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1、|论全等三角形判定与性质及其技巧袁崧浩三角形是平面几何中最重要也是最基础的图形之一，大部分的平面几何都建立在三角形的基础上，本文将论述全等三角形的基础及其拓展。一、 全等三角形的判定公理1、 边边边（SSS）三 边 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等2、 边 角 边 （ SAS）两 边 和 它 们 的 夹 角 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等3、 角边角（ASA）两 角 和 它 们 的 夹 边 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等4、 角角边（AAS）两 个 角 和 其 中 一 个 角 的 对 边 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等5、 斜边、直
2、角边（HL）直 角 三 角 形 全 等 条 件 有 ： 斜 边 及 一 直 角 边 对 应 相 等 的 两 个 直 角三 角 形 全 等二 、 全 等 三 角 形 的 性 质1 全 等 三 角 形 的 对 应 角 相 等 。 2 全 等 三 角 形 的 对 应 边 相 等 。 3 全 等 三 角 形 的 对 应 边 上 的 高 对 应 相 等 。 4 全 等 三 角 形 的 对 应 角 的 角 平 分 线 相 等 。 5 全 等 三 角 形 的 对 应 边 上 的 中 线 相 等 。 6 全 等 三 角 形 面 积 相 等 。 7 全 等 三 角 形 周 长 相 等 。三、 全等三角形题型的解
3、题技巧1、 制造全等三角形|在一些题目中，你需要通过全等来解题但是在图形中找不到全等三角形，这时就需要通过辅助线来制造全等三角形以解题，可利用等角和等边来作辅助线，一下介绍两种比较经典的方法：（1） 倍长中 线 法 ：延 长 中 线 ， 使 所 延 长 部 分 与 中 线 相 等 ， 然 后 往 往 需 要 连 接 相应 的 顶 点 ， 则 对 应 角 对 应 边 都 对 应 相 等 。 常 用 于 构 造 全 等 三角 形 ,例 题 如 下 :如图，ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，求证:2ADAB+AC证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连结 CE易证三角形ADBEDCAB=C
4、E在三角形 ACE 中，2ADAC+CE（三角形两边之和大于第三边）故证毕（2） 角平分线作垂线：利用定理（角平分线上的点到两边的距离相等）来在角平分线上的特定点做边的垂线，以构造全等三角形。定理证明：|证明：OP 是MON 的平分线，过 P 做 PAOM 与 A，PBON 于BOP 平分MONMOP=NOP即AOP=BOPPAOM，PBONPAO=PBO=90AOPBOPPA=PB故证毕（逆定理证明类似）例题如下：如图，在ABC 中，C=90，AD 平分CAB，BC=8，BD=5，DEAB，求 DE解：BC=8，BD=5CD=3DEAB2、 特殊三角形的性质与判定 等腰三角形：（1） 等腰三
5、角形三线合一等 腰 三 角 形 底 边 上 的 高 、 底 边 上 的 中 线 、 顶 角 平 分 线 相 互重 合 。（ 在 三 角 形 中 ， 只 要 有 两 条 线 重 合 ， 那 这 个 三 角 形 一 定是 腰 三 角 形 ）三 线 合 一 的 证 明 ：|如 图 ， 已 知 AB=AC， D 为 BC 中 点 ， 求 证 ： AD 平 分 BAC， AD BC证 明 ： ABC 为 等 腰 三 角 形 AB=AC B= C AD 为 中 线 BD=DC 易 证 ADB ADC（ SAS) 可 得 BAD= CAD， ADB= ADC ADB+ ADC= BDC， 且 BDC=180
6、 度 ADB= ADC=90故 证 毕反 之 可 证 有 两 条 线 重 合 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 ， 由 三 线 合一 亦 可 得 垂 直 平 分 线 上 的 点 到 线 段 两 边 的 距 离 相 等（2） 等腰三角形底角相等（3） 两条边或两个角相等的三角形为等腰三角形等边三角形：（4） 等边三角形三边相等且三个角皆为 60（5） 含 60角的等腰三角形为等边三角形|（6） 三边相等的三角形为等边三角形解题技巧：利用等腰三角形和等边三角形的性质来解题，例题如下：如图，直角三角形 ABC 中，BAC=90，AC=AB，DAC=DCA=15，求证，求证：AB=DB证明：以
7、AD 为边，向右作等边三角形 ADE，连结 EB则易证AEBADC则AEB=ADC=150DEB=150易证AEBDEB故证毕技巧，截长补短：当遇到两条不在一条直线上的线段而要求让这两条线段长度和与另一个长度进行对比时，需要用到截长补短的技巧：延长短的线段或切分长的线段，例题如下：1、 补短|如图，已知ABC 中，AD 平分BAC，AMCM，AD=AB，求证2AM=AB+AC证明：延长 AM 至 N 使 MN=AM，连接 CNAMCMCM 是 AN 的垂直平分线AC=CNCAM=NBAM=CAMBAM=NAB/CNB=NCDAB=ADB=ADBCDN=ADBNCD=CDNDN=CN=ACAN=
8、2AM=AD+DN2AM=AB+AC2、 截长C=90，AC=BC，AD 是BAC 的角平分线，求证 AC+DC=AB证明：在 AB 上取点 E，使 AE=AC，连结 DE|则易证AEDACDC=90，AC=BCABD=45，EDC=135ABD=EDBEB=ED故证毕 直角三角形（1） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明如下：已知2+3=90，AD 为 BC 边上的中线，求证 AD=BD=CD证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连结 BE则易证ABEBACAE=BC又D 为 BC 中点，D 为 AE 中点故证毕例题如下：如图，在ABC 中，ADBC，E、F 分别为 AB、AC
9、中点，且DE=DF，求证 AB=AC|证明：ADBCDE=DF=CF=AF=AE=EB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）故证毕（2） 直角三角形中，30角所对的边是斜边的一半，证明如下：ABC，C=90，B=30，求证：2AC=AB证明：取 AB 中点 D，连结 CDA=60，且 AD=CD=BD（斜边中线定理）ACD 为等边三角形AC=AD=DB故证毕例题如下：如图，在ABC 中，B=90，AD 平分BAC，DEAC 且平分ADC，求证 2BD=CD证明：B=90，且AED=90，且 AD 平分BAC易证ABDAED又DE 平分ADC易证ADECDE|且ADB=ADE=EDC=60AB
10、=2BD=CD故证毕（3） 勾股定理：设直角三角形三边长为 a、b、c，斜边长 c，则 a+b=c，证明如下：如图，四边形 ABCD 和四边形 EFGH 均为正方形，设AD=c，AE=a，DE=b，求证 a+b=c证明：易证AEDBHACGBDFCEFGH 和 ABCD 均为正方形AD=CD=CB=AB=c，EF=FG=HG=EH=a-b，AE=BH=GC=FD=a，ED=AH=BG=CF=b2b+(a-b)=c即 a+b=c例题如下：已知ADB 和EBC 都是等腰直角三角形，CD=8，BE=3，求AC解：DB=AB,CB=EB=3,CD=8BD=AB=5|AC=AB+BC=5+3=34AC=34