一根小树枝，嘴里高声叫着：“戛!戛!”俨然是位威武的将军。突然，嗒嗒奔跑着的“马”停了下来。原来，在河的上游漂来一根木头。 “小高斯，你说木头为什么不沉下去?” “木头轻呗!”小高斯不假思索地回答。 舅舅弯下腰，拾起一颗小石子，又问：“这颗石子重还是那段木头重?” “木头重。大木头重多啦!” 弗雷德里希并不吱声。只见
7、他用力一扔，扑通一声，石子沉到了河底。 “ 舅舅没有给小外甥解释，为什么比大木头轻的小石子会沉下去，但是，这件事给小高斯留下难忘的印象。他认识到，要达到正确的结论，必须有严密的推理。他逐渐养成习惯，遇事一定要问它几个“为什么”。 舅舅是个有心人。为了让小外甥更好地成长，他省吃俭用，买来不少有趣的书籍。这一本本趣味盎然的小书使小高斯爱不释手。那里面有以损人开始、以害己告终的狡猾的狐狸和助人为乐的小白兔，也有孜孜以求的先贤哲人和为自由而壮烈献身的英雄。逢到这种时光，妈妈做起事来就蹑手蹑脚，生怕惊动孩子的思考。看着儿子那种着迷的神情，约翰只好无可奈何地摇摇头。这也难怪，因为哪家的穷孩子能够逃脱流汗干
8、活的命?书读得再好，有什么用呢?到了冬天，天还没有全黑，爸爸就催他上顶楼睡觉。这样既能够节省燃料，第二天还可以早些起床，帮着干活。顶楼又矮又小，直起身子来，就会碰脑袋。最糟糕的是上面没有灯，看书成了问题。小高斯急中生智，想出个好办法。他找来一棵芜菁，把里面挖空，塞进油脂，再用粗棉搓一根棉条做灯芯。借着微弱如豆的光亮，他蜷缩着身子，贪婪地咀嚼着书里的每一个字。知识的泉水汩汩地滋润着高斯幼小的心田。等到油脂烧尽，发出缕缕青烟，已经是寒气袭人，夜深人静了。初露头角一过7岁生日，小高斯挎着妈妈做的新书包，高高兴兴进入当地的国民小学。可惜，这所小学相当落后，并不叫人羡慕。校舍破旧不堪，讲课完全随教师的高
9、兴。管理学校的是个名叫布特纳的老师，他性情粗暴，动辄揪着小学生的耳朵罚站墙角。100多名小学生见到他，就像老鼠见了猫，吓得几乎连自己的名字都记不清了。可是，就在这个使孩子胆战心惊的地方，高斯找到了幸运。 1787年，小高斯刚满10岁。一天，神情严厉的布特纳夹着讲义来上算术课。一上讲台，他背过身子在黑板上写下一串长长的算式： 81297+81495+81693+100899=?后一数都比前一数大198，一共100个数相加。一看这长长的式子，学生们都害怕得低下了头，连大气也不敢出。学校的规矩是，第一个算出答数的孩子把他的石板放在讲台上，第二个就放在第一个上面，老师刚写完题目，小高斯轻轻地走上前来，
10、把石板放在讲台上说： “老师，放在这里啦。” 看到其余的孩子都在满头大汗地一个个数相加，老师根本不相信，这个班上年纪最小的学生会创造出什么奇迹。 “谁不动脑子，想胡乱写一个数交差了事，可得当心!”布特纳一边说，一边样子吓人地挥舞着他那硕大的拳头。 可是，小高斯沉静地坐在椅子上，对老师的警告毫不理会。下课以后，布特纳把石板都看了一遍，在小高斯的石板上只有简单的一个数。高斯在晚年的时候曾经提到，在班上的所有答案中只有他是对的；不过他没有说明是怎样计算出来的。 高斯通向不朽光荣的大门从此打开。布特纳买来最好的算术书送给小高斯。不费多少力气，小高斯把它们一览而过。 “他已经超过我，”布特纳不得不承认，
