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1、|全等三角形的动点问题教学重点难点 利用熟悉的知识点解决陌生的问题思路：1.利用图形想到三角形全等2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6.动点类问题一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论.【典型例题】例 1. 如图 1，在ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边且在AD 的右侧作正方形 ADEF解答下列问题：（1）如果 AB=AC，
2、BAC=90，点 D 在射线 BC 上运动时（与点 B 不重合） ，如图，线段 CF，BD之间的位置关系为_，数量关系为_请利用图 2 或图 3 予以证明（选择一个即可） |例 2. 如图，在等腰 RtABC 中，ACB=90，AC=CB ，AC=8 ，F 是 AB 边上的中点，点 D、E 分别在AC、BC 边上运动，且始终保持 AD=CE，连接 DE、DF 、EF.（1）求证：ADFCEF.（2）试证明DFE 是等腰直角三角形 .（3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE 的面积是否保持不变？试说明理由 （4）求CDE 面积的最大值变式 如图，在等腰 RtABC 中，C=90，AC=8，F
3、是 AB 边上的中点，点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动，且保持 AD=CE连接DE、DF、EF 在此运动变化的过程中，下列结论：DFE 是等腰直角三角形；DE 长度的最小值为 4；四边形 CDFE 的面积保持不变；CDE面积的最大值为 8其中正确的结论是（ ）A B C D例 3. 正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一公共点 A，点 GE 分别在线段 AD、AB 上（如图（1）所示） ，连接 DF、BF（1）求证：DF=BF（2）若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，连接 DG、BE（如图（2）所示） ，在旋转过程中，请猜想线段 DG、BE 始终有什么数量关系和位置关
4、系并证明你的猜想|例 4.如图，已知ABC 中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点 D 为 AB 的中点.（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A点运动.若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD 与 CQP 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP 全等？（2）若点 Q 以中的速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点
5、Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇？变式 如图，在等边 ABC 中，AB=9cm ，点 P 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 点以 2cm/s 的速度移动，点 Q点从 B 点出发沿 BA 边向 A 点以 5cm/s 速度移动P、Q 两点同时出发，它们移动的时间为 t 秒钟（1）你能用 t 表示 BP 和 BQ 的长度吗？请你表示出来（2）请问几秒钟后，PBQ 为等边三角形？（3）若 P、Q 两点分别从 C、B 两点同时出发，并且都按顺时针方向沿 ABC 三边运动，请问经过几秒钟后点 P 与点 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？|【拓展提高】1.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1
6、所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B，C ，E 在同一条直线上，连结 DC（1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ；（2）证明：DCBE2.如图，在 Rt ABC 中，BAC=90 ，AC=2AB，点 D 是 AC 的中点，将一块锐角为 45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与 A、D 重合，连结 BE、EC试猜想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想3. 已知 RtABC 中，AC=BC ，C=90 ，D 为 AB 边的中点，EDF=90 ，EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC、CB（或它们的延长线）于
7、 E、F.当EDF 绕 D 点旋转到 DEAC 于 E 时（如图 1） ，易证 12DEFCABCSS 当EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S DEF 、S CEF 、S ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明|4. 如图，AC 为正方形 ABCD 的一条对角线，点 E 为 DA 边延长线上的一点，连接 BE，在 BE 上取一点F，使 BF=BC，过点 B 做 BKBE 与 B，交 AC 于点 K，连接 CF，交 AB 于点 H，交 BK 于点 G.（1）求证：BH=BG；（2）求
8、证：BE=BG+AE.5.正方形四条边都相等，四个角都是 90如图，已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方，BC 在直线 MN上，点 E 是直线 MN 上一点，以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG（1）如图 1，当点 E 在线段 BC 上（不与点 B、C 重合）时：判断ADG 与ABE 是否全等，并说明理由；过点 F 作 FHMN，垂足为点 H，观察并猜测线段 BE 与线段 CH 的数量关系，并说明理由；（2）如图 2，当点 E 在射线 CN 上（不与点 C 重合）时：判断ADG 与ABE 是否全等，不需说明理由；过点 F 作 FHMN，垂足为点 H，已知 GD=4，求CF
9、H 的面积|6.如图 1，若ABC 和ADE 为等边三角形，M、N 分别为 EB、CD 的中点，易证：CD=BE ，AMN 是等边三角形.（1）当把ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时，CD=BE 是否依然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当ADE 绕点 A 旋转到图 3 位置时，AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD 时， ADE 与ABC 及AMN 的面积之比；若不是，请说明理由.|7.在ABC 中，AB=AC ，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B、C 重合） ，以 AD 为一边在 AD 的右侧做ADE，使 AD=AE， DAE=BAC，连接
10、 CE.（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上，如果 BAC=90，则BCE=_ 度；（2）设BAC= ，BCE=.如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点 D 在直线 BC 上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论 .|8.思考与推理 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=6cm，CB=CD ，ABBC，CDAD，BCD=120. PCQ=60，两边分别交线段 AB、AD 于点 P、Q，把PBC 绕点 C 顺时针旋转 120得到MDC.请在图中找出一对全等的三角形并加以证明（PBC 与MDC 除外）.探究与应用 在上边的
11、条件下，若PCQ 绕顶点 C 在BCD 内转动，两边始终与线段 AB、AD 相较于点 P、Q，试探究在转动过程中APQ 的周长是否变化，若不变，求它的周长；若变化，请说明理由 .|9. 问题情境：如图 1，在直角三角形 ABC 中，BAC=90，AD BC 于点 D，可知：BAD=C（不需要证明） ；特例探究：如图 2，MAN=90 ，射线 AE 在这个角的内部，点 B、C 在MAN 的边 AM、AN 上，且AB=AC，CF AE 于点 F，BDAE 于点 D证明：ABDCAF；归纳证明：如图 3，点 B，C 在MAN 的边 AM、AN 上，点 E，F 在MAN 内部的射线 AD 上，1、2
12、分别是ABE、CAF 的外角已知 AB=AC， 1=2= BAC求证：ABECAF；拓展应用：如图 4，在ABC 中，AB=AC ，ABBC 点 D 在边 BC 上，CD=2BD，点 E、F 在线段 AD上，1=2=BAC 若ABC 的面积为 15，则ACF 与BDE 的面积之和为_.|10. 如图 ，已知ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BC=2，AD 是 BC 边上的高作正方形DEFG，使点 A、C 分别在 DG 和 DE 上，且 DE=BC，且连接 AE、BG（1）试猜想线段 BG 和 AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形 DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 0，或小于 90） ，DG 、DE 分别交 AB、AC 于点 M 和 N（如图） ，则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由11. 如下图，已知正方形 ABCD 中，边长为 10 厘米，点 E 在 AB 边上，BE=6 厘米（1）如果点 P 在线段 BC 上以 4 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CD 上由 C 点向D 点运动