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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第 44 课 基本不等式 考试目标主词填空ab 为 a,b 的几何平均值 . 1如 a,bR,就 a 2+b22ab,当且仅当 a=b 时取等号 .2设 a,bR+ ,就称a2b为 a,b 的算术平均值；称3a2bab当且仅当a=b 时取等号 为原形 . . 变形有 :a+b 2ab；aba2b2,当且仅当 a=b 时取等号 .4利用平均值不等式求最大最小值,是对“ 能取等号” 而言的.要留意不能取等号的情形5名师归纳总结 假如 a,bR+ ,ab=P 定值 ,当且仅当 a=b 时 ,a+b 有最小值2P;, . 第 1 页,
2、共 6 页假如 a,bR+ ,且 a+b=S 定值 ,当且仅当 a=b 时,ab 有最大值S2. 4 题型示例点津归纳【例 1】设 x 2,5,求以下函数的最值.1y=3+2 x6-x; 2y=3+2 x4-x;3y=4x-92 x+1+80;4y=2 x27.x6【解前点津】1 因 3+2x=12-2x 时,x=9 2,5,故可直接应用平均值不等式 4; 2因 3+2x=8-2 x 时 ,x=5 但 54 42 x-10; 2,5故不能使用平均值不等式; 3可分解为 y=2x-84因方程x26x16无根 ,故不能使用平均值不等式,而考虑其“ 单调性”2【规范解答】1 y=3+2 x 6-x=
3、1 23+2 x12-2x 1 21 3+2 x+12-2 x42=225,当且仅当 3+2x=12-2x,即 x= 4 9 时,ymax=22588又 x=2 时,y=28; x=5 时,y=130,应确定为圆形地皮.41616【解后归纳】在一切封闭平面图形中,如周长肯定,就只有圆的面积最大.【例 3】如正数 a、b 满意 aba+b +3,试求 a+b 的取值范畴 . 【解前点津】设 a+b=x ,利用平均值不等式,可推导出一个关于x 的不等式 . 【规范解答】设 a+b=x ,就 x0,abx+3,又 aba2b2=x2,故由不等式的传递性得4x2x+3,解之 x6,故 a+b 的取值范
4、畴是6,+ .4【解后归纳】求某表达式的取值范畴,常可使用“ 换元法”,从而达到等价转化的目的. 【例 4】已知 :x、y、zR+ ,且满意 x+y+z =1,求149的取值范畴 . xyz【解前点津】不具备用平均值不等式的条件,但是1+mx,4my,9mzm0,就可用xyz- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载等价变形,构造使用平均值不等式的条件可求范畴 .【规范解答】 x+y+z =1,引入参数 m0,mx+my+mz=m149它xyz=1+mx+ 4my9mz -m2m +4m+6m-m=12m -m. xyz当且仅当1=mx 且4
5、=my 且9=mz,即 x=1,且 y=2且 z=3时取等号 .xyzmmm代入 x+y+z =1 得 : 1+2+3=1.解之 m=36. mmm12m -m=1236 -36=36. 综上所述可知 :149的取值范畴是36,+. xyz【解后归纳】为了使用平均值不等式,可引入一个参数,构造一个含有参数的不等式,能运用平均值不等式,使运算能进行下去,最终,依据相等的条件,可解出参数的值. 对应训练分阶提升一、基础夯实名师归纳总结 1.已知 x,yR,且 2x2+y 2-4x0,就 第 3 页,共 6 页A. y 24xB.y 20,-cd,bcad,以其中两个作条件,余下一个作结论,可以组成
6、正ab确命题的个数是 A. 0 B.1 C.2 D.3.对于 x 0,1的一切值,就a+2b0 是使 ax+b0 恒成立的 A. 充分不必要条件B.C.充要条件D.既不充分又不必要条件.某工厂第一年的产量为A,其次年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,就有 A. x=1a+b B.x1a+b22C.x1a+b D.x1a+b22.如不等式 x+2xy ax+y对一切正数x,y 恒成立,就正数a 的最小值为 A.1 .建造一个容积为B.2 C. 2 1D.2 2 +128 m 3,深为 2 m 的长方体无盖水池,假如池底和池壁的造价每平方米分别为 180 元和 80 元,那
7、么水池的最低总造价为 元.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.1000 B.1500 精品资料欢迎下载D.2500C.2000 .设 x,y 是满意 2x+y=20 的正数 ,就 lg x+lg y 的最大值是 P2,第 P 的最大A.50 B.2 C.1+lg5 D.1 8.已知正数 a,b 满意 ab=a+b+5,就 ab 的取值范畴是 A. 7+6 ,+ B.7-6 ,+ C.7+26 ,+ D. 7-26 ,+二、思维激活y 的最小值是. 9.点 Px,y是直线 x+3y-2=0 上的动点 ,就代数式 3 x+2710.假如 |x|4,就函数