11、“我没有更多东西可以教他了。” 事情可能是这样。布特纳本人对这个孩子已经帮不了什么忙。幸好，这位校长有个年轻的助手， 名叫约翰马丁巴蒂尔。他的工作是教小学生写字和削鹅翎笔。巴蒂尔身材颀长，有一双和善的大眼睛，对数学有特殊的爱好。小高斯很快和他结成形影不离的好朋友。共同的志趣培育着年轻助手和10岁小学生之间的温暖友情。他们的真诚友谊一直保持到巴蒂尔去世。两位好朋友一起学习，相互切磋。巴蒂尔买来的代数和分析书籍成了他们共同的课本。他们冲破一道道障碍，解决一个个疑难。尤为可贵的是，现成的结论已经不能使小高斯满足。他以批判的眼光对书上的结论逐个进行审查，一连要问上几个“为什么”。在这个基础上，他开始对
12、数学大师们的某些“证明”不客气地提出挑战。 一只勇敢的雏鹰，拍拍翅膀，振翅欲飞了!良好的开端 “高斯!高斯!” 巴蒂尔从东头跑到西头，就是不见小高斯的踪影，等到他在大树下找到正在看书的小伙伴，已经是汗流浃背，上气不接下气。巴蒂尔今天特别兴奋，书店老板把他们盼望已久的欧拉著的代数的完整介绍买到啦。这是公认的代数学的权威著作。看到巴蒂尔手里高高举着的新书，小高斯高兴得连蹦带跳，一连在地上打了两个滚。他们顾不上多说话，立刻如饥似渴地阅读起来。书一页页唰唰地向后翻去，太阳不声不响地躲到山的后边。在看到“二项式定理”的时候，小高斯倏地站了起来。注视着静静流去的河水，他陷入沉思。 在中学代数里，我们知道，
13、 (1+x)1=1+x， (1+x)2=1+2x+x2，这就是所谓“二项式定理”，其中n是正整数。如果n不是正整数，右边就有无限多项，这时要使等式成立，x和n必须有一定限制，否则可能出现荒谬的结果。举例来说，假如x=-2，n=-1，左边就是(1-2)-1，等于-1；而右边则是 1+2+22+23+就是说-1等于“无穷大”。这当然是错误的。 高斯以前的数学家们，有的(例如欧拉)虽然已经注意到这种奇怪而荒唐的现象，可惜他们并没有花功夫去研究它和解释它。甚至可以说，他们的内心深处似乎不愿意去考虑这个问题：在无穷级数的运算中应该施加些什么限制。他们陶醉在分析在应用中的辉煌成就，热衷于扩大新的战果，而无
14、暇顾及推理的严密性。老数学家们所忽视的这个极端重要的问题，现在被这个10岁孩童紧紧抓住了。小高斯发觉，可能导出“-1等于无穷大”这一类荒谬结果的证明，根本算不上是证明。必须把二项式定理适用的条件明确指出来。尽管这项工作已经超出初等数学的范围，这位第一个认真对待无穷大的学童坚持作出自己的证明。 无限过程的正确运用正是分析的精髓所在。现在，工作从一开始就有良好的开端。高斯被公认为现代数学中第一个严格证明论者，他对分析的严密性的要求逐渐影响整个数学。从高斯和同时代的柯西、阿贝尔以及他们的后继者维尔斯特拉斯、戴德金等人以后，数学的面貌同牛顿、欧拉和拉格朗日时代完全不同了。 在数学上，高斯不仅是严格证明
15、论者，而且是无畏的革命者。他以对二项式定理证明的那种批判精神，在12岁的时候就对统治了2000多年的欧几里得几何是否是惟一的几何真理产生怀疑；到16岁，他已经清楚地看到非欧几何的曙光。这在当时，就像当年哥白尼提出“日心说”一样，无疑是地地道道的“大逆不道”。一年以后，高斯又开始对数论的某些证明进行彻底批判，尽管前辈们对它们已经相当满意。无懈可击的严密性加上前所未有的创造性，在高斯研究工作的一开始就得到无与伦比的结合。 高斯的这种特点，无疑反映了他本人超凡的智慧。不过这也不完全是从他个人头脑里凭空产生的。在他的工作中，我们可以清晰地听到资本主义新时代脉搏的跳动。在高斯的青少年时代，蒸汽机和纺织机
