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1、2021-2022学年四川省雅安中学高二下学期3月月考数学（文）试题一、单选题1设函数，若，则等于（）ABCD【答案】D【分析】对函数求导，再由可求出实数的值.【详解】，解得，故选D,【点睛】本题考查导数的计算，考查基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，熟练利用导数公式解题是解本题的关键，属于基础题.2已知函数（是对自然对数的底数），则其导函数ABCD【答案】B【详解】根据导数除法公式有，故选择B.3下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）ABCD【答案】D【分析】利用基本初等函数的奇偶性及函数的极值与导数的关系可判断各选项.【详解】对于A选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递增，A项不满
2、足条件；对于B选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，B选项不满足条件；对于C选项，函数的导数为，该函数在上单调递增，C选项不满足条件；对于D选项，令，该函数的定义域为，即函数为奇函数，当时，当时，所以，为函数的极小值点，D选项满足条件.故选：D.4已知命题，则为（）ABCD【答案】D【分析】全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可知答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题，所以为.故选：D5已知函数，则“”是“在上单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由题意转化为在恒成立，即在恒成立，结合，即可求解.【详解】由题意，函数
3、，可得，若函数在上单调递增，可得在恒成立，即在恒成立，因为，可得，所以“”是“在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.6已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则的值为ABCD【答案】C【分析】求出函数的导数，可得函数在处切线的斜率，再利用切线与已知直线垂直的条件：斜率之积为-1，建立方程，即可求出实数的值【详解】由于函数的图像过点，故，即 ，由函数的导数为，可得函数在点处切线的斜率为由于函数的图像在点处的切线与直线垂直，所以，解得： 故答案选C【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，考查两条直线垂直的条件：斜率之积为-1，属于基础题7函数在区间上取得最大值时，的值为（）
4、A0BCD【答案】B【分析】求得函数的导数，得出函数的单调性，进而确定函数的最大值点，得到答案.【详解】由题意，函数，可得，令，即，因为，解得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，函数取得最大值.故选：B.8已知命题，命题：，若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】求得一元二次不等式的解集，求得，对应的集合，根据题意，即可求得参数范围.【详解】由，知或，则为，为，又是的充分不必要条件，所以故选：9设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）ABCD【答案】C【分析】根极值与导函数的关系确定在附近的正负，得的正负，从而确定正确选
5、项【详解】由题意可得，而且当时，此时，排除B、D；当时，此时，若，所以函数的图象可能是C故选：C10函数在上的最大值为2，则a的值为（）AB2C5D【答案】B【解析】求出函数的导数不等式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于的方程，解出即可【详解】解：令，解得：，令，解得：，故在，递减，在，递增，故的最大值是或，而，故，故选：【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，属于基础题11函数在上可导且满足，则下列一定成立的为（）ABCD【答案】A【分析】根据题意，构造函数，利用导数研究其单调性，即可选择.【详解】令，则，根据题意，当时，即，故在单调递增
6、，则，即.故选：A.12已知,若在上恒成立，则的取值范围是ABCD【答案】B【分析】将问题转化为在上恒成立，令，用导数法求解.【详解】解：因为在上恒成立，所以在上恒成立，设，则，令，则或，当，即时，则在上递增，又，所以在上恒成立，当，即时，或时，递增，时，递减，所以在上的最小值为，因为，所以，不成立；当，即时，或时，递增，时，递减，所以在上的最小值为，因为，所以成立；综上：，故选：B.二、填空题13函数的极值点是_.【答案】【解析】求出函数导数，通过导数为0，即可求出函数的极值点.【详解】解：函数的定义域：，可得，令，可得，当，函数是减函数，函数是增函数，当时，函数取得极小值，故答案：.【点睛
