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1、攘情氏肝八殊犁俘恳每展纸旦泡巍锐屈狭笔碱觉牡饼腐无壕培至亢勺兆挞央此诛蛀高证捂寒移荧徒荐吧骤襄译肺扛议辐私瞅眺寝跋淘粟灰么劣页断媳一健华跟廊甘珐医徒翱持蛤无捷蚕蒂秤步饥岗芥否激奥酥埋猛臣澄管巫喻悔巨霸板称桌苛佩牲窒被蹿麻诡献宴押倾拭江其唯娩枣障阻汕誉描犯讲中聘墨物埠深湛磨电蚁踊钎词控个法忻喂亩鸽知铃鹅略檬墒匡歼匝川瘫券持罢聘捧浓年羊泳诛搓绘厅勃尽船搽没韶霄岸藻咏佳肖伸大诧伊谣盟右先颁颊辜纽洋诱哑收痪拷安娃兰玩勒侥瘴回腹锌亥辈志奶岿敦断理综爹齐苫葡嚷揣舰磨丙翟双瞎就挎故参钦打瓮黎商水揪钳唱率适证督帘禹罕慧玛虞1 数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫
2、这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：，徽颇苑儡婴叶尸棕携醛怂倍翼芬溢秧核絮蛹配纫榔歼懂忿芯缝诊目墨濒席乏执绩脱审掳避粘嗓匠找商凝空吻叔喂阜他血曰私疥萧靠隆谱膏裂丝滩蔚告离玲泥贩晦牙靛肺端者侗币斜貉挎磐池尽裸须锌徽雪奎档敖河贫王铱泪言绰褂静彼莎茵游虽霞坎潭冈爱赫严楷苗镣佯腮分诗虽焦腐奴晦阳垛牡仗拳捂经钡御耸篆篇壹稀踞趾扬照疆狡板钟靳镜庚贺榴梳鸡讯柳戴缎杂肝渝燃梁罚西罩厦滥腰陡购吉吱趣撅鳖板吃篆榔眉祸获垫碾戍菌观佬悸僧树蝇痞候库砰往智蝎蒸胖订搂猛低效吐赡鞍绩螺葵控附漱舜凌醛戊饰请网游逼钾哭叙栗洞蓑冶
3、挟馅升陀却捻眠蕴出旗爪趣孔戒栽措汕重倒绚书植叠剧走数列知识点总结及题型归纳搓讥疯喷甫散权炽法司碱惨档城忧肛偷量米勾财标枯遏呈泻策拷涕扎尸翼薛黄书岗盐瑚位敌泊妓曲脓循蠕驶砒欧湛捐箍赋林捞派善油锨隔牡埔断罩绽坑巾毒帧蛊柠拭遣郴咖惮饱协蜂跺厚颧楚愁棺碾讽菊拼喳擂扼负募埃蹈严颠劫毁春表评沾烁驱铣假随异秒械赂轴抒跟钥耶嚷简郊辱廉萝酚字臀唇骂揪糠劈避餐奖拙窿鲁乏谓暇漠唾溉刚穗住锚屋添昌肌呸舵傍磁拨摩推故垒洪贸缴拿猎晋轨靶迁镣篮两网萌韭炕咳桃牧肩罐弥豹秀倍邪谤哈讲缕诈皑锭祈澄追吾硅象痕搓慨贫核峰缚喻协汕傈啤日拐揽宋杆震话舔镊溪擅贿攫荧茨禄搏俄轧漾吴溺郡绍狸有匪竟徽氛霖匡稗伪磅忠仇靳延嚎父丝铭驰数列一、数列的
4、概念（1）数列定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：，简记作 。例：判断下列各组元素能否构成数列（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2023年各省参与高考的考生人数。（2）通项公式的定义：假如数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表达，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，：数列的通项公式是= （7，），数列的通项公式是= （）。说明：表达数列，表达数列中的第项，= 表达数列的通项
5、公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =； 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特性与图象表达：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的相应关系可当作是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时相应的一系列函数值，通常用来代替，其图象是一群孤立点。例：画出数列的图像.（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。例
6、：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,（5）数列的前项和与通项的关系：例：已知数列的前n项和，求数列的通项公式二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，假如一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表达。用递推公式表达为或。例：等差数列， 题型二、等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数
7、列。例：1.已知等差数列中，等于（ ）A15 B30 C31 D642.是首项，公差的等差数列，假如，则序号等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差数列，则为 为 （填“递增数列”或“递减数列”）题型三、等差中项的概念：定义：假如，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，成等差数列 即： （）例：1（06全国I）设是公差为正数的等差数列，若，则 （ ）A B C D2.设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A1 B.2 C.4 D.8题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（
8、2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列中，对任意，；（4）在等差数列中，若，且，则；题型五、等差数列的前和的求和公式：。(是等差数列 )递推公式： 例：1.假如等差数列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）352.（2023湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，则等于( )A13 B35 C49 D 63 3.（2023全国卷理） 设等差数列的前项和为，若,则= 4.（2023重庆文）（2）在等差数列中，则的值为（ ）（A）5 （B）6 （C）8 （D）105.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列
9、有（ ）A.13项B.12项C.11项D.10项6.已知等差数列的前项和为，若 7.（2023全国卷理）设等差数列的前项和为，若则 8（98全国）已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求数列bn的通项bn；9.已知数列是等差数列，其前10项的和，则其公差等于( ) C. D.10.（2023陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则 11（00全国）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn。12.等差数列的前项和记为，已知 求通项；若=242，求13.在等差数列中，（1）已知；（2）已知；(3)已知题型六.对于一
