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1、2021-2022学年四川省内江市资中县球溪高级中学高二下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1下列语句是命题的是（）三角形的内角和等于；这座山真险啊！ABCD【答案】A【分析】能够判断真假的陈述语句是命题，据此判断即可.【详解】三角形的内角和等于是命题；是命题；不能判断真假，故不是命题；这座山真险啊！不是陈述句，因此不是命题.故选：A.2过椭圆+ =1左焦点F1引直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则ABF2的周长是（）A20B18C10D16【答案】A【分析】根据椭圆的定义求得正确选项.【详解】依题意，根据椭圆的定义可知，三角形的周长为.故选：A3下列有关命题的说法错误的是（）A的
2、增区间为B“”是“-4x+3=0”的充分不必要条件C若集合中只有两个子集，则D对于命题p：.存在，使得，则p：任意，均有【答案】C【分析】A.利用复合函数的单调性判断；B.利用充分条件和必要条件的定义判断；C.由方程有一根判断；D.由命题p的否定为全称量词命题判断.【详解】A.令，由，解得，由二次函数的性质知：t在上递增，在上递减，又在上递增，由复合函数的单调性知：在上递增，故正确；B. 当时，-4x+3=0成立，故充分，当-4x+3=0成立时，解得或，故不必要，故正确；C.若集合中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程有一根，当时，当时，解得，所以或，故错误；D.因为命题p：.存在，使得是
3、存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即p任意，均有，故正确；故选：C4已知命题垂直于同一平面的两直线平行；命题平行于同一平面的两直线平行.则下列命题中正确的是（）ABCD【答案】D【分析】判断命题、的真假，利用复合命题的真假可得出合适的选项.【详解】垂直于同一平面的两直线平行，命题为真命题，平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，命题为假命题，所以，、均为假命题，为真命题.故选：D.5已知椭圆：的左、右焦点为，上顶点为P，则（）A为锐角三角形B为钝角三角形C为直角三角形D，三点构不成三角形【答案】A【分析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.【详
4、解】解：由椭圆：，得，则，则，所以且为锐角，因为，所以为锐角，所以为锐角三角形.故选：A.6已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为ABCD【答案】D【详解】试题分析：椭圆和双曲线有公共焦点，整理得，双曲线的渐近线方程为y=，故选D【解析】本题主要考查双曲线、椭圆的标准方程及几何性质点评：基础题，先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令二者相等即可求得m和n的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程7双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论不正确的是（）A该双曲线的离心率为B该双曲线的渐近线方程为C点P到两渐近线的距离的乘积为D若PF1PF2，则PF
5、1F2的面积为32【答案】D【分析】根据双曲线的离心率、渐近线、点到直线距离公式、三角形的面积等知识来确定正确答案.【详解】由题意可知，a3，b4，c5，故离心率e，故A正确；由双曲线的性质可知，双曲线线的渐近线方程为yx，故B正确；设P（x，y），则P到两渐近线的距离之积为，故C正确；若PF1PF2，则PF1F2是直角三角形，由勾股定理得，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a6（不妨取P在第一象限），2|PF1|PF2|1002|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|32，可得，故D错误.故选：D8已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（）ABC或D或【答案】C【分析】由等比中
6、项定义求得，根据的取值确定曲线是椭圆还是双曲线，然后计算离心率【详解】由已知，当时，方程为，曲线为椭圆， ，离心率为；当时，方程为，曲线为双曲线，离心率为故选：C9已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2y21的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点F1作F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|（）A1B2C4D【答案】A【分析】利用几何关系结合双曲线定义，以及中位线性质可得.【详解】如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为F1PF2的平分线及PHF1Q，易知，所以|PF1|PQ|.根据双曲线的定义，得|PF2|PF1|2，即|PF2|PQ|2，从而|QF2|2.在F1QF
7、2中，易知OH为中位线，则|OH|1.故选：A.10已知函数和的定义域均为，记的最大值为，的最大值为，则使得“”成立的充要条件为（）A，B，C，D，【答案】C【分析】先解读选项ABC，D选项是成立的充分不必要条件，再判断得解.【详解】解：A选项表述的是的最小值大于的最大值；B选项表述的是的最小值大于的最小值；C选项表述的是的最大值大于的最大值成立的充要条件；D选项是成立的充分不必要条件故选：C11已知椭圆：的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是的左、右焦点，且的面积为，点为上的任意一点，则的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】由已知和面积得到，对进行化简，配方求最值.【详解】由已知的，故
