《2022年高考试题分类汇编：考点直线平面平行与垂直的判定及其性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考试题分类汇编：考点直线平面平行与垂直的判定及其性质.docx（42页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 【考点 23】直线、平面平行与垂直的判定及其性质1. （2022 湖北高考文科 4）用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线,y 表示平面,给出以下命题：如 a b , b c ,就 a c ；如 a b , b c ,就 a c ；如 a y , b y,就ab；如ay,by,就ab. 其中真命题的序号是（）A. B. C. D. 【命题立意】此题主要考查立体几何中的线线、线面关系,考查考生的规律推理和空间想象才能【思路点拨】空间中线线平行具有传递性,线线垂直不具有传递性,线面平行不具有传递性 . 【规范解答】 选 C,由空间直线的平行公理
2、知正确；a b ,b c 时 a 与 c 可以平行、 相交也可以异面,故错； a y , b y 时, a 与 b 可以平行、相交也可以异面,故错；由直线与平面垂直的性质定理知正确 . 2. （ 2022 江西高考文科 ）如图, M 是正方体ABCD A B C D的棱 DD 的中点,给出以下命题过 M 点有且只有一条直线与直线 AB ,B C 都相交；过 M 点有且只有一条直线与直线 AB ,B C 都垂直；过 M 点有且只有一个平面与直线 AB ,B C 都相交；过 M 点有且只有一个平面与直线 AB ,B C 都平行 . 其中真命题是： （）. A B C D【命题立意】此题主要考查空间
3、中线与线的位置关系、线与面的位【思路点拨】由线与线、线与面关系定理直接判定 . 置关系,考查空间想象力名师归纳总结 【规范解答】选C.如图：设P N 分别为AA ,CC 的中点,第 1 页,共 26 页就平面 ABNM I 平面B C MPEF , 这个交线是唯独的,且EFIBAF EFIB C 1E. 正确 . 这条唯独成立的直线是DD , 正确；明显平面ADC B , 平面- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BDC B 等与直线 AB ,B C 都相交,错误 ; 这样的唯独平面是过M 且与上、下底面都平行的平面,正确 . 应选 C. 3. （ 202
4、2 全国高考卷文科 6）直三棱柱ABCA B C 中,如BAC90,ABACAA ,就异面直线BA 与AC 所成的角等于（） . 90oA 30o B 45 o C 60 o D 【命题立意】本小题主要考查直三棱柱ABCA B C 的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法 . 【思路点拨】此题源于人教版高二其次册（下B）第 63 页第 4 题,可以采纳常规法利用平移找到异面直线 BA 与 AC 所成的角,也可建立空间直角坐标系求角 . 【规范解答】选 C. 如图：延长 CA 到 D ,使得 AD AC ,连结 A D BD ,就 ADAC 1 为平行四边形,DA B 就是异面直线 BA
5、 与 AC 所成的角,又三角形 A DB 为等边三角形,DA B 60 o . 【方法技巧】 求两条异面直线所成的角的方法：（1）两条异面直线所成的角,是借助平面几何中的角的概念予以定义的,是讨论空间两条直线的基础 . （2）“ 等角定理” 为两条异面直线所成角的定义供应了可能性与唯独性,过空间任一点,引两条直线分别平行于两条异面直线,它们所成的锐角（或直角）都是相等的而与所取点的位置无关. ACD 所成角的余弦值为（3）建立空间直角坐标系,利用向量数量积公式：cosa,b|ab|a|b4. （2022 全国高考卷理科 7）正方体 ABCDA B C D 中,BB 与平面（）. A 2 B3
