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1、2021-2022学年广西北流市高级中学高二3月月考数学（文）试题一、单选题1极坐标系中，点到极轴和极点的距离分别为（）ABCD【答案】C【解析】根据极坐标的定义求解.【详解】点到极轴的距离，到极点的距离.故选：C2已知r1表示变量X与Y之间的线性相关系数，r2表示变量U与V之间的线性相关系数，且r10.837，r20.957，则（）A变量X与Y之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性B变量X与Y之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性C变量U与V之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性D变量U与V之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关
2、性弱于U与V之间的相关性【答案】C【分析】根据线性相关系数|r|越接近1，表示两个变量之间的相关性越强，线性相关系数r的正负表示两个变量之间呈正相关关系或负相关关系.【详解】因为线性相关系数r10.837，r20.957，所以变量X与Y之间呈正相关关系，变量U与V之间呈负相关关系，X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性.故选：C3已知i是虚数单位，复数z=，则复数z的虚部为（）AiB-iC1D-1【答案】C【分析】先通过复数的除法运算求出z，进而求出虚部.【详解】由题意，则z的虚部为1.故选：C.4在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程变换为椭圆方程，此伸缩变换公式是ABCD【答案】B【分
3、析】通过对比曲线方程中横纵坐标之间的关系即可得到伸缩变换公式.【详解】在曲线即上任意取一点P(x,y)，在伸缩变换后，得到椭圆上对应的点，可得 ,即伸缩变换公式为，故选B【点睛】本题考查曲线的伸缩变换公式，属于基础题，解题关键是区分清楚新旧两个坐标的对应关系.5设是虚数单位，若复数，则（）ABCD【答案】C【解析】由已知条件求出复数，利用复数的模的公式可求得.【详解】，因此，.故选：C.6下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）ABCD【答案】D【分析】分别判断选项的奇偶性和极值即可得到答案.【详解】对选项A，为增函数，不存在极值，故A错误.对选项B，定义域为，为非奇非偶函数，故B错误.对选项
4、C，所以不是奇函数，故C错误.对选项D，定义域为，所以为奇函数，.所以当在，为增函数，在，为减函数，故当为函数取得极值.故选：D【点睛】本题主要考查函数的极值，同时考查函数的奇偶性，属于简单题.7利用反证法证明“若，则a，b，c中至少有一个数不小于1”正确的假设为Aa，b，c中至多有一个数大于1Ba，b，c中至多有一个数小于1Ca，b，c中至少有一个数大于1Da，b，c中都小于1【答案】D【解析】否定原命题的结论可得结果.【详解】“若，则a，b，c中至少有一个数不小于1”的否定为：a，b，c都小于1，故选：D8为庆祝中国共产党成立100周年，某学校组织“红心向党”歌咏比赛，前三名被甲、乙、丙获
5、得下面三个结论：“甲为第一名，乙不是第一名，丙不是第三名”中只有一个正确，由此可推得获得第一、二、三名的依次是（）A甲、乙、丙B乙、丙、甲C丙、甲、乙D乙、甲、丙【答案】B【分析】分别假设甲为第一名为正确的、乙不是第一名为正确的、丙不是第三名为正确的三种情况，结合题意分析，即可得答案.【详解】若甲为第一名为正确的，则乙不是第一名也正确，不符合题意；若乙不是第一名为正确的，则甲为第一名为错误的，所以丙为第一名，此时丙不是第三名也是正确的，不符合题意，若丙不是第三名为正确的，则甲为第一名为错误的，乙不是第一名为错误的，所以乙为第一名，丙为第二名，甲为第三名，符合题意，故选：B9已知椭圆的离心率为椭
6、圆上的一个动点，则与定点连线距离的最大值为ABCD【答案】D【分析】利用椭圆的离心率求出a，然后设出P点坐标，利用两点间距离公式，转为求解最值即可【详解】椭圆的离心率，可得：，解得a=，椭圆方程为设P，则P与定点连线距离为 ，当时，取得最大值3故选D【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆简单的几何性质，考查含的二次函数求最值问题,属于基础题.10若函数在上的最大值是4，则（）A0BC9D【答案】B【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而得到函数的最大值，即可求出参数的值；【详解】解：因为，所以.当时，即在上单调递增；当时，即在上单调递减.所以在上的最大值是，解得.故选：B1
7、1魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在九章算术方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“”代表无限次重复，设，则可以利用方程求得，类似地可得到正数（）A2B3CD【答案】A【解析】设，则，解方程可得结果.【详解】设，则且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故选：A【点睛】关键点点睛：设是解题关键.12若函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】求出函数的单调减区间，然后令，由此构造不等式组求解即可.【详解】解：因为函数，所以，且，由得，解得.在区间
8、，上单调递减，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用函数单调区间求参数的范围，是中档题.二、填空题13若则P，Q的大小关系_（用“”，“”，“”连接两者的大小关系）【答案】【分析】通过平方的方法来判断的大小关系.【详解】依题意可知，所以，所以.故答案为：14已知复数（i为虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则_.【答案】1【解析】的共轭复数是实系数一元二次方程的一个根，利用一元二次方程的根与系数的关系求、.【详解】解:因为是实系数一元二次方程的一个根，所以是实系数一元二次方程的一个根，所以，因此.故答案为：1.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题.15已知点A是曲线上任