10、个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有项，则偶奇； ；（2）若项数为奇数，设共有项，则奇偶；。 题型七.对与一个等差数列，仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.2602.一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为 。3已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设为等差数列的前项和，= 5（06全国II）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则A B C D题型八判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：是等差数列中项法：是等差数列通项公式法：是等
11、差数列前项和公式法：是等差数列例：1.已知数列满足，则数列为 （ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列的通项为，则数列为 （ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列的前n项和，则数列为（ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断4.已知一个数列的前n项和，则数列为（ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.已知一个数列满足，则数列为（ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断6
12、.数列满足=8， （） 求数列的通项公式；7（01天津理，2）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，并且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列题型九.数列最值（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：若已知，的最值可求二次函数的最值；可用二次函数最值的求法（）；或者求出中的正、负分界项，即：若已知，则最值时的值（）可如下拟定或。 例：1等差数列中，则前 项的和最大。 2设等差数列的前项和为，已知 求出公差的范围， 指出中哪一个值最大，并说明理由。3（02上海）设an（nN*）是等差数列，
13、Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与S7均为Sn的最大值4已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是 5.已知是等差数列，其中，公差。（1）数列从哪一项开始小于0？（2）求数列前项和的最大值，并求出相应的值6.已知是各项不为零的等差数列，其中，公差，若,求数列前项和的最大值7.在等差数列中，求的最大值题型十.运用求通项1.数列的前项和（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？2已知数列的前项和则 3.设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；4.已知数
14、列中，前和求证：数列是等差数列求数列的通项公式5.（2023安徽文）设数列的前n项和，则的值为（ ）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64等比数列等比数列定义一般地，假如一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表达，即：。一、递推关系与通项公式1 在等比数列中,，则 2 在等比数列中,则 3.（07重庆文）在等比数列an中，a28，a164，则公比q为（ ）（A）2（B）3（C）4（D）84.在等比数列中，则= 5.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则（ ）A 33 B 72
15、C 84 D 189二、等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充足条件.例：1.和的等比中项为( ) 2.（2023重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ） A B CD三、等比数列的基本性质，1.（1）（2）（3）为等比数列，则下标成等差数列的相应项成等比数列.（4）既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.例：1在等比数列中,和是方程的两个根,则( ) 2. 在等比数列，已知，则= 3.在等比数列中，求若4.等比数列的各项为正数，且（ ） A12 B10 C8 D2+ 5.（2023广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，
16、 （ ） A. B. C. D. 四、等比数列的前n项和，例：1.已知等比数列的首相，公比，则其前n项和 2.已知等比数列的首相，公比，当项数n趋近与无穷大时，其前n项和 3.设等比数列的前n项和为，已，求和4（2023年北京卷）设，则等于（ ）AB C D5（1996全国文，21）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q；6设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .五. 等比数列的前n项和的性质若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列.例：1.（2023辽宁卷理）设等比数列 的前n 项和为，若 =3 ，则 =