8、.的面积为，.又，又，.的取值范围为.故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质，以及配方求最值的问题.12已知O为坐标原点，A，B分别是双曲线的左、右顶点，M是双曲线C上不同于A，B的动点，直线AM，BM分别与y轴交于点P，Q，则（）A16B9C4D3【答案】B【分析】设动点，由双曲线方程可得，的坐标，求出，所在直线方程，可得与的坐标，求得，再由动点在双曲线上，得，则的值可求.【详解】解：设动点，由双曲线方程得，则，所以直线的方程为，直线的方程为，由此得，所以.因为动点在双曲线上，所以，所以，则.故选：B.二、填空题13命题“9的平方根是3”是_命题（选填“真”或“假”）【答案
9、】假【分析】根据的平方根是判断即可.【详解】解：因为的平方根是，所以命题“的平方根是”是假命题.故答案为：假14经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 .【答案】【详解】设双曲线的方程为：，将代入可得，所以等轴双曲线的方程为：.15若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则_.【答案】-1【分析】根据给定条件设出点A，B的坐标，再借助“点差法”即可计算得解.【详解】依题意，线段的中点在椭圆C内，设，由两式相减得：，而，于是得，即，所以.故答案为：16城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走在平面直角坐标系中，定义为
10、两点、之间的“出租车距离”给出下列四个结论：若点，点，则；到点的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是；若点，点B是圆上的动点，则的最大值是其中，所有正确结论的序号是_【答案】【分析】理解“出租车距离”的定义，根据定义写出有关代数式即可求解.【详解】对于，根据定义 故正确；对于，根据定义，设目的地为 ，则 ，当A点在第一象限时，式即为 ，第二象限时为 ，以此类推得如下图形（阴影部分）：其面积为： ，故错误；对于，设 ， ，B在圆 上， ， ， ，为在区域为，目标函数为求最大值的 线性规划问题，如下图：显然当直线为圆在第三象限的切线时， 最大，为 ，故正确；故答案为：.三、解答题
11、17（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求离心率，经过点的双曲线标准方程【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意直接得出后求解（2）待定系数法设双曲线方程，列方程组求解【详解】（1）由题意得，故，椭圆标准方程为（2）若双曲线焦点在x轴上，设其方程为，由题意，而故，由解得，故双曲线标准方程为若双曲线焦点在轴上，设其方程为，同理，此时将代入后方程无解综上，双曲线标准方程为18已知命题：函数在区间上没有零点；命题q：，使得0成立.（1）若和q均为真命题，求实数a的取值范围；（2）若和q其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【
12、分析】先求出当命题p为真时，解得或；再求出当命题q为真，解得.（1）先判断命题p，q均为真命题，再求出实数a的取值范围为；（2）先判断p，q一真一假，最后实数a的取值范围为.【详解】（1）函数=在区间上单调递增，p为真命题=在区间上没有零点或者得或令=当0时，得，当0时，得0x1最小值为q为真a3（1）p，q均为真命题a的取值范围是（2）p，q一真一假若p真，q假，则，解得a的范围是；若p假，q真，则，解得无解；a的取值范围是.19已知双曲线的实轴长为2，一条渐近线方程为(1)求双曲线的标准方程；(2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程【答案】(1)(2
13、)【分析】（1）由实轴长得到，由渐近线斜率得到，即可得到方程；（2）由倾斜角得到直线斜率，设直线方程，联立双曲线方程，消去，利用韦达定理即可表示线段的中点的纵坐标，解出参数即可.【详解】(1)由题，由得，所以双曲线的标准方程为：(2)直线斜率，设直线为，联立得得，设两点坐标分别为、，线段的中点的纵坐标为4，则，直线方程为.20已知，其中(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；(2)是否存在，使得是的必要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）解不等式，由充分条件的定义得出实数的取值范围；（2）由是的必要条件得出不等关系，结合作出判断.【详
14、解】(1)由得，故有由得，即若p是q的充分条件，则成立，即得.(2)因为，所以或若是q的必要条件，则成立，则或，显然这两个不等式均与矛盾，故不存在满足条件的m21已知椭圆的焦距为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆交于不同的两点，求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题设可得且，结合椭圆参数关系求，即可得椭圆的方程；（2）设直线为，联立抛物线整理成一元二次方程的形式，由求m的范围，再应用韦达定理及弦长公式求关于m的表达式，根据二次函数性质求最值即可.【详解】(1)由题设，且，故，则，所以椭圆的方程为.(2)设直线为，联立椭圆并整理得：，所以，可得，且，所以
15、且，故当时，.22已知双曲线C：的渐近线方程为，过双曲线C的右焦点的直线与双曲线C分别交于左、右两支上的A、B两点(1)求双曲线C的方程；(2)过原点O作直线，使得，且与双曲线C分别交于左、右两支上的点M、N是否存在定值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由题意得到且，结合，求得的值，即可求得双曲线的方程；（2）由与同向，所以，设直线，联立方程组，结合韦达定理求得，利用弦长公式求得，根据，设，联立方程组求得，进而求得的值，得出结论.【详解】(1)解：因为双曲线C：的渐近线方程为，所以，即又因为右焦点F的坐标为，所以，又由，解得，所以，所以双曲线C的方程为(2)解：存在定值，使得因为与同向，所以，由题意，可设直线，联立方程组，整理得，设，可得，由直线分别交双曲线C的左、右两支于A、B两点，可得，即，可得，所以由，可设，由，整理得设 ，则，所以，则，所以，故存在定值，使得第 13 页 共 13 页