7、】本题主要考查利用导数求函数的极值，相对简单.14命题 p：对任意实数x都有ax2ax10恒成立.若命题p为真，求a的范围_.【答案】【分析】当时，对任意实数x都有ax2ax10恒成立，当时，此时，是二次函数，根据二次函数的图像性质即可求解【详解】当时，对任意实数x都有ax2ax10恒成立，当时，此时，是二次函数，此时，等价于，计算得，综上，故答案为：15已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】求得，分、两种情况讨论，利用导数分析函数在上单调性，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围.【详解】因为，则.当时，对任意的，此时函数在上单调递增，则函数在上无
8、极值；当时，令，则对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增，由题意可得，所以，.因此，实数的取值范围是.故答案为：.16已知为偶函数，当 时，则曲线在点处的切线方程是_.【答案】【详解】试题分析：当时，则又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即【解析】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为三、解答题17命题，命题，若为真，为假，求实数的取值范围【答案】或【分析】求出当命题为真命题时实数的取值范围，命题为真命题实数的取值范围，分析可知、中一真
9、一假，分真假、假真两种情况讨论，综合可得出实数的取值范围.【详解】若为真命题，则，若为真命题，即，则或，因为为真，为假，则、中一真一假，若真假，则，可得；若假真，则，可得.综上所述，或.18已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)当时，求函数的值域.【答案】(1)单调递增区间（，1）和（4，），单调递减区间（1，4）(2)【分析】（1）求出，令，由导数的正负即可得到函数f（x）的单调递增区间和递减区间；（2）求出函数在区间中的单调性，求出极大值和极小值以及区间端点的函数值，比较大小即可得到答案【详解】(1)由函数得 ，令，解得x1或x4，；令，解得1x4，故函数f（x）的单调递增区间为（，1）
10、和（4，），单调递减区间为（1，4）；(2)由（1）可知，当x3，1）时，f（x）单调递增，当x（1，4）时，f（x）单调递减，当x（4，6时，f（x）单调递增，所以当x1时，函数f（x）取得极大值f（1），当x4时，函数f（ x）取得极小值f（4），又，所以当x3，6时，函数f（x）的值域为19已知命题p：在上单调递增；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆；若为真，求的取值范围【答案】【分析】利用导数由函数单调性求得参数的范围，从而求得为真命题对应的参数范围；根据椭圆方程求的命题为真命题对应的参数范围，结合题意即可求得结果.【详解】为真命题时，在上恒成立，即为真命题时，为真，p真，q假，即.
11、m的取值范围为.20已知函数在时取得极值，且在点处的切线的斜率为 .(1)求的解析式；(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式；（2）分析可知，直线与函数的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】(1)解：因为，则，由题意可得，解得，所以，.当，时，经检验可知，函数在处取得极值.因此，.(2)解：问题等价于有三个不等的实数根，求的范围.由，得或，由，得，所以在、上单调递增，在上单调递减， 则函数的极大值为，极小值为，如下图所示：由图可知
12、，当时，直线与函数的图象有个交点，因此，实数的取值范围是.21已知函数.(1)若，求函数的极小值.(2)存在，使得成立，求实数的取值范围【答案】(1)1；(2).【分析】（1）利用导数求的单调性，即可求极值.（2）将问题转化为在上，再应用导数求的最小值，即可求的范围【详解】(1)当时，则，令，得时，函数的单调递增区间为，时，函数的单调递减区间为；所以函数的极小值为.(2)由题设，在上，设，则，显然当时恒成立，所以在单调递增，则，综上，故22已知函数，为函数的导函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明对任意的都成立.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出，然后分、四种情况讨论即可；（2）当时，令，利用导数求出即可证明.【详解】（1），因为，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，则，所以，令，则，令，因为函数在，上单调递增，（1），（2），所以存在唯一的，使得，因为当时，当，时，所以函数在上单调递减，在，上单调递增，又因为（1），（2），所以，即对任意的，都成立.【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性和解决恒成立问题，考查了分类讨论的思想，属于较难题.第 12 页 共 12 页