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1、2021-2022学年湖北省新高考联考协作体高二下学期期中数学试题一、单选题1已知函数，则（）A2B1CD【答案】C【分析】根据导数的定义，求得原式为，求出代入求解即可.【详解】，又，故选：C.2由数字0，1，2，3，4可组成多少个无重复数字的四位数奇数（）A18B36C54D72【答案】B【分析】分步计数：先确定末位数字，再确定首位数字，最后确定中间两位数字，由乘法原理可得【详解】末位可挑1和3两个数字，共两种情况，然后首位排除0后可挑3个数，中间两位共种排法，因此共种情况故选：B3函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是()ABCD【答案】B【分析】根据函数图像的增减性判断四个导数值的正负
2、，根据在四个点出函数图像切线斜率判断导数值的大小.【详解】由图可知，在x1和x2在f(x)的增区间内，故，且在x1处切线斜率大于在x2处切线斜率，即；x3和x4在f(x)的减区间内，故，且在x3出切线斜率比在x4处切线斜率大，即；综上，.故选：B.4数学上有很多著名的猜想，“角谷猜想”又称“冰雹猜想”就是其中之一，它是指任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421记正整数按照上述规则实施第次运算的结果为，若，则不可能为（）A64B10C5D8【答案】C【分析】根据“角谷猜想”进行逆推计算，由此可得结论【详解
3、】若6次步骤后变成1，则，或1，当时，或,则时， 时， ；当时，则 或8，所以的所有可能取值组成的集合为，不可能为5，故选：C ,5某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（）A150B300C450D225【答案】C【分析】先从后排6人中抽出两名同学，再利用倍缩法即可得出答案.【详解】解：先从后排6人中抽出两名同学，有种方法，然后与前排4人排列，有种排法，因为同学的相对顺序不变，则前排4人不要再排，所以共有种调整方法.故选：C.6已知，则（）A64BCD【
4、答案】D【分析】采用赋值法，可求得时，以及时，两式相加，再求得，可求得答案.【详解】令可得：，即,令，可得：，即，可得：，又令，可得，所以,故选：D7函数在区间上有最小值，则m的取值范围是()ABCD【答案】B【分析】根据f(x)的导数求f(x)的单调性和极值，作出f(x)简图，数形结合即可求m的范围.【详解】，易知在，单调递增，在单调递减，又，故f(x)图像如图：函数在区间上有最小值，则由图可知.故选：B.8已知函数，若对任意正数，都有恒成立，则实数a的取值范围（）ABCD【答案】C【分析】根据恒成立，得到在单调递增求解.【详解】解：不妨令，则，即在单调递增，因为，则在上恒成立，即，在上恒成
5、立，则，又，故选：C二、多选题9已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为2的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率可以是（）A2BCD3【答案】BCD【分析】由过点F且斜率为2的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则，即可求出离心率得范围，进而得出答案.【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可知：，故选：BCD.10我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051A由“在相邻的两行中，除1以外的
6、每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想：BC第7行中从左到右第5与第6个数的比为5：2D由“第n行所有数之和为2”猜想：【答案】ABD【分析】根据杨辉三角，利用组合数性质求解判断ABC.利用二项展开式的二项式系数判断D.【详解】由组合数性质2可知A正确；由组合数性质2得：，故B正确.第7行从左到右第5与第6个数的比为：，故C错误；，D正确故选：ABD11以下关于数列的结论正确的是（）A若数列的前n项和，则数列为等差数列B若数列的前n项和，则数列为等比数列C若数列满足，则数列为等差数列D若数列满足则数列为等比数列【答案】AC【分析】利用、等差数列和等比数列的知识求得正确答案.【详解】A，时，时，当
7、时，上式也符合，所以成立，A选项正确.B，时，时，所以，数列不是等不数列，B选项错误.C由等差中项定义知C选项成立；D若，则不成立，D选项错误.故选：AC12设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若区间上，则称函数在区间上为“凸函数”已知在上为“凸函数”则实数m的取值范围的一个必要不充分条件为（）ABCD【答案】AD【分析】先求出函数的二阶导函数，由“凸函数”的定义可得在上成立，整理不等式，可将问题转化为在上成立，再构造函数，利用导函数判断在的取值范围，即可得到充要条件，进而根据必要不充分条件与充要条件的关系得到答案.【详解】由题，若在上为“凸函数”，则在上成立，即，令，则，所以在上单
8、调递增，所以，所以，为充要条件，由选项可知，必要不充分条件可以是：或，故选：AD.三、填空题13若函数满足，则_【答案】【分析】求出导函数，证明其为奇函数，由奇函数性质计算【详解】，易知则为奇函数，则故答案为：14已知函数为函数的导函数，若对任意恒成立，则整数k的最大值为_【答案】3【分析】先求得函数的导函数，转化问题为对恒成立，即求在时的最大值，令，构造函数，则再将问题转化为求在时的最大值，借助导函数判断的单调性，进而求解.【详解】由题，因为，对恒成立，则对恒成立，令，则对恒成立，令，则，令，则当时，所以在上单调递增，又，当，则，此时单调递减；当，则，此时单调递增，则，又，代入，则整数.故答