6、C2 D63333【命题立意】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法,突出考查学名师归纳总结 生的空间想象才能和运算才能. BB 与平面第 2 页,共 26 页【思路点拨】画出正方体图形,利用帮助线并结合正方体的性质,找到线面垂直关系确定ACD 所成角 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【规范解答】选D.设上下底面的中心分别为O1,O ；如图：就OO BB ,O O 与平面ACD 所成角就是BB 与平面 ACD 所成角,cosO OD 1O O 116 3. OD 132【方法技巧】求立体几何中的线面角的方法：（ 1）
7、定义法：先作出斜线在平面内的射影,就斜线与射影的夹角就是斜线与平面所夹角,然后在直角三角形中,求出这个角的某种函数值,最终求出这个角 . （2）公式法：利用公式 cos cos 1cos 2n AB（3）向量法：sin| n | | AB |5. （2022 全国高考卷文科 8）已知三棱锥 S ABC 中,底面 ABC 为边等于 2 的等边三角形,SA垂直于底面 ABC,SA 3 , 那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为（）. A 3 B 5 C 7 D 34 4 4 4【命题立意】此题考查线面角的概念及其求法 . 【思路点拨】先找到与面 SBC垂直的平面,再作出该平面的垂线,找到
8、直线 AB在平面SBC上的射影 ,然后作出所求的线面角求解 .【规范解答】选 D,如图：取 BC 的中点 D ,连结 SD 、 AD ,过 A作 AE SD、连结BE, 就 ABE即所求,SA 3 , AB BC AC 2 , 所以 AD 3, AE 1.5 , sin ABE 3.4【方法技巧】 正确作出线面角是解决此类问题的关键, 作线面角的方法是先找到平面的垂线,可以利用面面垂直的性质,过一个平面内一点向另一平面作交线的垂线,这样就找到该斜线在平面内的射影,从而找到线面角. 在求角的函数值时留意运算要精确 . 名师归纳总结 6. （2022 江西高考理科 ）过正方体ABCDA B C D
9、 的顶点 A 作直第 3 页,共 26 页线 l ,使 l 与棱AB AD AA 所成的角都相等,这样的直线l 可以作 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A1 条 B2条 C3条 D4条【命题立意】此题主要考查空间中线面关系,空间角的概念,考查考生的空间想象才能【思路点拨】建立空间想象才能是关键 . 【规范解答】选第一类：过点 A位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC ；其次类：在图形外部和每条棱的外角和另 2 条棱夹角相等,有 3 条,合计 4 条. 应选 D. 7. （2022 重庆高考文科 9）到两相互垂直的异面直线的距离相等的点（） .
10、A只有 1 个 B恰有 3 个 C恰有 4 个 D有无穷多个【命题立意】本小题考查异面直线、空间距离等基础学问,考查空间想象才能,考查推理论证才能,考查数形结合的思想方法 . 【思路点拨】把两条异面直线放在一个几何模型内,查找符合题意的点 . 【规范解答】选 D 如图：在正方体 ABCD A B C D 1 中,直线 AB 与直线 B C 是两条相互垂直的异面直线,就符合题意的点有正方体的中心 O,点 A ,点 C,BB 的中点 M 等 4 个点；进一步摸索,在平面 ABB A 中,到点 B 的距离就是到直线 B C 的距离,所以问题可以转化为在平面 ABB A 中,到定点 B 的距离等于到定
11、直线 AB 的距离的点 P 的轨迹是抛物线,所以符合题意的点有很多个 . 【方法技巧】构造几何模型正方体,可以简捷解答 . 8. （ 2022 重庆高考理科 0）到两相互垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 . A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线【命题立意】本小题考查立体几何中的线线、线面的垂直关系,考查空间想象才能,考查圆锥曲线的定义和标准方程,考查转化与化归的思想 . 【思路点拨】把空间问题转化到一个平面上,抓住相互垂直的两条异面直线的距离是定值,利用空间几何名师归纳总结 体模型,建立平面直角坐标系进行推导. 第 4 页,共 26 页【规
