7.1.2 复数的几何意义(解析版).docx

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1、 7.1.2复数的几何意义导学案编写:廖云波 初审:孙锐 终审:孙锐 廖云波【学习目标】1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数,及它们之间的一一对应关系2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.【自主学习】知识点1复平面的概念和复数的几何意义1.复平面的概念根据复数相等的定义,任何一个复数zabi,都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应,所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数zabi可用点Z(a,b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面

2、叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.因此,复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即复数zabi复平面内的点Z(a,b),这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复数是一一对应的.这样,我们还可以用平面向量来表示复数.如图所示,设复平面内的点Z表示复数zabi,连接OZ,显然向量由点Z

3、唯一确定;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此,复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即复数zabi平面向量,这是复数的另一种几何意义.知识点2复数的模1.如图所示,向量的模r叫做复数zabi(a,bR)的模,记作|z|或|abi|.如果b0,那么zabi是一个实数a,它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知:|z|abi|r(r0,rR).2.复数的模的性质,设z1,z2是任意两个复数,则(1)|z1z2|z1|z2|,(|z2|0)(复数的乘、除法将在下节学习到).(2)|z|z1|n(nN*).(3)|z1z2|z1|z2|

4、,等号成立的条件是:当|z1z2|z1|z2|时,即z1,z2所对应的向量同向共线;当|z1|z2|z1z2|时,即z1,z2所对应的向量反向共线.(4)|z1|z2|z1z2|z1|z2|,等号成立的条件是:当|z1z2|z1|z2|时,即z1,z2所对应的向量反向共线;当|z1|z2|z1z2|时,即z1,z2所对应的向量同向共线. 【合作探究】探究一 复数与复平面内的点【例1】在复平面内,若复数z(m22m8)(m23m10)i对应的点:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在第二、四象限;(4)在直线yx上,分别求实数m的取值范围.解复数z(m22m8)(m23m10)i的实部为m2

5、2m8,虚部为m23m10.(1)由题意得m22m80.解得m2或m4.(2)由题意,2m4.(3)由题意,(m22m8)(m23m10)0,2m4或5m0,得m5,所以当m5时,复数z对应的点在x轴上方.(2)由(m25m6)(m22m15)40,得m1或m,所以当m1或m时,复数z对应的点在直线xy40上.探究二 复数的模的几何意义【例2】设zC,在复平面内对应点Z,试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|2;(2)1|z|2.解(1)方法一|z|2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2,这样的点Z的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆.方法二设zabi,由|z|2,得

6、a2b24.故点Z对应的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆. (2)不等式1|z|2可以转化为不等式组不等式|z|2的解集是圆|z|2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|1的解集是圆|z|1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集,就是满足条件1|z|2的点的集合.如图中的阴影部分,所求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界.归纳总结:【练习2】若复数z满足|zi|(i为虚数单位),则z在复平面所对应的图形的面积为 .答案2解析设zxyi(x,yR),则zixyiix(y1)i,|zi|,由|zi|知,x2(y1)22.复数z对应的点(x,y)构成以(0,1)

7、为圆心,为半径的圆面(含边界),所求图形的面积为S2.故填2.探究三 复数的模及其应用【例3】已知复数z3ai,且|z|4,求实数a的取值范围.解方法一z3ai(aR),|z|,由已知得32a242,a27,a(,).方法二利用复数的几何意义,由|z|4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界),由z3ai知z对应的点在直线x3上,所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知:a.归纳总结:【练习3】已知复数|z|1,求复数34iz的模的最大值及最小值.解令34iz,则z(34i).|z|1,|(34i)|1,复数在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心,1

8、为半径的圆,如图,容易看出,圆上的点A所对应的复数A的模最大,为16;圆上的点B所对应的复数B的模最小,为14,复数34iz的模的最大值和最小值分别为6和4.课后作业A组 基础题一、选择题1.设x34i,则复数zx|x|(1i)在复平面上的对应点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析x34i,|x|5,z34i5(1i)(351)(41)i35i.复数z在复平面上的对应点在第二象限.2.当m1时,复数z(3m2)(m1)i在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析复数z在复平面内对应的点为Z(3m2,m1).由m0,m