16、震耳欲聋的轰鸣声不断从英吉利海峡彼岸传来，破坏了德国田园牧歌式的谧静。新的机器和发明犹如雨后春笋，不断涌现。机器日益精密，它们需要更为严密的理论。与此同时，从巴士底狱升起法国大革命的冲天火光和英国工业革命遥相呼应。它摧毁了欧洲的封建城堡，也焚烧了囚禁革命性科学思想的樊笼。批判旧世界的呼声空前高涨。在这种形势下，深受法国启蒙思想熏陶的高斯提出这样的问题就不足为怪了。既然千百年来被视作神圣的帝王统治可以被推翻，为什么一向被奉若神明的欧几里得几何不容有丝毫怀疑?因此，充满复杂的公式和各种符号的高斯的杰作和他同时代的同胞歌德(17491832)和席勒(17591805)的光辉诗篇、贝多芬(177018
17、27)的不朽乐章、黑格尔(17701831)的辩证法一样，都是在他们各自领域里最有力地表现出时代的精神。喜从天降 夜幕徐徐降落，喧闹的国民小学已经鸦雀无声。在教室里看书的小高斯收拾起书包回家。走出校门，他发觉外面比黑洞洞的教室要亮不少，忍不住又把书取出，阅读起来。他在暮色下边走边看，不知不觉来到斐迪南公爵的不伦瑞克宫的门口。正在花园散步的公爵夫人十分惊奇：一个小孩子捧着一本厚厚的书竟看得这样入迷?她叫住孩子，问他叫什么名字，看的是什么书。大大出乎这位贵妇人的意料，小孩子看的竟是大学者欧拉的专著微分学原理!公爵夫人把这事告诉了公爵。公爵曾听人说起过，不伦瑞克有个聪明过人的孩子，不过当时他半信半疑
18、，不大在意。这次听夫人一说，果有其事，立刻决定第二天在宫殿亲自见见这个孩子。 公爵大人要召见一个普通园丁的儿子，这种新鲜事儿，以前谁也没有听说过。约翰听到公爵的传唤，默坐一旁，闷着头一个劲儿抽烟，不知道明天等待着的是祸是福。妈妈左叮咛右嘱咐，生怕儿子在这样重大的场面出什么差错。其实，这完全是过虑。别看高斯小小年纪，谈吐举止却是端庄持重，宛如一个极有教养的大人。第二天，小高斯穿一身从箱底翻出来的稍嫌肥大的新衣服，拘谨地跟在魁伟的巴蒂尔后面，来到宫殿。公爵一见孩子长得眉清目秀，已经有几分喜欢。 “你是约翰的儿子?”公爵问。 “是，大人。” “听说你读过很多书?” “”高斯含羞地低下头，不知怎样回答
19、才好。 “你能告诉我1234 5678等于多少?”斐迪南特意准备了两道算题想当面考考孩子。 一听到计算，小高斯一双大眼睛立刻明亮起来： “7006652。” “那么1357997531呢?” 公爵夫人和周围的人还在思索刚才的答案，只听得小高斯清楚说出它的结果： “1324373449。” 多次获得过军功勋章、素以骁勇善战著称的斐迪南公爵难得在当面夸奖一个人。今天在这个小孩子面前，他不由得连连点头。在自己的领地里有这样一位神童，他感到自豪。其余的人更是个个瞪大眼睛，惊奇得说不出一句话。 “你想不想上大学?” “是的，大人。”小高斯完全清楚，自己的家里穷，上不起大学。爸爸几次和自己提起过，要学好手
20、艺，准备将来继承他的“事业”。所以他不愿多想上大学的事。只有一次，小高斯跟妈妈谈起自己的心愿：要是将来有一天，即使不能像牛顿、欧拉那样上大学念书，只要能在大学图书馆里找一个差使，到了晚上，在里面想看什么书有什么书，就心满意足啦。妈妈听着听着，不觉一阵心酸，一把将他搂在怀里噙着泪说：“好孩子，妈一定给你想办法。”不过小高斯心里明白，要上大学图书馆实际上也希望渺茫。为了不让妈妈伤心，后来他再也不提这件事了。这时，他只听到公爵微笑着说： “好，我来帮助你。” 小高斯高兴得心怦怦直跳。意想不到的幸运降临到他的头上!公爵答应，从现在起由他负担一切费用，直到高斯大学毕业。 诞生在18世纪末叶的德国，对高斯