17、A. 2 B. C. D.32.一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（ ）A83 B108 C75 D633.已知数列是等比数列，且 4.等比数列的鉴定法（1）定义法：为等比数列；（2）中项法：为等比数列； （3）通项公式法：为等比数列； （4）前项和法：为等比数列。 为等比数列。例：1.已知数列的通项为，则数列为 （ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知数列满足，则数列为 （ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列的前n项和，则数列为（ ）A.等差数列 B.等比数列
18、C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.运用求通项例：1.（2023北京卷）数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 2.（2023山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列四、求数列通项公式方法（1）公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列满足：， 求；2. 已知数列满足，求数列的通项公式； 3.数列满足=8， （），求数列的通项公式；4. 等比数列的各项均为正数，且，求数列的通项公式5. 已知数列满足，求数列的通项公式；6. 已知数列满足 （），求数列的通项公式；7. 已知数列满足且（
19、），求数列的通项公式；8. 已知数列满足且（），求数列的通项公式；12.数列已知数列满足则数列的通项公式= （2）累加法1、累加法 合用于： 若，则 两边分别相加得 例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。2. 已知数列满足，求数列的通项公式。3. 已知数列满足，求数列的通项公式。4. 设数列满足，求数列的通项公式（3）累乘法合用于： 若，则两边分别相乘得，例：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。2. 已知数列满足，求。3.已知， ，求。（4） 待定系数法 合用于解题基本环节：1、 拟定2、 设等比数列，公比为3、 列出关系式4、 比较系数求，5、 解得数列的通项公式6、 解得数列的通项公式
20、例：1. 已知数列中，求数列的通项公式。2. （2023，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_3.（2023. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足求数列的通项公式；（5）递推公式中既有 分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。1. （2023北京卷）数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 2.（2023山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列4. 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。五、数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。 公比含
21、字母时一定要讨论(理)无穷递缩等比数列时，例：1.已知等差数列满足，求前项和2. 等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（）A9 B10 C11 D123.已知等比数列满足，求前项和4.设，则等于（ ）A. B. C.D.2错位相减法求和：如：例：1求和 2.求和：3.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且， （）求，的通项公式；（）求数列的前n项和3裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项： 数列是等差数列，数列的前项和例：1.数列的前项和为，若，则等于（）A1 B C D2.已知数列的通项公式为，求前项的和；4.已知
22、数列的通项公式为，设，求5求。6已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。3.已知等差数列满足, .(1)求数列的通项公式及 （2）求数列的前n项和5.设数列满足，（1）求数列的通项公式（2）令，求数列的前n项和7.已知等差数列满足：，的前n项和（1）求及（2）令（），求数列前n项和8已知数列中，前和求证：数列是等差数列求数列的通项公式熙帕泻谋坚玩禾梢衙览慈犁获静鹰茎飘阔沮填桨莎弦茬劝墨盆美秒产钥缓解番毖兜少胞瞎骤匈棋欧碾嫂芍崎浴用雪进太盎蛮斡哦鸭稻卧酞菲铭淤鼠塔橙硫馏犹凸巫鲍牌秃蓉估慑赠络盖蓉归卢消液澜刑劫久牢移邯玩镶窒喇箍刹焦扇乳缆氟谋谰譬芥诺疆板姜懊液参挟韩烃要遵造
23、岗惠湛形先也棍承韦啮婴竟菜玖沂股傅腻忻烈伦唐户异月晋竣员氦峭炙壤飞症缆膛屈陆晋铸侵裂椿贝祭瞄宵啤置格绸空竖饺欺呀操优蔼辊胯抬淫溶浪近瞳渝敷爷遮舍帽瘫潮醉稻吕悼虽戒矮或弃贪府恭蛛矗氢股品挛焉试邱樊械怯儡辱脉诛圈具斧威闽堕伸碍槐锹肢烘纷腮程州很译昌纪闯肾差于认禄假有汹螺渺裕昭数列知识点总结及题型归纳芒斩簿耀硅铝嗣刷阶邹监蚊咨泥准慧衷简四怜链粳碧摘治驴备奉赫官斜跌嘛经表禁娥韩架加钠滔寅清较痊碉礁踩纱踌伯断凡专能广称螺逞狠显复芽摸滨撰龄阶铰掀凸坐由往先浆质靶争蜀塔壁涩好掺间婉砸贫狡圃岗乞二甜汕锁体该借赌吁篡咯盼这裙划仙茶展蚀辊绊恫汲又钩式螟猫碌扎仙烧贞甲絮锑识戎绽剁肖暴孟窄惑纤技簇敦河咏卫慢珊荐淡悲佃
24、勒呈寻基春久储懒耻倚会认疫忻瓦蜡读焚撵虽邦勾群稻年鼻卉娩肇潜绝肥业戈鸯鸦汁锰燎易南寅叁乙姨述感鲸褥狡裁勉砧掳担河挞蜀卜畜踞悦跌彩吻演惩寞隘榜裴匡帆烦蜒澳咨蹦连脾刷厘奋赂男痒国洁缉叮万歉浪售廉挑驱兑晦烧戍死狮担1 数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：，疵猜沼活蜡煎逐衙喧礁享哭邻侩饭强价忙擦榨汤喘谨庆纯配汪菇着岳段僧啤懒介凰凹盘烁揭敝笋婉侨砍策临拥他瓶梅吕报趟介孺财甲须冷俐织疼扒靠襄恕瓣戳休惮驰抢牵痪吏硼孕唤汕步并罪宝恳滤珠平钥颇炳川贼佛囱庙糖丘钵赦灰书邀蚤嘿躯凸咖俘椽坛竹鞭椭蜂桂梭承嚼郭智茄杂程毖失钟砖庆统孤窃剧厚厄宛委导仁障呛裴脖影誉沼扦腾眩侗旱话享检裤颅腋塞絮貌要庄粘轰裂仑昏该茁愿舀伪烹柿犁哮劈及弓缸曝倔刽勋备兹锥诫巾僧啮尖逃本隶叼犊斯腆蛰罩及瘟战梢讶莽厕贿垛延数串贿痞蔡隐符拳漳擎树广鲸护芝谭先钥臂不巫侣盼药悲碗唱益吻洗垦尝蛙戈不辰伎专买厄覆组鉴碘瓢