9、案为：3四、双空题15将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共_种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共_种放法（结果用数字作答）【答案】 240 56【分析】5个不同的球按个数1，1，1，2分成四组，放入4个不同盒子可得第一空答案；第二空由于5个球相同，不同放法只是球的个数不同，因此可先借4个球，相当于9个球，用隔板法分成四组后放入盒子，用组合数定义可得【详解】5个不同小球分成4组，每组个数分别为1，1，1，2，不同的分组情况有种方法，再将4组球放入4个不同盒子，共种方法.5个相同小球放入4个盒子，若允许有空盒子，可先借4个小球，共9个小球
10、，再用隔板法分成4组放入盒子，共种方法故答案为：240；56五、解答题16设抛物线C的方程为，直线l过其焦点F与抛物线C交于点A、B两点，若，则线段的长为_【答案】9【分析】设，设方程为，代入抛物线方程得，应用韦达定理得，从而可得，由及焦半径公式可得，与结合可解得，然后可得弦长【详解】抛物线标准方程为，焦点为，斜率显然存在，设，设方程为，代入抛物线方程得：，所以，所以，所以，由联立可解得，所以，故答案为：917若是函数的极大值点(1)求a的值；(2)求函数在区间上的最值【答案】(1)(2)，【分析】（1）由求得的值.（2）结合函数的单调性来求得函数在区间上的最值.【详解】(1)，由题意知或时，
11、在区间递增；在区间递减，是的极大值点，符合题意.时，在区间递增；在区间递减，是的极小值点，不符合题意.则.(2)由（1）知，且在，单调递增，在单调递减，又，则，.18根据上级要求，某市人民医院要选出呼吸，护理，心理治疗方面的专家支援X城市抗疫，该院有3名呼吸专家，4名护理专家，2名心理专家，(1)从中选出4人组成支援团，求4人中至少有1名心理专家的概率；(2)从中选出4人组成支援团，求呼吸，护理，心理专家都有的概率【答案】(1)(2)【分析】（1）设4人中至少有一名心理专家为事件A，利用古典概型的概率公式即可求解；（2）记呼吸、护理、心理专家都有为事件B，利用古典概型的概率公式即可求解.【详解
12、】(1)设4人中至少有一名心理专家为事件A，从该院9名医生中选4人共种选法，支援团中没有心理专家共种选法，(2)记呼吸、护理、心理专家都有为事件B，当呼吸、护理专家各一名，心理专家两名时，共种选法；当护理、心理专家各一名，呼吸专家两名时，共种选法；当呼吸、心理专家各一名，护理专家两名时，共种选法，19已知等差数列的首项，公差，且，成等比数列(1)求数列的通项公式；(2)设，问是否存在最大的正整数m，使得对任意正整数n均有总成立？若存在求出m；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）利用等比数列列式求出公差d，写出数列的通项公式作答.（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求
13、出，然后判断单调性计算作答.【详解】(1)在等差数列中，公差，由，成等比数列，得，即，而，解得，则，所以数列的通项公式是：.(2)由（1）知，则有，因，则数列单调递增，因对任意正整数n均有成立，于是得，解得，而，则，所以存在最大的正整数，使得对任意正整数n均有总成立.20已知的展开式的各项的二项式系数之和为64，求：(1)n的值；(2)的展开式中的有理项：(3)的展开式中系数最大的项【答案】(1)6(2)，(3)【分析】（1）由二项式系数性质求得值；（2）写出二展开式通项公式，由的指数是整数得有理项，依次计算可得；（3）设第项系数最大，解不等式组得值，然后由展开式通项公式计算【详解】(1)由题
14、意可知，所以(2)的展开式的通项为，1，2，6令，则或或或所以的展开式的有理项为：，(3)设第项系数最大，则，解得又，展开式中系数最大的项为第3项，且21已知椭圆C：过点，焦距为2(1)求椭圆C的标准方程：(2)设M，N为椭圆上异于上、下顶点的两个不同的动点，若直线AM、AN的斜率之积为1，求证：直线MN过定点【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）结合列方程组解得得椭圆方程；（2）设直线MN方程为，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，计算，计算直线AM、AN的斜率之积由积为1得出的关系，由此关系可得直线所过定点【详解】(1)由题意可知得椭圆方程为：(2)设直线MN方程为，联立可得，则化
15、简得：或（舍）直线MN方程为即直线MN过定点22已知函数在处切线与直线垂直(1)求的单调区间；(2)若有两零点，求证【答案】(1)的单调区间为和(2)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求出参数，再根据导数的符合即可求出函数的单调区间；（2）由（1）知，要证成立则只需证，即，由为两零点，求得，令，构造函数，利用导数证明函数即可得证.【详解】(1)解：，因为函数在处切线与直线垂直，所以，解得，所以，令，则，令，则，所以在单调递减，单调递增，所以的单调区间为和；(2)证明：由（1）知，又在单调递增，要证成立则只需证，即，由为两零点，得，两式相减得，则，故，令，则，要证即证，构造函数，在上单调递增，故，即，又，即成立，所以.【点睛】本题考查了导数的几何意义和利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式问题，考查了转化思想和数据分析能力，有一定的难度.第 16 页 共 16 页