21、来说算是幸运。当时，英国工业革命的熊熊烈火已经烧到欧洲大陆，海洋上一艘艘喷着浓烟的炮舰趾高气扬，横冲直撞；商店橱窗里堆满争奇斗艳的花布；统治阶级中一切有识之士第一次看到科学技术的无比威力。为了战争和享乐的需要，他们开始关心教育和科学的发展。小城镇办起了国民小学；学术赞助人成为时髦的头衔。科学走出宫廷和贵族的沙龙得到空前的发展。数量众多的学者从各阶级、各阶层涌现出来。默默无闻的园丁的儿子才有可能受到公爵大人的青睐。要是时间稍稍提前100年，情况就截然不同。那时知识只属于有闲的贵族集团，知识分子寥若晨星。一个普通劳动人民的儿子高斯，纵然有天大的才华，恐怕也难逃园丁或泥瓦匠的命运了。错失良机 高斯深
22、深懂得，上学的机会来之不易。母亲的期望，老师的鼓励，公爵的器重，激励他更加勤奋刻苦地学习。 13岁那年，高斯考入大学预科学校，着重进修古代语言。他在语言学方面显示出来的才能使老师和同学赞叹不已。他很快精通拉丁语和希伯来语，并且对语言学发生浓厚的兴趣。后来，他用优美的拉丁文写下许多不朽的名著。法国革命和拿破仑失败以后，欧洲出现民族主义的浪潮。科学家纷纷使用本国文字来写论文，他后期的著作也改用德文了。 1792年初，15岁的高斯进卡罗琳学院学习，掌握了欧拉和拉格朗日的著作，特别是精通了牛顿的自然哲学的数学原理。从少年时代起，他就十分敬重牛顿。在他的著作中，对欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和勒让德等人都有
23、极高的评价，但是对牛顿，高斯认为他“至高无上”。在古代数学家中，他最推崇阿基米德。只有一点他感到遗憾：为什么阿基米德在计算沙粒的时候不发明十进位或相当的计数制呢?他认为，不然的话，今天的科学将远远超过现有的成就。 1795年秋，高斯提着一只破旧的小皮箱，离开卡罗琳学院来到格丁根大学。10月的格丁根秋高气爽。位于德国中部的这座幽静小城沐浴在金色阳光下，显得分外妩媚迷人，仿佛在热情欢迎这位远道而来的年轻大学生。后来除去短时间的离开，高斯在这里工作、生活直到生命的最后一刻。由于他和后继者的杰出工作，遐迩闻名的格丁根学派从此崛起。格丁根成了举世瞩目的学术中心。这时候，高斯虽然是个学生，但是在数学上已经
24、取得一系列的重要成就，特别是对数论中的二次互反律， 他第一个作出严格的证明。这是他经过无数次失败才挖掘出来的一颗无比瑰丽的“算术的珍宝”。在本书第六章有关欧拉的工作中，我们已介绍过，仅仅发现这个定理就是个了不起的成就。欧拉发现过这个定理，但是他没有证明。他只是举几个例子作为验证。勒让德在1785年独立宣布了这一定理，并且先后给出两个证明。可惜他的证明不完备，因为他回避了一些重要的难点。这个被认为是18世纪数论中最重要的定理，使多少大名鼎鼎的数学家束手无策，却被当时尚不知名的高斯迎刃而解。1795年，他不仅独立发现这个定理，并且第一个作出严格的证明。在证明中，他表现了惊人的技巧。他把数学归纳法运
25、用得如此出神入化，以致凡是见过这证明的数学家无不拍案叫绝。鉴于它的宝贵和重要，高斯称二次互反律是“黄金定理”。对于这样重要的定理，有一个证明还不能使他满足。他反复思考多年，先后给出6个不同的证明。今天我们知道的证明已经有50个左右。对某一定理给予各种不同的证明是高斯研究上的一大特点。他认为“绝不能以为”获得一个证明以后“研究便告结束，或把寻找另外的证明当作多余的奢侈品”。因为，“有时候，你一开始未能得到一个最简单、最美妙的证明，但正是这样的证明才能深入到高等算术真理的奇妙联系中去。这是我们继续研究的动力，并且最能使我们有所发现。” 发表这一重大发现无疑会使他一举成名，默默无闻的穷大学生一夜之间
