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1、2021-2022学年江西省九江市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1设复数满足，则（）ABCD【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得，因此，.故选：D.2已知集合，则（）ABCD【答案】B【分析】求出集合的补集，化简集合，再根据交集的概念可求出结果.【详解】因为，所以，又,所以.故选：B3的展开式中项的系数为（）ABCD【答案】A【分析】展开式的通项公式，令即可求解.【详解】解：展开式的通项公式，令，解得，所以展开式中项的系数为，故选：A.4已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A4BC8D【答案】A【分析】先
2、求得抛物线的焦点坐标，以及双曲线的右焦点坐标，再根据两者重合求解.【详解】解：抛物线的焦点坐标为 ：双曲线的右焦点坐标为，因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，解得，故选：A5各项都是正数的等比数列中，若、成等差数列，则（）ABCD【答案】B【分析】设等比数列的公比为，则，进而可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，则，由已知可得，即，则，解得，所以，.故选：B.6若向量满足，则与的夹角为()ABCD【答案】C【分析】，求得，由即可求夹角.【详解】由题可知，向量与的夹角为.故选：C.7已知三棱锥，PA，PB，PC两两垂直，在线段BC上任取一点M，则的概率为（）ABCD【答案】B【分析】先
3、推出，由得，再由余弦定理得，最后根据几何概型概率公式可求出结果.【详解】因为，所以平面，所以，所以，因为，所以，所以，所以，又，即，所以，即，得，又因为，所以所求事件的概率为.故选：B8如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且，点P在正方形ABCD的边AD或BC上运动，若，则满足条件的点P的个数是（）A0B2C4D6【答案】C【分析】根据题意，考虑点P在AD上，根据PEEF和，求出，然后根据对称性，考虑点P在BC上，即可得答案【详解】先考虑点P在AD上，可知PEEF，即，此时有2个点满足条件；由对称性，可知点P在BC上，情况一样，所以，共有4个点满足条件.故选：C9已知
4、函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【分析】判断函数的奇偶性和单调性求解.【详解】因为，所以是奇函数，又，当且仅当时，等号成立，所以在R上递增，由，得，所以，即，解得，故选：D10第24届冬奥会开幕式于2022年2月4日在北京举行本届冬奥会开幕式上的“大雪花”融合了中国诗词、中国结和剪纸技艺等中国传统文化元素，很好地将奥林匹克精神和中国人民的友谊传递到世界各个角落，获得了世界人民的普遍赞誉为弘扬中国优秀传统文化，某校将举办一次以“雪花”为主题的剪纸比赛，比赛以班级为单位，每班4人依次出场现某班准备从包括甲乙丙在内的6名学生中选派4人参加比赛，其中学生丙必须参加，且当甲乙两同学同时参加时
5、候，甲乙至少有一人与丙学生出场顺序相邻，那么此班级的4名学生不同的出场方法有（）种A228B238C218D248【答案】A【分析】分甲、乙均未参加,甲、乙中有1人参加和甲、乙都参加三类求解.【详解】对甲、乙两名同学是否参加分类第一类，甲、乙均未参加：第二类，甲、乙中有1人参加：第三类，甲、乙都参加所以此班级的4名学生不同的出场方法有种故答案为：A11已知ABC的角A、B、C对应的边分别是a、b、c，若，则ABC的面积是（）ABCD【答案】B【分析】根据题意，求出，列出方程组，化简得到，进而计算求解即可.【详解】可知（1）（2）（2）式整理得：下面分类讨论：若，由（1），即产生矛盾故选：B12
6、设，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为（）ABCD【答案】A【分析】根据题给不等式构造函数，再根据函数的性质求解参数的最值.【详解】根据题意，题中不等式两边同乘得，令，则不等式可化为又在上为单调增函数，即令，则由导函数可知，在上单调递减，在上单调递增所以所以，即的最大值为.故选：.二、填空题13由变量x与y相对应的一组成对样本数据、得到的经验回归方程为2x45，则_.【答案】63【分析】求出，代入，可得【详解】由题意，代入，可得故答案为：63.14如图，在单位圆中，分别在单位圆的第一二象限内运动，若，为等边三角形，则_.【答案】【分析】先根据三角形面积公式求出，然后结合两角和与差的
7、正弦公式求得答案.【详解】由题意，而点N在第二象限，所以，因为，所以.故答案为：.15张衡（78年139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家他的数学著作有算罔论他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，若线段的最大值为，利用张衡的结论可得该正方体内切球的表面积为_【答案】【分析】设正方体的棱长为，分别求出正方体内切球半径和外接球半径，再根据线段的最大值为，求出正方体的棱长，即可求出正方体内切球的表面积，最后根据圆周率的平方除以十六等于八分之五，得到圆周率，从而求出内切球的表面积.【详解】设正方体的棱长为，则正方体内切球半径，正方体外接
8、球半径满足，解得，线段的最大值为，解得，内切球半径为，该正方体内切球的表面积，又圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，正方体内切球的表面积为故答案为：.16已知直线与函数的图象相交，A，B，C是从左到右的三个相邻点，设，则下列结论正确的是_将函数的图象向右平移个单位长度后一定关于y轴对称；若在上只有一个零点，则的取值范围为；若，则；【答案】【分析】利用三角函数的图象变换和奇偶性求解判断；，令，转化为在上有唯一解求解判断；，当t固定时，根据图象的左右平移不会改变的值，即与，无关，取，求解判断.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到，若图象关于y轴对称，则，解得，故错误；，令，则在上有唯一解