12、范解答】选D 异面直线1l ,2l 是已知相互垂直的异面直线,以正方体为模型,如下列图,设1l ,2l 的距离是 a , PAPBh ,在直角- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 坐标系 xOy 中,设P x y ,那么xPA yPB2a2,所以yx22 a,所以x2y22 a ,点 P的轨迹为双曲线 . 【方法技巧】借助于正方体这个模型是解题的关键,留意到两条异面直线之间的距离为定值,查找等量关系 PAPB 和PB2PC2BC2即可求出轨迹方程. AB、CC1、A D1所在直线9. （ 2022 全国高考卷理科 11）与正方体ABCDA B C D 的三
13、条棱的距离相等的点 . 2 1. （A）有且只有1 个（B）有且只有2 个（C）有且只有3 个（ D）有很多个【命题立意】此题考查了空间直线、平面间的距离. 【思路点拨】建立空间直角坐标系,利用距离公式求解. 【规范解答】选 D,设正方体的棱长为1,以点D为坐标原点建立空间直角坐标系, 设点M , , x y z ,由点 M 分别作AB CC1,A D 的垂线,垂足分别为M1,M2,M ,就M11, ,0,M20,1, , z M3 ,0,1,依据两点间距离公式,得方程组x2 1z2x2y2 1y2 z2 1,明显xyz 时这个方程恒成立,即这个方程组有无穷多组解,故这样的点有无穷多个【方法技
14、巧】 利用方程思想求解. 方程组x2 12 zx2y2 1y2z中的每个方程都是双曲抛物面的方程,此题中符合要求的点的集合就是两个双曲抛物面的交线；在一些错误会答中认为其轨迹为柱面或者是平面是本质性的错误 . 这个题作为挑选题,命题者的目的是考查考生空间想象才能和直觉猜想才能的 . 名师归纳总结 10. （ 2022 全国高考卷理科 9）已知正四棱锥 SABCD 中,SA2 3,那么当该棱锥的体积最第 5 页,共 26 页大时,它的高为（）. （A） 1 （B）3（C）2 （D） 3 【命题立意】此题考查了立体几何棱锥的体积运算与导数的运用. 【思路点拨】列出关于棱锥高的函数表达式,利用导数求
15、最大值. 【规范解答】选 C,如图：设棱锥的高为h , 底面边长为 a , 就2a22 h232,a2212h2,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - V1212h2h ,V2h28,令V0,3得h2.棱锥的体积最大. 如图,在三棱锥OABC 中,三条棱11. （ 2022 江西高考理科 ）OA OB OC 两两垂直,且OAOBOC ,分别经过三条棱OA OB OC 作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为S S 2,S ,就S S 2,S 的大小关系为_ 【命题立意】此题主要考查棱锥的基本学问,考查空间点线面的位置关系,考查面积和体积的问题,考查两数
16、大小的比较,考查空间想象力【思路点拨】先确定截面的位置,如图：OAOB OAOC , OA平面BOC. 1SBOCOA , 即 OA为底面 BOC 的高,就VA OBC3过棱 OA的截面如要平分三棱锥的体积,只要平分底面即可,故取 BC 的中点 D , 就截面 AOD 平分三棱锥的体积 . 过棱 OB OC 的截面同理 . 再确定截面面积,最终比较大小 . 【规范解答】依次取 BC , CA , AB 的中点 D , E , F,就截面三角形 Rt AOD , Rt BOE , Rt COF 所在平面均平分三棱锥的体积,设 OA a , OB b , OC c,就2 2 2 2 2 2 2 2