9、10.所以点Z位于第四象限.故选D.3.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为12i,若点A关于直线yx的对称点为B,则向量对应的复数为()A.2i B.2iC.12i D.12i答案B解析A(1,2)关于直线yx的对称点B(2,1),向量对应的复数为2i.4.已知复数z满足|z|22|z|30,则复数z对应点的轨迹是()A.1个圆 B.线段C.2个点 D.2个圆答案A解析由题意可知(|z|3)(|z|1)0,即|z|3或|z|1.|z|0,|z|3.复数z对应的轨迹是1个圆.5.在复平面内,复数zi2i2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析zi2i2

10、2i,实部小于0,虚部大于0,故复数z对应的点位于第二象限.6.在复平面内,复数65i,23i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A.48i B.82iC.24i D.4i答案C解析由题意知点A的坐标为(6,5),点B的坐标为(2,3).由中点坐标公式,得线段AB的中点C的坐标为(2,4),故点C对应的复数为24i.7.已知i为虚数单位,复数,则z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案:B【分析】根据三角函数的诱导公式,求得复数,结合复数的几何意义,即可求解.【详解】由即复数,所以复数对应的点为位于第二象限.故选:

11、B8.(多选题)下列命题中,正确的是( )A. 复数的模总是非负数B. 复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C. 如果复数z对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D. 相等的向量对应着相等的复数答案:ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项【详解】设复数,对于A,故A正确对于B,复数对应的向量为,且对于平面内以原点为起点的任一向量,其对应的复数为,故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应,故B正确对于B,复数对应的向量为,且对于平面内的任一向量,其对应的复数为,故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集

12、合中的元素是一一对应,故B正确对于C,如果复数对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限,故C错对于D,相等的向量的坐标一定是相同的,故它们对应的复数也相等,故D正确故选:ABD【点睛】本题考查复数的几何意义,注意复数对应的向量的坐标为,它与终点与起点的坐标的差有关,本题属于基础题二、填空题9.在复平面内表示复数z(m3)2i的点在直线yx上,则实数m的值为 .答案9解析z(m3)2i表示的点在直线yx上,m32,解得m9.10.复数z1a2i,z22i,如果|z1|z2|,那么实数a的取值范围是 .答案(1,1)解析因为|z1|,|z2|.又因|z1|z2|,所以,解得1

13、a1.11.若复数z5cos 4i(i为虚数单位,0)在复平面上的对应点在直线yx1上,则sin .答案解析复数z5cos 4i在复平面上的对应点在直线yx1上,45cos 1, 即cos .又0,sin .12.已知0a2,复数z的实部为a,虚部为1,则|z|的取值范围是 .答案(1,)解析由题意可知zai.根据复数的模的定义,得|z|,而0a2,故1|z|.13.复数zlog3ilog3 对应的点位于复平面内的第 象限.答案三解析log30,log3 0,zlog3ilog3 对应的点位于复平面内的第三象限.三、解答题14.已知z12(1i),且|z|1,求|zz1|的最大值.解如图所示,

14、因为|z|1,所以z的轨迹可看作是半径为1,圆心为(0,0)的圆,而z1对应坐标系中的点为Z1(2,2),所以|zz1|的最大值可以看成点(2,2)到圆上的点的最大距离,则|zz1|max21.15.设复数zlg(m22m14)(m2m6)i,求当实数m为何值时:(1)z为实数;(2)z对应的点位于复平面的第二象限.解(1)由题意得解得m3(m2舍去).故当m3时,z是实数.(2)由题意得即即得解得5m1.故当5m1时,z对应的点位于复平面内的第二象限.16.已知复数z在复平面内对应的点位于第四象限,且满足,其实部、虚部均为整数,记i为虚数单位.()求复数z;()当为纯虚数时,若,求实数m和n