26、将成为举世闻名的大数学家。面对荣誉的诱惑，高斯没有动心。他小心翼翼地把这颗珍宝和其他发现一起关进他褐色的小皮箱。他还没有作出抉择，究竟是数学还是语言学作为自己终身的事业，因为他在语言学方面同样有浓厚的兴趣和非凡的才能。 错失一次成名的良机，他并不感到惋惜。转 折 点 高斯穿过铺着鹅卵石的马路来到小食品铺买面包的时候，他并没有发觉，今年格丁根的春天来得特别早。一连下了两场春雨，大地已经披上绿色的新装。他整天关在小房间里埋头工作。为节省时间，他一次买足一个星期的面包。大家都好奇地揣测着这位仍不合时宜地穿着黑色冬季长袍的青年到底在研究什么。直到距离高斯19岁生日正好差一个月1796年3月30日人们才
27、惊喜地得知，这位格丁根大学生用直尺圆规作出了一个正十七边形!这真称得上是数学史上最惊人的发现。 用直尺圆规作正多边形是历史遗留下来的一个“老大难”问题。在古希腊时代，几何学家们认为，要使概念简单明确，不互相矛盾，必须证明它是存在的。在欧几里得几何的公设里承认直线和圆存在。由于它们分别由直尺和圆规作出，因此古典几何学家们认为，从“严密性”出发，任何图形只有当它能用直尺圆规作出的时候才能得到承认。这种古怪的见解，可说是古希腊奴隶社会的产物。在当时，角斗士要在角斗场上手刃对手来求得生存；而那些身上抹着香料油的贵族和奴隶主们是在同对手的辩论中来赢得地位和声誉的。辩论术成为一门重要的学问。为了使自己的演
28、说无懈可击，逻辑的严密性受到极大的重视。几何学当然不能不受到这股思潮的影响。虽然几何学起源于生产，古希腊的学者对于几何在逻辑上的“完美性”比它在生产上的应用更感兴趣。欧几里得使用尺规可以作正三角形，可以作正四边形、正五边形、正十五边形，以及通过反复二等分这些正多边形的边所得的一系列正多边形。例如由正三角形通过二等分边可以得到正六边形，再得到正十二边形，等等。自然就会提出这样的问题：能不能用尺规作正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形或正十九边形呢?如果能够，怎样作法?在中学里，我们遇到过用尺规来作某个图形的问题，因此，用尺规作一个正十七边形，似乎并没有什么了不起。然而，历史上多
29、少著名的学者，为了回答这个问题，作过种种尝试，倾注了无数的心血。结果都无一例外地失败了。 前人的失败，对于意志薄弱的人无疑是退却的最好借口，但是对于高斯，却只有激起他不可遏止的热情。不过要获得成功，光凭热情不够，还需要有扎扎实实的工作。他认真总结前人失败的记录，发现他们大都采用的是几何的方法。想用这种方法来解决问题，就像瞎子摸鱼瞎碰!高斯意识到，要摸鱼，首先要弄清哪些地方有鱼；在没有鱼的地方去摸鱼，当然白费气力。这时候他仍在研究数论问题。通过反复尝试，他意外地发现，解决这个难题的线索可以在代数里找到。他巧妙地将尺规作图的几何问题化为一个代数方程，然后通过这个方程的整数解来确定哪些正多边形可以由
30、尺规作出。这就解决了“哪里有鱼”的问题。在这里高斯创造了把问题由一个领域(几何学)转移到另一个领域(代数学)来解决的第一个杰出的例子。高斯在后来的研究中多次采用这类方法。他证明了：使用尺规所能作出的边数为奇数的正多边形，它的边数必定是费马素数或不同费马素数的乘积。这就是说，可以用尺规作出边数是3，5，17，257，65537，或者边数是它们的乘积的正多边形，但是不能作正七、九、十一、十三或十九边形。因此对那些不可能用尺规作出的正多边形，人们就无须再虚掷时光。谁会想到抽象的费马数同几何竞有这样有趣的联系!根据这条线索，高斯最后成功地用尺规作出了正十七边形。这样，困扰了几何学家达2000多年之久的