17、 2 2 2 2S 1 S 2 1a b c 1b a c = a b a c a b b c,又由于 OA OB OC ,即2 2 2 2 4a b c,所以 S 1 S 2 0,即 S 1 S 2 . 同理可得 S 2 S 3 . 【答案】S 3 S 2 S . 【方法技巧】为了便于运算,可取特别值,如 OA 3, OB 2, OC 1 . 12. 2022 四川高考理科 15） 如图,二面角 l 的大小是 60 ,线段 AB . B l ,AB 与 l 所成的角为 30 . 就 AB 与平面 所成的角的正弦值是 . 【命题立意】此题考查了空间几何体的二面角,线面角的求法问题 . 【思路点
18、拨】 第一作出 AB 与平面 所成的角, 二面角 l 的平面角, 然后利用具有已知条件的直角三角形求边 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【规范解答】如图：过 A点作 AO, 垂足为 O ,联结 AO ,就ABO 就是 AB 与平面所成的角 . 再过 O 作 OCl , 垂足为 C ,联结BC ,就ACO 就是二面角. /DC,ADDC,l的平面角 . 即ACO60,设 ABa ,在 Rt ACB 中,ABC30, ACABsin 30a,2在 Rt AOC ,AOACsin 603a . 4在 Rt AOB中
19、,sinBAOAO3AB4【答案】3. 4【方法技巧】此题主要利用三垂线定理及其逆定理把要求的角作出来再求13. （ 2022 全国卷理科 19）AB如 图 , 四 棱 锥SA B C中 ,S D底面A B C,ABAD1,DCSD2,E 为棱 SB上的一点,平面EDC平面SBC. （）证明：SE 2 EB ；（）求二面角 A DE C 的大小 . 【命题立意】 “ 似曾相识燕归来”. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,二面角等基础学问, 考查空间想象才能、推理论证才能和运算才能立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状名师归纳总结
20、 - - - - - - -况,命题人在这里肯定会照料双方的利益. 同学在备考中也应留意这一点,两种方法都应重视,不行偏颇.【思路点拨】此题很常规,给人感觉很熟识,特别给出,底面ABCD 为直角梯形,SD底面ABCD,这就为解答供应很大的便利,大部分考生会考虑到用建立空间直角坐标系,运用向量解答. 再者,此题与2007 年全国高考数学卷第19 题, 2022 全国高考数学卷第18 题年特别类似,给人似曾相识的感觉,假如考前接触过这道试题,解决今年的这道考题不会有太大的困难. 【规范解答】 I 连结 BD , 取 DC 的中点 G , 连结 BG , 由此知DGGCBG1, 即DBC为直角三角形
21、 , 故 BCBD, 又SD平面ABCD, 故 BCSD, 所以以 , BC平面BDS, BCDE . 作 BKEC,K为垂足 , 因平面EDC平面 SBC, 故 BK平面EDC, BKDE.DE与平面SBC第 7 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 内的两条相交直线 BK、BC都垂直 . 名师归纳总结 DE平面SBC, DEEC , DESB,SB2 SDDB26, o . uuur BC, 第 8 页,共 26 页DESD DB2, SB3EBDB2DE26,SESBEB2 6. 33所以 , SE2EB . II由SA2 SDAD25,AB1 , SE2EB
22、, ABSA, 知AE1SA 22AB21, 又AD1, 33故ADE 是等腰三角形 . 取 ED 中点 F , 连结 AF , 就 AFDE ,AFAD2DF26. 3连结 FG , 就 FG EC , FGDE . 所以 ,AFG 是二面角 ADEC 的平面角 . 连结 AG ,AG2,FGDG2DF26, 3cosAFGAF2FG2AG21.所以 , 二面角 ADEC 的大小为 1202AFFG2解法二 : 以 D为坐标原点 , 射线 DA 为 x 轴的正半轴 , 建立如下列图的直角坐标系Dxyz . uur r SB n设A 1,0,0, 就B1,1,0,C0,2,0,S0,0,2.