9、意一点，则点A到直线的距离的最小值是_【答案】【分析】求得曲线、直线的直角坐标方程，利用点到直线距离公式，结合圆的几何性质求得正确答案.【详解】曲线，化为直角坐标方程为，圆心为，半径为，直线，化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线的最小距离为，即点A到直线的最小距离为故答案为：16以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则_【答案】【分析】将回归方程化为，再与模型比较系数，即可得到答案.【详解】由，得，所以.故答案为：.三、解答题17从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得.（1）求家庭的
10、月储蓄y对月收入x的线性回归方程；（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程中，其中，为样本平均值.【答案】（1）0.3x0.4；（2）正相关；（3）1.7(千元).【分析】（1）由题意得到n10，求得，进而求得，写出回归方程；.（2）由判断；（3）将x7代入回归方程求解.【详解】（1）由题意知n10，则，所以所求回归方程为0.3x0.4.（2）因为，所以变量y的值随x的值增加而增加，故x与y之间是正相关.（3）将x7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为0.370.41.7(千元).18在直角坐标系中，圆C的直角坐标方
11、程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）写出圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为()与圆交于两点，求的面积.【答案】（1） （2）【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解圆的极坐标方程；（2）由圆的方程，求得圆心的极坐标为，联立方程组，解得交点的极坐标，再利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由圆的方程，可得，又由，代入可得，所以，即圆的极坐标方程为.（2）由圆的方程，可得圆心坐标为，极坐标为，联立方程组，解得交点的极坐标为，所以，所以的面积为.【点睛】本题主要考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，其中解答总熟记直角坐
12、标与极坐标的互化公式，以及合理利用利用曲线的极坐标方程和三角形的面积公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19奶茶是年轻人非常喜欢的饮品某机构对于奶茶的消费情况在一商圈附近做了一些调查，发现女性喜欢奶茶的人数明显高于男性，每月喝奶茶的次数也比男性高，但单次奶茶消费金额男性似乎明显高于女性针对每月奶茶消费是否超过百元进行调查，已知在调查的人中女性人数是男性人数的倍，统计如下：超过百元未超过百元合计男女合计（1）完成如上列联表，并说明是否有的把握认为月消费奶茶超过百元与性别有关？（2）在月消费超百元的调查者中，同时进行对于品牌喜好的调查发现喜欢品牌的男女均为人，现从喜欢品牌的
13、这人中抽取人送纪念品，求这两人恰好都是女性的概率附：.【答案】（1）表格见解析，有；（2）.【分析】（1）设男性每月奶茶消费未超过百元的人数为，根据题中条件得出关于的方程，解出的值，进而可完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）设喜欢品牌的女性为、，男性为、，利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“这两人恰好都是女性”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）设男性每月奶茶消费未超过百元的人数为，则，超过百元未超过百元合计男女合计的观测值，因此，有的把握认为月消费奶茶超过百元与性别有关.（2）设喜欢品牌的女性为、，男性为、，从喜欢品牌的这
14、人中抽取人送纪念品，所有的基本事件有：、，共种，设“这两人恰好都是女性”为事件，则事件包含的基本事件有：、，共种，因此，抽取的这两人恰好都是女性的概率为.【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）数状图法；（4）排列组合数的应用.20已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.(1)求实数a的值；(2)求证：当时，.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）构造函数，利用导数判断其单调性，求出最值，即可证明.【详解】(1)解：的定义域为，由题意知，则.(2)证明：由（1）知，令，则，由得，由得，故在上单调递减，在上单调递增，
15、即，即.21在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；设直线l与x轴和y轴的交点分别为A、B，P为圆C上的任意一点，求的取值范围【答案】()见解析;()【分析】由圆的普通方程，能求出圆的参数方程；由直线的极坐标方程转化为 ，由此能求出直线的直角坐标方程由直线的方程可得点点，设点，则，由此能求出的取值范围【详解】圆C的普通方程为圆C的参数方程为为参数直线l的极坐标方程为， ，直线l的直角坐标方程为直线l与x轴和y轴的交点分别为A、B，由直线l的方程可得点，点设点，则 由知，则，的取值范围是
16、【点睛】本题考查圆的参数方程、直线的直角坐标方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，考查极坐标、直角坐标、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数在上的最小值是，求的值.【答案】（1）见解析；（2），.【分析】（1）求得，分类讨论，即可求解函数的单调性；（2）当时，由（1）知在上单调递增，分和两种情况讨论，求得函数的最小值，即可求解.【详解】（1）定义域为,求得,当时，故在单调递增,当时，令，得 ，所以当时，单调递减 当时，单调递增.（2）当时，由（1）知在上单调递增，所以 （舍去）,当时，由（1）知在单调递减，在单调递增所以，解得 （舍去）,当时，由（1）知在单调递减，所以，解得,综上所述，.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中熟记函数的导数与函数的关系，准确判定函数的单调性，求得函数的最值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.第 13 页 共 13 页