31、大难题终于由这位年仅19岁的德国青年给出完满的解答。如图的正十七边形的完整作法只需要一页篇幅；正257边形的尺规作图就要占用80页纸张；而后来数学家盖尔美斯按照高斯方法作出的正65537边形的手稿要占据整整一只手提箱!这份手稿至今仍保存在格丁根大学的图书馆里。 这次成功使高斯大为振奋。他甚至希望，将来在自己的墓碑上能刻上正十七边形的图案。他决心把毕生精力奉献给数学科学。语言学遗憾地失去一位天才的大师，不过研究古代语言仍是他终身的嗜好。为永远纪念这一非凡成就，在高斯逝世以后，人们为他建起一尊以正十七棱柱作底座的纪念像，庄严地耸立在他风景如画的故乡不伦瑞克。宁少毋滥 成就和赞誉没有使高斯陶醉。他怀
32、着不可遏止的热情乘胜前进。新的奇妙的数学思想像春潮般滚滚而来，使他应接不暇。小房间的灯光彻夜通明。为了不让那些朦胧的、稍纵即逝的灵感跑掉，他通宵达旦地进行计算和论证。胜利的欢悦把疲劳冲刷得一干二净。不过道路并不平坦。在攀登的时候，每前进一步都要付出代价。现在他又遇到障碍。度过了多少个不眠之夜，草稿纸足足塞满好几个纸篓，问题仍找不到线索。解决似乎已经无望。不过，他不是个轻易认输的人。一旦认定了目标，他就一定要坚持到底。这时候，时间好像“冻结”，空间也已经“凝固”。不知道自己白天吃的是什么，不记得晚上是否有过片刻安眠。他仔细审查每一步过程，核定每一个结论，分析每一次失败，这一天终于来到!蓦然间奇迹
33、出现，整个问题的解清晰地呈现在眼前。他欣喜若狂。他取出一个小本子，小心地把它记载下来： EYPHKA! num=+时间是1796年7月10日凌晨。这就不禁使人想起当年阿基米德在洗澡的时候突然发现浮力定律，兴奋得从浴缸一跃而起，在大街上一边狂奔一边高喊“找到了!找到了!” 的狂喜心情。高斯在这里以同样的喜悦找到了费马提出的一个困难定理的证明：每个正整数是3个三角数之和。 高斯的小册子毫不显眼，淡黄色的封面，只有薄薄的19页，里面涂满各种奇怪的符号，记录着从1796年3月30日到1814年7月9日这段时间里他的146项研究成果。因为这本日记只供本人使用，所以每一条往往只写三言两语，十分简短。有的条
34、目简单得甚至连专家也摸不着头脑。比如在1796年10月11日，日记里有这样一条： Vicimus GEGAN而在1799年4月8日只简单记着由于高斯总是一个人单独工作，因此他花了几星期以至几个月呕心沥血研究的结晶就成为人们进行种种猜测的永不枯竭的源泉。幸好除了上述两条，日记中其余144条的内容倒是清楚的。 实在令人遗憾，这样重要的日记高斯竟始终珍藏着没有公开，直到1898年高斯逝世后43年才在科学界流传。那一年格丁根皇家学会为进行研究，向高斯的孙子借来这本日记，它的影印件后来刊登在高斯全集第十卷上。 高斯日记的内容一披露，轰动了整个科学界。人们第一次了解到，有许多重大成果高斯实际上早就发现，而
35、公开发表得很晚；有的甚至在生前根本没有发表!有关椭圆函数双周期性的内容一直到日记发表的时候人们才知道，以致这个重大成果在日记里整整沉睡了100年！ 1797年3月19日的一条清楚表明，高斯已经发现这个成果；后来又有一条，说明高斯还进一步认识到一般情况下的双周期性。这个问题后来经过雅可比和阿贝尔独立研究发展，才成为19世纪函数论的核心。类似的例子不胜枚举。 这样大量的重大发现在日记里竟被埋没好几十年以至一个世纪!面对这一不可思议的事实，数学家们无不大为震惊。如果及时发表这些内容，无疑会给高斯带来空前的荣誉，因为日记中的任何一项无不是世界第一流的成果。如果考虑到这时候的高斯还在靠斐迪南公爵的有限津