23、uur SC0,2, 2,uuur BC 1,1,0. 设平面 SBC的法向量为r n , , , 由r n得r uur n SC0,r uuur n BC0,. 故2 b2 c0,ab0. 令a1, 就b1,c1,r n1,1,1,. 又设SEEB 0 , 就E11,11,122. ,DC,0,2 0 . uuur DE,1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设平面 CDE 的法向量ur m , , , 由ur muuur ur DE muuur DC, 平 面 SB C,得ur uuur m DE0,ur uuur m DC0. 故1x1 ur r
24、m ny0,12z0,2y0. 令x22, 就ur m2,0,. 由 平 面 E D Cur mr n,02. 故SEEB. 2II由I 知E2,2,2, 取 DE 中点 F , 就F1,1,1 3,uur FA2 3,1,1, 3333333FADE. 又uuur EC故FADE0, 由此得2 4 ,3 32, 故,ECDE0, 由此得3ECDE, 向量 FA 与 EC 的夹角等于二面角ADEC的平面角 . 于是cosFA,EC|FA|EC|1, 所以 , 二面角ADEC的大小为 120 . FAEC2【方法技巧】求二面角的方法 求二面角的方法 说明 定义法 在棱上任取一点, 过这点在两个平
25、面内分别引 棱的垂线, 这两条垂线所成的角即为二面角的平面 角垂面法利用二面角的棱垂直于二面角所在的平面,三垂线定理自二面角的一个平面上一点向另一个面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足）斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角,即为二面角的平面角. OA OCOB ,14. （2022 湖北高考文科18）如图,在四周体 ABOC 中,OCOA ；AOB120o ,且OAOBOC1. （）设 P 为 AC 的中点, Q 在 AB 上且AB3AQ ,证明： PQ（）求二面角OACB的平面角的余弦值. 【命题立意】此题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系以及二面角等,同时考查考
26、生的空间 想象才能、推理论证才能和运算求解才能名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路点拨】 （）由三垂线定理,可先在AB 上找一点 N ,使 CNOA, 再证明 CN PQ 即可；（）可利用三垂线法做出二面角OACB 的平面角的平面角,再解直角三角形即可也可利用空间向量求解 . 【规范解答】 （）在平面 OAB 内过 O 点作 ONOA交AB于N, 连接NC；在等腰 AOB 中,AOB 120 0, OAB OBA 30 0, 在0 1Rt AON中,OAN 30 , ON AN , 在 ONB中2NOB 120
27、 090 030 0NBO ,NB ON 1 AN ；又 AB 3 AQ , 2Q 为 AN 的中点；在 CAN 中,P Q 分别为 AC AN 的中点,CN PQ ；由 ON OA,OC OA知： OA 平面 ONC,又 NC 平面 ONC,OA NC ,由 CN PQ 知： PQ OA . （）连接 PN PO . 由 OC OA OC OB 知：OC 平面 OAB . 又 ON 平面 OAB, OC ON .由 ON OA知：ON 平面 AOC . OP 是 NP 在平面 AOC 内的射影；在等腰直角 AOC 中,P 为 AC的中点,AC OP ；由三垂线定理知：AC NP ；因此 OP
28、N 为二面角 O AC B 的平面角；在等腰直角 AOC中,OC OA 1 , OP 2；在 Rt AON 中,ON OA tan30 0 3；在2 32 2 30Rt PON 中,PN OP ON . 62cos OPN PO 2 15. PN 30 56解法二 : 取 O 为坐标原点,分别以OA OC 所在直线为 x 轴,名师归纳总结 z 轴,建立空间直角坐标系Oxyz （如下列图）1,3,0, 第 10 页,共 26 页就A 1,0,0,C0,0,1,B1,3,0, 22 P 为 AC 的中点,P 1,0,1. 22AB3,3,0, 又由已知可得AQ1AB22326- - - - - -
29、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 又 OQOAAQ1,3,0,PQOQOP0,3,1, 26623 1PQ OA 0, , 1,0,0 0 . 故 PQ OA . 即 PQ OA ；6 2uur 记 平 面 ABC 的 法 向 量 为 n（n , n , n , 就 由 n CA n AB , 且 CA 1,0, 1 , 得n 1 n 3 03 n 1 3 n 2 0, 故 可 取 n （1 , 3 , 1 , 又 平 面 O A C的 法 向 量 为 e 0 , 1 ,2 2cos n e 1, 3,1 0,1,0 15,二面角 O AC B 的平面角是锐角,记为,就5