15、的值.答案:()或.()【分析】()根据题意设复数,再利用,解得即可;()根据题意可得,则,代入整理可得实数和的值.【详解】()设,则,因为在复平面内对应的点位于第四象限,所以,所以或,即或.()当为纯虚数时,由()知,则由,得,所以,解得.【点睛】本题主要考查复数的代数表示,复数相等的条件,属于基础题.B组 能力提升一、选择题1.已知复数z满足,则的最小值为( )A. 2B. 1C. D. 答案:B【分析】复数方程转化成实数方程,再由复数模几何意义得表示与圆上任一点间距离【详解】设,由得,又表示定点与圆上任一点间距离则由几何意义得,故选:B【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义,考查了转

16、化思想,属于中档题2.已知复数z满足:,则的最大值为( )A. 2B. C. D. 3答案:B【分析】复数方程转化成实数方程,再由复数模定义表示与圆上任一点间距离【详解】解:设,由得圆的方程,又表示定点与圆上任一点间距离则由几何意义得,故选:B【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义,属于中档题3.已知复数,满足,则点的轨迹是( )A. 线段B. 圆C. 双曲线D. 椭圆答案:D【分析】根据复数模长的几何意义,结合椭圆的定义知,复数z对应的点在某一椭圆上【详解】复平面上,复数满足, 则对应的点到点,点的距离和为, 即, 复数对应的点在以为焦点,长轴长为的椭圆上 故选:D【点睛】本题考查了复数

17、的代数形式与模长几何意义应用问题,也考查了椭圆的定义应用问题,是基础题4.若,则复数(cos sin )(sin cos )i在复平面内所对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析,cos sin 0.选B.5.设A、B为锐角三角形的两个内角,则复数z(cos Btan A)tan Bi对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案B解析因A、B为锐角三角形的两个内角,所以AB,即AB,sin Acos B.cos Btan Acos Bcos Bsin A0,又tan B0,所以点(cos Btan A,tan B)在第二

18、象限,故选B.二、填空题6.设zlog2(m23m3)ilog2(m3)(mR),若z对应的点在直线x2y10上,则m的值是 .答案解析由题意知,复数zxyi(x,yR)的实部x和虚部y满足方程x2y10,故log2(m23m3)2log2(m3)10,则log21,m.m,m.7.若复数z满足(i为虚数单位),则 的最小值是_.答案:1分析:复数满足,设,利用复数的模的计算公式与三角函数求值即可求出详解:由复数满足,设,则,当且仅当时等号成立,所以的最小值为点睛:本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数的求解,着重考查了推理与运算能力,属于基础题8.已知复数,且,则的最大值为_答案

19、:【分析】根据复数z的几何意义以及的几何意义,由图象得出最大值.【详解】复数且,复数z的几何意义是复平面内以点为圆心,为半径的圆.的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知:即的最大值为.故答案为:【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用,属于中档题.9.已知复数z满足,则的最小值是_答案:3【分析】根据绝对值不等式,求出的最小值即可【详解】复数满足, , 的最小值是 故答案为3【点睛】本题主要考查了不等式的应用问题,也考查了复数的运算问题,是基础题目三、解答题10.已知z134i,|z|1,求|zz1|的最大值和最小值.解如图,|z|1表示复数z对应的点在以(0,0)为圆心,1为半径的圆上,而z1在坐标系中的对应点的坐标为(3,4),|zz1|可看作是点(3,4)到圆上的点的距离.由图可知,点(3,4)到圆心(即原点)的距离为5,故|zz1|max516,|zz1|min514.11.设全集UC,Az|z|1|1|z|,zC,Bz|z|1,zC,若zA(UB),求复数z在复平面内对应的点的轨迹.解zC,|z|R,1|z|R.|z|1|1|z|,1|z|0,即|z|1,Az|z|1,zC.又Bz|z|1,zC,UBz|z|1,zC.zA(UB),zA且zUB,|z|1.由复数的模的几何意义知,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆.

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