36、贴来维持最低限度的生活，就更加使人费解了。尤其可惜的是，要是高斯把他所知道的都及时公开，就可免得后来的数学家们在许多重要领域长期地在黑暗中苦苦摸索。数学史将大大改写。有的数学家估计，数学可能要比现在先进半个世纪甚至更多。雅可比和阿贝尔就可以在高斯终止的地方起步，而不必耗费精力去重新发掘高斯早在他们出生以前就已经知道的内容；非欧几何的创立也可以足足提前半个世纪。罗巴切夫斯基和鲍耶就不必把他们的才智用在高斯早已经解决的问题上。是的，假如高斯了解今天数学家们的心情，他大概会后悔：真不该无情地把自己的日记锁起来! 为什么会出现这种现象?有人说这是因为高斯的处女作算术研究曾经遭到法国科学院的粗暴拒绝。这
37、个不应得的羞辱深深刺伤他的自尊心。从此他下决心，凡是拿出去发表的作品，从内容到形式必须让任何人挑不出毛病。可是，事实并不是这样。1935年，法国科学院的工作人员为核实这个事关重大的指责，对该院的文件记录作了一次详尽的调查，调查表明，算术研究从来没有寄交法国科学院，当然更谈不上被它拒绝了。 其实，高斯对成果采取这样慎重的态度，完全是出于他对工作极端严格的要求。在小时候，他喜欢看父亲和舅舅干活。他们的工作是那样的兢兢业业，一丝不苟。每一枝鲜花，每一块锦缎，都称得上是艺术的佳品。后来他不止一次看到，他所崇拜的伟大先驱阿基米德和牛顿是怎样地对他们自己的作品精雕细刻，精益求精，在严密的一环扣一环的综合论
38、证中深深掩盖着自己内心的激情。他决心遵循他们的榜样。因此，他只发表经过千锤百炼的杰作，不允许有任何缺陷或漏洞。他要求严格的完美，哪怕多一字或减一字都会有损于它的形象。这是件珍品：纯真，完美，朴实无华，有说服力而且要不留斧凿的痕迹。他认为一座宫殿只有把最后的脚手架拆除以后才成为宫殿。正是基于这种信念，他不愿公开自己的日记。因为按照他的标准，有些条目的内容还没有完全成熟。他恪守自己的格言：“宁少毋滥”。 这实在令人惋惜。从艺术形式来看，这样的数学瑰宝固然精美绝伦，可是，在数学研究中，思想和方法常常比由此发展而成的定理重要得多。一个杰出的思想可以引申到新的领域产生出意想不到的结果。现在，由于到达终点
39、的所有足迹已经被抹掉，他的许多重要思想只有经过后继者另行发掘才得重见天日。正如雅可比所说：“高斯的证明被冻结得硬邦邦的，人们必须先把它融化开来。”他的不少传大著作只有经过专家们的详尽解释才能为一般人所了解和接受。 另外我们还不应忘记贯穿在整个18世纪的数学家之间的激烈争论。他们各持己见，互相指责，由于缺乏严格的论证，在争论中又产生种种错误。为了证明自己的论点，他们往往求助于讽刺挖苦和自吹自擂。这类争论给高斯留下深刻的印象。他出身虽然贫微，却和他的双亲一样，自尊心极强。他极端厌恶和鄙视强词夺理和文过饰非。他担心日记中的内容发表出来会招致无休止的意气用事的争论，对于这类“争论”，他无意奉陪。 个人
40、的荣誉他毫不计较，过于坚硬的成果别人是否容易消化，他无心顾及。他把莎士比亚悲剧李尔王中的一段格言工工整整地写在自己在肖像下面： “大自然，您是我的女神，我一生的效劳都服从于您的规律。” 这句名言再好不过地概括高斯献身科学的光辉的一生。灵感仅赐福于有心之人 在格丁根大学学习的3年(1795年10月到1798年9月)，是高斯一生中成果最丰富的时期。公爵的资助使他不必为生活操心。他身披灰色罩袍，戴一顶无檐的小帽，关起门来潜心研究。一项数论方面的传大工作在夜以继日地紧张进行。到大学毕业，具有历史意义的巨著算术研究实际上已经完成。那一年高斯在不伦瑞克过了一个秋天，偶尔到黑尔姆斯泰特走一趟，因为黑尔姆斯泰