9、，得，解得，故正确；对于，当t固定时，由于图象的左右平移不会改变的值，故只需要考虑与相交的情况即可，进一步t固定时，图象的横向伸缩变换也不会改变的值；即与，无关，取，分析即可，令有解，其中；可知，解得，则，对于令，即，故错误；对于即证：，可知，下证：，令，即证：；因为，所以在上单调递减，所以成立，故正确；故答案为：三、解答题17已知为等差数列的前项和，.(1)求、；(2)若数列的前项和，求满足的最小正整数.【答案】(1)，(2)【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式与求和公式可求得结果；（2）求得，利用裂项相消法可求得，然
10、后解不等式，即可得解.【详解】(1)解：设等差数列的公差为d，则，解得，故，.(2)解：由（1）得，. 故. 令，有，即.故满足的最小正整数为.18北京冬奥会期间，志愿者团队“Field Cast”从所有参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运动员各100人的年龄进行统计分析（抽取的运动员年龄均在区间16，40内），经统计得出女运动员的年龄频率分布直方图（图1）和男运动员的年龄扇形分布图（图2）回答下列问题：(1)求图1中的a值；(2)利用图2，估计参赛男运动员的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)用分层抽样方法在年龄区间为16，24）周岁的女运动员中抽取5人，男运动员中抽取
11、4人；再从这9人中随机抽取3人，记这3人中年龄低于20周岁运动员的人数为X，求X的分布列和数学期望【答案】(1)(2)26.8周岁(3)分布列见解析，【分析】（1）根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可；（2）根据饼形图得到各年龄区间的频率，再根据平均数公式计算可得；（3）首先求出男、女运动员年龄在区间和各抽取的人数，则的可能取值为，求出所对应的概率，即可得到的分布列与数学期望；【详解】(1)解：依题意得：，解得；(2)解：用每个年龄区间的中点值作为本区间的年龄值，由图2可知：年龄区间为的频率分别为，所以参赛男运动员的平均年龄估值为：即男运动员的平均年龄估值为26.8
12、周岁(3)解：由图1可知，年龄区间为周岁的女运动员有人，年龄区间为周岁的女运动员有人，由图2可知：年龄区间为和周岁的男运动员分别有10人和30人，用分层抽样女运动员年龄在区间和应分别抽取2人与3人，男运动员年龄在区间和应分别抽取1人和3人所以抽取的9人中年龄在区间的有3人，在的有6人，所以的可能取值为，所以所以的分布列为：P0123X所以19如图，三棱柱中，.(1)证明；(2)若平面平面，动点P在线段上，且的正弦值为，求与成角余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）是中点，连接，由等腰三角形的性质有，根据已知条件有，再由线面垂直的判定及性质即可证结论.（2）由面面垂直的性质及（
13、1）结论有，两两垂直，构建空间直角坐标系，令、且，确定相关点坐标，再求面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示及已知正弦值求参数p，进而求与成角余弦值.【详解】(1)若是中点，连接，由，则在等腰中，又，在中，即，而，则面，又面，即.(2)由（1）知：，又面面，面面，面，所以面，面，则，而，因为，即为等边三角形，不妨设，综上，两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系，则，设且，令是面的一个法向量，则，令，则，又是面的一个法向量，则，所以，可得，则，而，则，即与成角余弦值为.20已知椭圆的一个焦点为过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N
14、两点当直线l与x轴垂直时，(1)求椭圆C的方程；(2)求四边形面积的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）根据通径长结合、可求出结果；（2）当直线的斜率不存在或斜率为0时，直接计算该四边形的面积；当直线l斜率存在且不为0时，设直线，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，再利用面积公式可求出结果.【详解】(1)由题意可得，解得，故椭圆的方程为(2)设四边形面积为S，当直线l与x轴垂直时，,四边形面积,当直线l的斜率时，直线MN过点O即可；此时四边形的面积；当直线l斜率存在且不为0时，设其方程为，设点，则，点M，N到直线l的距离分别为，则四边形的面积为，联立得
15、，则，所以，因为，所以AB中点，则，则直线OD方程为，联立解得，所以，所以，又A，B在直线l两侧，所以，综上：四边形面积的最大值为21已知函数，为函数曲线上两点，且曲线在这两点处的切线，相互平行(1)若曲线在处的切线斜率为1，求的单调区间；(2)若直线的纵截距与的纵截距的差恒大于，判断，的大小关系（要求给出证明）【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是；(2)，证明见解析【分析】（1）先求导，由在处的切线斜率为1求出，再由导数确定单调区间即可；（2）先由切线，相互平行求得，再求出直线的纵截距与的纵截距，利用纵截距的差恒大于得到，换元后构造函数求导利用单调性求解即可.【详解】(1)可知，依题，即
16、可知的单调增区间是，单调减区间是(2)，证明如下：由题知，即，整理得，由可得，故，切线的方程为，令，得纵截距为：，同理的纵截距为，由题知，即，代入得，即，令，则有，令，则，故在单增，又，故，即，即得【点睛】本题关键点在于解决第二问的时候先通过消去参数，再通过比值设参，构造函数求导借助单调性求解22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）已知M是曲线上的动点，将OM绕点O逆时针旋转得到ON，设点N的轨迹为曲线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线，的极坐标方程；(2)若射线与曲线，分别相交于异于极点O的A，B两点，求的值【答案】(1)的极坐标方程为，的极坐标方程为；(2)【分析】（1）由曲线的参数方程消去参数得普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的极坐标方程；利用代入法可得曲线的极坐标方程；（2）根据极径的几何意义可求出结果.【详解】(1)由消去参数得的直角坐标方程为，所以的极坐标方程为，化简后得：；设，则，将代入中，得：，即的极坐标方程为(2)由题意可知，所以第 17 页 共 17 页