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1、2.3.3 点到直线的距离公式 1. 会用向量工具推导点到直线的距离公式.2.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.3.通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力重点：点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用难点：点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析一、自主导学1.点到直线的距离(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.(2)图示:(3)公式:d=|Ax0+By0+C|A2+B2.点睛： (1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化
2、成一般式再用公式.(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.二、小试牛刀1.判断对错：点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为|kx0+b|1+k2. ()2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()A.12B.32C.322D.223.你能说出代数式|3a+b+1|2的几何意义吗?一、情境导学 在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短?思考1：最容易想到的方法是什么？反思：这种解法的优缺点是什么？ 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离
3、？ 如图，点P到直线l的距离，就是向量PQ的模，设M(x,y)是直线l上的任意一点， n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则PQ是PM在上n的投影向量, PQ=PMn。思考2：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量n？思考3：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？二、典例解析例1、求点P(3，2)到下列直线的距离：(1)yx；(2)y6；(3)x4. 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其
4、他形式应化为一般式(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用(3)直线方程AxByC0中，A0或B0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解跟踪训练1 已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.点睛：用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.延伸探究 若将本题改为“已知直线l经过点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在l的同侧且到该直线l的距离相等”,则所求l的方程为.易错点因对斜率的情况考虑不全面而致错案例 求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程
5、.点睛:在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.1.点(1,-1)到直线y=1的距离是() A.2B.22C.3D.22.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于()A.79B.-13C.-79或-13D.-79或133.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是.4.已知ABC三个顶点坐标A(1,3)，B(3,0)，C(1,2)，求ABC的面积S.5.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(
6、-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式. 2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.参考答案：知识梳理二、小试牛刀1.答案:2.答案:C解析:由点到直线的距离公式可得|1-(-1)+1|2=322.3.提示:该代数式可表示平面内点(a,b)到直线3x+y+1=0的距离.学习过程思考1： 思路. 定义法,其步骤为：求l 的垂线l PQ的方程 解方程组，得交点Q的坐标求|P Q|的长思考2： 设P1x1,y1,P2（x2,y2）直线l：A
7、x+By+C=0上的任意两点，则P1P2=(x2-x1,y2-y1)是直线l的方向向量。把Ax1+By1+C=0, Ax2+By2+C=0 两式相减，得A(x2-x1)+B(y2-y1)=0 ，由平面向量的数量积运算可知，向量(A,B)与向量(x2-x1,y2-y1)垂直，向量 1A2+B2 (A,B)就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量，我们取n=1A2+B2 (A,B)，从而PMn=(x-x0,y-y0)1A2+B2 (A,B)=1A2+B2 (Ax+By-Ax0-By0)因为点M(x,y)在直线l上所以Ax+By+C=0代入上式，得PMn=1A2+B2 (-Ax0-By0-C
8、)因此PQ=PMn=Ax0+By0+CA2+B2二、典例解析例1、 解(1)直线yx化为一般式为3x4y10，由点到直线的距离公式可得d.(2因为直线y6与y轴垂直，所以点P到它的距离d|26|8.(3)因为直线x4与x轴垂直，所以点P到它的距离d|34|1.跟踪训练1 解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意;当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得即x+3y-5
9、=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1,解得k=-13,此时l的方程为y-2=-13(x+1),(方法二)由题意得lAB或l过AB的中点.当lAB时,设直线AB的斜率为kAB,即x+3y-5=0.当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.直线l的斜率为kl,则kAB=kl=5-3-4-2=-13,此时直线l的方程为y-2=-13(x+1),延伸探究 解析:将本例(2)中的x=-1这一情况舍去即可,也就是要舍去两点在直线l异侧的情况.答案:x+3y-5
10、=0案例 所以原点到该直线的距离d=|3k+5|k2+1=3.所以15k+8=0.所以k=-815.故直线l的方程为-815x-y+3-815+5=0,错解:设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密,求直线的方程时直接设为点斜式,没有考虑斜率不存在的情况.正解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.即8x+15y-51=0.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-3也满足题意.故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3.所以原点到该直线的距离d=|3k+5|k
11、2+1=3.所以15k+8=0.所以k=-815.故所求直线方程为y-5=-815(x+3),达标检测1.解析:d=|-1-1|1+0=2,故选D. 答案:D 2.解析:由点到直线的距离公式可得|-3a-4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1,化简得|3a+3|=|6a+4|,解得实数a=-79或-13.故选C.答案:C 3.解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,设垂足为M,则|MP|最小,直线MP的方程为y-1=-43(x-2),解方程组3x-4y-27=0,y-1=-43(x-2),得x=5,y=-3,所求点的坐标为(5,-3).答案:(5,-3) 4.【解析】由直线方
12、程的两点式得直线BC的方程为，即x2y30，由两点间距离公式得|BC|，点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，d，所以S|BC|d24，即ABC的面积为4.5.解:(方法一)点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,直线l的斜率存在,设为k.又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,直线l的方程是y=2或x-y+2=0.得|k-1+2|k2+1=|-3k-1+2|k2+1,解得k=0或k=1.(方法二)当直线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),直线l的方程是x-y+2=0.当直线lAB时,A,B两点到直线l的距离相等.直线AB的斜率为0,直线l的斜率为0,直线l的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.