41、特大学有一座藏书丰富的图书馆，他在那里对著作作最后润色。黑尔姆斯泰特大学已经耳闻高斯的大名，图书馆的管理人员和著名数学家帕夫(17651825)热烈欢迎他的光临。高斯就住在帕夫教授的家里，并且成为他们家的好友。殷勤好客的主人为照顾好这位拼命用功的青年的健康，特意为他准备好丰盛的菜肴，每天黄昏还拉着他出去散步。 历史悠久的黑尔姆斯泰特大学依山傍水，景色宜人。暗红色的校舍镶嵌在浓密的绿树丛中，一派庄严肃穆的气氛。他们漫步在蜿蜒的河岸上，迎面扑来野花的芳香，沁人心脾。帕夫像老朋友一样，向高斯畅谈他最新的研究和遇到的困难。教授坦率和善的性格深深博得高斯的喜爱和敬重。他聆听着教授精湛的见解，不时点头称是
42、，偶尔插上一两句切中要害的评论。可惜谦虚的年轻人一句没有提到自己在数论中所取得的重大进展。这本来可以使教授得到同样的收获，甚至是更大的收获。 “晚上休息得好吗?”教授关切地问道。 “嗯，很好。” “年轻人，你可别瞒我。我半夜醒来，看到你房间的灯还亮着呢。” 教授对客人不分昼夜地工作早有意见，想乘机提出他的忠告：“搞研究不是一朝一夕的事，要顾惜自己的身体。”帕夫正说得起劲，忽然发觉旁边并没有人跟着，不禁吃了一惊。回头一看，他见到高斯正对着远处农舍闪烁的灯火出神，赶忙过去问个究竟。不料年轻人对他的招呼毫无反应!过了好一会儿高斯渐渐“苏醒”，看到站在旁边不知所措的教授，才想起刚才发生的事情。原来这几
43、天高斯正被费马的一个命题搞得寝食不安。他用通常的方法去证明都碰了壁。这个问题一直萦绕在他的脑际。在散步的时候，高斯猛然发现，为什么不利用分析的方法来证明呢?虽然这种方法一般并不是用来处理像整数这样一类离散的现象。他愈想愈觉得有理，不知不觉停下脚步，把教授撇在一边。 后来有人问起高斯成功的秘诀，高斯以其特有的谦逊回答道： “如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。” 好像是为了证明自己的结论，有一次他指着算术研究第636页上的一个问题动情地说： “别人都说我是天才，别信它!你看这个问题只占短短几行，却使我整整花了4年时间。4年来我几乎没有一个星期不在考虑它的符号问题。” 这使
44、人想起牛顿。当问到他怎样取得超过所有先辈的成就的时候，牛顿的答案同样简单： “因为时时刻刻想到它们。” 真是英雄所见略同。正因为深知自己为每一点滴的成就曾经倾注了多少心血，高斯知道怎样评价别人的工作。他根本不相信所谓牛顿和苹果的故事。他认为，这纯系无稽之谈。要不是牛顿在万有引力问题上已经有长期的酝酿和深入持久的思考，即使苹果落到他的头上也绝不会产生什么灵感。俗话说得好：灵感仅赐福于有心之人啊。披荆斩棘 金黄的黑尔姆斯泰特的秋天是丰收的季节。高斯满载着数论研究的丰硕成果同帕夫依依惜别，启程返回格丁根。坐在颠簸的马车里，眺望着一望无垠金色的田野，他的心已经飞向未来的战场。在临别前夕，帕夫恳切地向他
45、提议，希望他在黑尔姆斯泰特大学完成博士学位研究工作并且以代数学基本定理的证明作为课题。这是怎么回事?每个中学生都知道，在古典代数中，方程是主要研究对象，而解方程首先要搞清这个方程究竟有几个根。早在100多年前，数学家从大量实例中认识到，如果把复根也算上，那么一个n次方程刚好有n个根。这个命题就是所谓代数学基本定理。可是十分遗憾，这样一个带有根本重要性的定理到这时还没有一个令人满意的证明。这不是数学家们的疏忽，忘记了这项工作，只因为它的难度远远超过人们的想像。达朗贝尔花了九牛二虎之力，试图给出一个证明，最后以失败告终；帕夫本人也作过认真的尝试，结果同样不妙。教授一眼看中了高斯。他发觉这位不折不挠、才气横溢的青年才是挑起这副重担的真正人选。他没有顾虑自己的面子，直率地谈出自己的见解。