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1、|对数函数及其性质的应用(复习课)【常考题型】题型一、对数值的大小【例 1】 (1)下列大小关系正确的是( )A 30.40.4log.3B 0.C 4l.3.4D 0.og(2)比较下列各组值的大小 与 ；53l45l 与 ；13og215 与 .2ll(1)解析 , ， ，故选 C.3040.414log.30答案 C(2)解 法一：对数函数 在 上是增函数，5lyx,而 ， .3453log54l法二： ， ，5l05l .53log45l由于 ， .13l2l15log2l又因对数函数 在 上是增函数，且 ，2lyx0,135| ， .210log32l521log32l5 .13l1
2、5l取中间值 ， ， .2log2l5log5l42log35l4【类题通法】比较对数值大小的方法比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较(4)若底数与真数都不同，则常借助 , 等中间量进行比较10【对点训练】比较下列各组中两个值的大小：(1) ， ；ln0.3l2(2) ， ( ，且 )；og1a5.a01a(3) ， ；3l.4l(4
3、) ， .解：(1)因为函数 是增函数，且 ，lnyx0.32所以 .ln0.3l2(2)当 时，函数 在 上是增函数，又 ，所以1aloga,3.152log3.1a；log5.当 时，函数 在 上是减函数，0layx0,又 ，所以 .3.12og3.152(3)因为 ，所以 ，即 .0.l0.2l40.21log30.2l43log0.24l|(4)因为函数 是增函数，且 ，所以 .3logyx33log3l1同理， ，所以 .1log题型二、求解对数不等式【例 2】 (1)已知 ，若 ，则 的取值范围是_512alaml5a(2)已知 ，则 的取值范围为_1loga(3)已知 ，则 的取
4、值范围为_0.7x0.7l1x解析 (1) ， 在 上是减函数，logaf, .05m(2)由 得 .1l2alaloga当 时，有 ，此时无解当 时，有 ，01a2a从而 .2 的取值范围是 .a1,2(3)函数 在 上为减函数，0.7logyx,由 得 ，解得 ，0.7l20.7l1021xx即 的取值范围是 x,答案 (1) (2) (3)05m,2,【类题通法】|常见对数不等式的解法常见的对数不等式有三种类型：(1)形如 的不等式，借助 的单调性求解，如果 的取值不确定，logaxlablogayxa需分 与 两种情况讨论10(2)形如 的不等式，应将 化为以 为底数的对数式的形式，再
5、借助la的单调性求解logayx(3)形如 的不等式，可利用图象求解lalogbx【对点训练】若 且 ，且 ，求 的取值范围01l21alog30a解：不等式可化为 ，og1等价于 或 ，2103a213a解得 ，即 的取值范围为 .1a,3题型三、对数函数性质的综合应用【例 3】 (1)下列函数在其定义域内为偶函数的是( )A B2yx2xyC Dlog(2)已知 ( )lxaf1求 的定义域和值域；x判断并证明 的单调性f(1)解析 指数、对数函数在其定义域内不具备奇偶性，故选 D.答案 D(2)解 由 ， ，即 ，得 .1a0xxa1故 的定义域为 fx,|由 ，可知 .0xalogxa
6、log1a故函数 的值域为 f,1 在 上为减函数，证明如下：x,任取 ，又 ， ， ，12a1x2a1x2xa ( ) ( )，即 ，故 在 上为减函数logaxlog22fff,1【类题通法】解决对数函数综合问题的方法对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路【对点训练】已知函数 ，log3afxx(1)当 时，函数 恒有意义，求实数 的取值范围；0,2f a(2)是否存在实数 ，使得函数 在区间 上为减函
7、数，并且最大值为 1？如果存1,2在，试求出 的值；如果不存在，请说明理由a解：(1)由题设， 对 恒成立，且 ， .30x,0a设 ，gx则 在 上为减函数，0,2 ，min30a .32a 的取值范围是 .30,1,2(2)假设存在这样的实数 ，则由题设知 ，a1f即 ， .log31a32|此时 .32logfxx但 时， 无意义故这样的实数 不存在32l0f a【练习反馈】1设 ， ， ，则( )5log4a5lb4log5cA BcbaC D c解析：选 D 由于 ，故 .5log3ba5l414logbac2函数 的奇偶性是( )21fxxA奇函数 B偶函数C既奇又偶函数 D非奇非
8、偶函数解析：选 A 定义域为 ，fxRff21lgx21lgx，lg21xl0 为奇函数，故选 A.f3不等式 的解集为_12lox12log3x解析：由题意 ，0321x32x.13x答案： 2|4设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则1alogafx,2a12_.解析： ， 在 上递增，logafx,2 ，l2a1即 ，loga ， .124答案：5已知函数 ， ，其中( 且 )，设log1afxxlog1ax0a1hxf(1)求函数 的定义域，判断 的奇偶性，并说明理由；hh(2)若 ，求使 成立的 的集合32f0xx解：(1) 的定义域为 ，log1a1的定义域为 ，lagx 的定义域为 hfxx1xx ，glo1alog1a ，xlo1alogah 为奇函数h(2) ， .3flgalo42a ，x2o1x2x 等价于 ，0hl2lg1| ，10x解得 .x故使 成立的 的集合为 0h10x