8、 fx=cos 2x+sin x 的最大值是. 11.假如圆柱轴截面的周长L 的定值,就圆柱体积的最大值为. 12.某厂年产值其次年比第一年增长的百分率为P1,第三年比其次年增长的百分率为四年比第三年增长的百分率为P3,如 P1+P2+P3 为定值,就年平均增长率的百分率值为. 三、才能提高13.已知 2b+ab+a=30 a0,b0,求 y= 1 的最小值 . ab x 5 x 2 14.求函数 y= x-1的值域 . x 115.已知 :ab0,求a3ba2b22196的最小值 . abb16.甲、乙两地相距s 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c 千米时,已知名师归纳总结 汽车
9、每小时的运输成本以元为单位 由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度;v千米第 4 页,共 6 页时的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a 元. 1把全程运输成本y元表示为速度v千米时 的函数,并指出该函数的定义域2为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第 2 课 基本不等式习题解答名师归纳总结 1.D 因 2x24x-y 2 成立 ,故必有 4x-y 2 0 即 y24x. 第 5 页,共 6 页2.D 可逐一检验 . .B,x=0 时,b0,x=1 时,a+b0a+2b0. .B1+x
10、2=1+a1+b1+a2b 2. .B由 条 件 :2xy a-1x+ay恒 成 立 , 而 a-1x+ay 2a a1xy, 令2xy =2a a1xy,aa-1=2, a=2. .Cx m, 总 造 价 为y 元 , 就 池 底 的 邻 边 之 长 为4m, 由 条 件x得:y=180x4+8022x+8=720+320 x+4720+3202x4=2000. xxxx7.Clgx+lg y=lg xy=lgx20-2x=lg 2x10-x lg 2x10x2=lg50=1+lg5. 28.Cab=a+b+52ab +5,得ab2-2ab 5ab -126ab7+26. 9.3x+27y=
11、32-3y+33y2323y3 3y=6,故最小值为6. 10.fx=1-sin2x+sinx=1+sinx1-sin x1+1 2=5.2411. 因4R+2h=L为 定 值 , 故V柱 = R 2 h= 2R 2R 2h 1 882 R2 R2 h3=8L 3=1 L3 为所求最大值 . 3321612.由题意 :1+P11+P21+P3=1+x 3,1+x 3P 1P 2P 313, 3x1P1+P2+P3,故 P 的最大值为1P1+P2+P3. 3313.2b+ab+a=30,30 ab+22 ab ,-52ab 32 ,当且仅当a=2b 时,取等号,解方程组a2 ba30得 a=6
12、且 b=3ymin=1.2 bab1814.x-1,x+10,令 m=x+1,就 m0 且 y=m4m1m45 2m4+5=9, 当mmm- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载且仅当 m=2 时取等号 ,故 ymin=9. 又当 m时 ,y ,故原函数的值域是9,+. 3 2 2 2a b a b 196 a b a b 196 2 19615.ab0,a-b0,故 2 a . ab b b a b b a b 2 2而 ba-b= b a b 2b a b= a当且仅当 b=a-b 即 2b=a 时取等号 . 2 42故 ba-b有最大
13、值 a.4故原式 =a 2+ 196a 2+ 1962 42 a 2 1962 4=56. b a b a a当且仅当 a 2= 1962 4,2b=a,即 a=2 7 b 7 时取等号 . a故原式的最小值为 56. 16.1 由 条 件 知 : 汽 车 从 甲 地 匀 速 行 驶 到 乙 地 所 用 的 时 间 为 s v, 全 程 运 输 成 本 为y=as+bv 2s=s a+bv,故所求函数及定义域为 :y=s a+bv,v0,c.v v v v2因 s、a、 b、v 都为正数,故有 s a +bv2sab ,当且仅当 a =bv,即 v= a 时取等v v b号. 名师归纳总结 如a c,就当 v= ba 时,全程运输成本 by 最小 ;s c-v a-bcv. vc第 6 页,共 6 页如ac,当 v0,c时,有 s a+bv-s a+bc=sa11+bv-c=bvcvc由于 c-v0 且 abc2,故 a-bcva-bc20. 所以 sabvsabc. vca;当ac 时,当且仅当 v=c 时等号成立,也即v=c 时,全程运输成本y 最小 ;综上所述知：为使全程运输成本y 最小 ,当a c 时,行驶速度应为 bv=bb行驶速度应为v=c. - - - - - - -