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1、学习必备欢迎下载全方位教学辅导教案学科：数学任课教师：授课时间： 2012 年 11 月 3 日星期姓名性 别女年 级高二总课时：第次课教学内容均值不等式应用（技巧）教学目标1、熟悉均值不等式的应用题型2、掌握各种求最值的方法重点难点重点是掌握最值应用的方法难点是不等式条件的应用教学过程课 前检 查与 交流作业完成情况：交流与沟通针对性授课一均值不等式1. （1） 若Rba,， 则abba222(2)若Rba,， 则222baab（当且仅当ba时取“ =” ）2. (1) 若*,Rba，则abba2 (2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“ =”）(3) 若*,Rba，则22baa
2、b (当且仅当ba时取“ =”）3. 若0 x，则12xx ( 当且仅当1x时取“ =”）; 若0 x，则12xx ( 当且仅当1x时取“ =”）若0 x，则11122-2xxxxxx即或 (当且仅当ba时取“ =”）3. 若0ab，则2abba (当且仅当ba时取“ =”）若0ab，则22-2abababbababa即或 (当且仅当ba时取“ =”）4. 若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba时取“ =”）注：（ 1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（ 2）求最值的条件“一正，二定，三
3、取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载应用一：求最值例 1：求下列函数的值域（1） y3x 212x 2（2） yx1x解题技巧：技巧一：凑项例 1：(2)12,33yxxx。变式：已知54x，求函数14245yxx的最大值。技巧二：凑系数例 1. 当时，求(82 )yxx的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82 )8xx为定
4、值，故只需将(82 )yxx凑上一个系数即可。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式： 1、设230 x，求函数)23(4xxy的最大值。并求此时x的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载2已知01x，求函数(1)yxx的最大值 .；3203x，求函数(2 3 )yxx的最大值 . 技巧三： 分离例 3. 求2710(1)1xxyxx的值域。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)
5、7(1 +10544=5ttttytttt）当,即 t=时,4259ytt（当 t=2 即 x1 时取“”号） 。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为( )(0,0)( )Aymg xB ABg x，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。变式(1) 231,(0)xxyxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载技巧五： 注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数( )af xxx的单调性。例：求函数22
6、54xyx的值域。解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增， 所以在其子区间2,为单调递增函数， 故52y。所以，所求函数的值域为5,2。条件求最值1. 若实数满足2ba，则ba33的最小值是 . 变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值 .并求 x,y 的值技巧六：整体代换：2：已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。变式：（1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值(2)已知Ryxba,且1ybxa，求yx的最小值精选学习资料 - - -
7、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载技巧七 、已知 x，y 为正实数，且x 2y 221，求 x1y2的最大值 . 技巧八：已知a，b为正实数， 2baba30，求函数y1ab的最小值 . 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。点评： 本题考查不等式abba2）（Rba,的应用、
8、 不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式abba2）（Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围 .变式： 1.已知 a0，b0，ab(ab) 1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载技巧九、取平方5、已知 x，y 为正实数， 3x2y10，求函数W3x 2y 的最值 . 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a
9、 b2a 2b 22，本题很简单3x 2y2 （3x ）2（2y ）22 3x2y 25 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W 0，W23x2y23x 2y 10 2 3x 2y 10(3x )2(2y )2 10(3x2y)20 W20 2 5 变式 : 求函数152152 ()22yxxx的最大值。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应应用二：利用均值不等式证明
10、不等式例 6：已知 a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc变式：1已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba2222、正数 a，b，c 满足 abc 1，求证： (1a)(1b)(1c)8abc应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。解：令,0,0,xyk xy191xy，991.xyxykxky1091yxkkxky10312kk。16k，,16m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载课堂检测1：添加项【例
11、1】已知23x，求322xxy的最小值 . 2: 配系数【例 2】已知230 x，求)23(xxy的最大值 . 3: 分拆项【例 3】已知2x，求2632xxxy的最小值 . 4: 巧用” 1”代换【例 4】已知正数yx,满足12yx, 求yx21的最小值 . . 【例 5】已知正数zyx,满足1zyx，求zyx941的最小值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载5: 换元【例 6】已知cba, 求cbcabacaw的最小值 . 【例 7】已知1x, 求8512xxxy的最大值 . 7: 直接运用
12、化为其它【例 9】已知正数ba,满足3baab, 求ab的取值范围 . 课后作业1、（ 1）、已知0 x，0y，满足21xy，求11xy的最值；（2）、若0 x，0y，且281xy，求xy的最值；（3）、若 -4x1,求22222xxx的最大值 . 2 、 函 数f(x)=242xx(x 0) 的 最 大 值 是； 此 时 的x值 为_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载3、（2010 山东理）若对任意0 x，231xaxx恒成立，则a的取值范围是4 、 若 点( 2, 1)A在 直 线10mxny上
13、 ， 其 中0mn, 则nm21的 最 小 值为 . 5、（ 1）、已知x+3y-2=0 ，则 3x+27y+1的最小值为 . （2）、若 x,y (0,+ ) 且 2x+8y-xy=0 ，求 x+y 的最小值 . 6、已知两个正数,a b满足4ab，求使28mab恒成立的m的范围 . 7函数y=loga(x+3) 1(a0,a 1)的图象恒过定点A，若点 A在直线 mx+ny+1=0上，其中mn0，求nm11的最小值为。8 (20XX 年合肥模拟 )已知 x1 x2 x2009 x20101， 且 x1， x2， ， x2009， x2010都是正数，则()1 x1()1 x2()1x201
14、0的最小值是 _9已知直线l 过点 P(2,1)，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于A、B 两点， O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载10 (20XX 年江苏卷改编)若 x、y、zR，x2y3z0，求y2xz的最小值11已知 A(0,9) B(0,16) 是 y 轴正半轴上的两点，C(x,0) 是 x 轴上任意一点，求当点C在何位置时，ACB最大？12. 已知不等式1()()9axyxy对任意正实数, x y恒成立，则正实数a的最小值为签 字教研组长：教学主任：学生：教务老师：家长：老 师课 后评 价学生的状况、接受情况和配合程度：给家长的建议： TA-65 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页