30、1 515cos . 5【方法技巧】 1. 空间中的两直线异面垂直往往可通过三垂线定理或线面垂直两个途径来实现,也可由已有的线线垂直,借用线线平行实现新的线线垂直； 2. 求二面角的大小一般有以下五种方法：三垂线法（过其中一个半平面内某点易做出另一个半平面的垂线时最适合用此法）. 垂面法（有一个平面与二面角的棱垂直时适合用此法）. 定义法 . 射影面积法（无棱二面角或简单找出一个半平面内的某个图形在另一个半平面内的射影时适合用此法） . 向量法 . 15. （ 2022 上海高考理科 21）如下列图,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩形骨架,总计耗用 9.6 米铁丝,骨架把圆柱底
31、面 8 等份,再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（担心装上底面） . 1 当圆柱底面半径r 取何值时, S取得最大值？并求出该0.3米时,求图中两根最大值（结果精确到0.01 平方米） ; （2）在灯笼内,以矩形骨架的顶点为点,安装一些霓虹灯,当灯笼的底面半径为直线A B 与A B 所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）【命题立意】此题是个应用题,主要考查同学分析问题、解决问题的才能,涉及函数求最值,立体几何中求角等问题【思路点拨】 （1）建立 S 关于 r 的函数,依据函数的性质求最值；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 26 页精选学习资料 - -
32、 - - - - - - - （2）按求异面直线所成的角的步骤进行【规范解答】（1）设圆柱形灯笼的高为h ,就 44r2 h9.6,所以h1 .2 rB7B6B5 B4所以SS 底S 侧r22rhr22r.22 2.4r3r20r0.6B8r224.30.4B1B2B3所以,当r22 .430.4时 S 有最大值A8A7A6最大值为2.40.430.421.51（平方米）A1A2A3A5 A4（2）由（ 1）r0.3时,h0.6, 如图,连接A A B B 7,B B ,RtA 1A3B3中可易得A A 3B B 7B B ,且相互平行,所以四边形A A B B 为平行四边形,所以A B A
33、B ,且A B 5A B ,所以B A B 为异面直线A B 与A B 所成的角,得A 1A 30 3.2,A 3B30 6.,所以A 1B30 3.6；同理可得A 1B703.6；在B3A 1B 7中,A1B30.36,A1B70.36,B3B70 .6,由余弦定理 , 可得cosB3A 1B 7A 1B 32A 1B 72B3B 72.0 3620 3.626.022,2 A 1B3A 1B 720 3.623所以B3A 1B7arccos2异面直线A B 与A B 所成的角为arccos233【方法技巧】求异面直线所成的角按如下步骤进行: （1）作角：通过作帮助线,作出或找到异面直线所成
34、的角；（2）证明：由异面直线所成的角的定义证明前面所作的角是满意条件的角；（3）指角：指明前面作（找）的角就是所求的角（这里仅一句话即可）；（4）求角：在三角形中求出这个角的大小名师归纳总结 16. （ 2022 湖 北 高 考 理 科 18 ） 如 图 , 在 四 面 体 ABOC 中 , OCOA, 第 12 页,共 26 页OCOB ,AOB1200,且 OAOBOC1. 设 P 为 AC 的中点 . 证明：在 AB 上存在一点 Q , 使 PQOA , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 并运算AB的值；AQ 求二面角 OACB的平面角的余弦值.
35、 【命题立意】此题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的求法等,同时考查考生的空间想象才能、推理论证才能、运算求解才能【思路点拨】 由 OC 面 OAB , 利用三垂线定理在 AB 上找一点 N ,使 CN OA,过 P 作 PQ NC ,交 AB 上一点即为所求的点 Q ；在 AOB 中即可运算 AB 的值；AQ 由 利用三垂线法做出二面角 O AC B 的平面角, 再解直角三角形求出二面角 O AC B 的平面角的余弦值； 也可利用空间向量求解 【规范解答】方法一 : 在平面 OAB 内过 O 点作 ON OA交 AB 于 N , 连接NC ； OC OA, OA 平面 ONC
36、 . NC 平面 ONC , OA NC . 取 Q 为 AN 的中点,就 PQ NC , PQ OA . 0 0在等腰 AOB 中,AOB 120 , OAB OBA 30 , 在 Rt AON中,OAN 30 0, ON 1AN AQ , 在 ONB中,20 0 0 ABNOB 120 90 30 NBO , NB ON AQ , 3 . AQ 连接 PN PO P. 由 OC OA OC OB 知：OC 平面 OAB . 又 ON 平面 OAB, OC ON .由 ON OA知：ON 平面 AOC . OP是NP在平面AOC内的射影；在等腰直角 AOC中,P为AC的中点,AC OP ；由三垂线定理知：AC NP ；