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1、人教人教2019 A版版 选择性必修选择性必修 一一2.3.3 点到直线的距离公式 第二章直线和圆的方程1.会用向量工具推导点到直线的距离公式.2.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.3.通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力学习目标 在公路附近有一家乡村饭馆在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短路的长度最短?情境导学 反思：这
2、种解法的优缺点是什么？反思：这种解法的优缺点是什么？思考：最容易想到的方法是什么？思考：最容易想到的方法是什么？思路思路.定义法定义法,其步骤为：其步骤为：求求l 的垂线的垂线l PQ的方程的方程解方程组，得交点解方程组，得交点Q的坐标的坐标求求|P Q|的长的长新知探究 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？问题探究 1.点到直线的距离(1)定义:平面
3、内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.(2)图示:点睛：(1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.公式解析2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()小试牛刀答案:答案:C典例解析归纳总结跟踪训练1 已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意;当过点
4、M(-1,2)的直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得即x+3y-5=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.跟踪训练(方法二)由题意得lAB或l过AB的中点.当lAB时,设直线AB的斜率为kAB,即x+3y-5=0.当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.点睛：点睛：用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.延伸探究若将本题改为“已知直线l经过点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在l的同
5、侧且到该直线l的距离相等”,则所求l的方程为.解析:将本例(2)中的x=-1这一情况舍去即可,也就是要舍去两点在直线l异侧的情况.答案:x+3y-5=0易错点易错点因对斜率的情况考虑不全面而致错因对斜率的情况考虑不全面而致错案例求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程.金题典例错解:设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密,求直线的方程时直接设为点斜式,没有考虑斜率不存在的情况.正解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.即8x+15y-51=0.当直线的斜
6、率不存在时,直线方程为x=-3也满足题意.故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3.点睛:在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.1.点(1,-1)到直线y=1的距离是()答案:D 当堂检测2.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于()答案:C 3.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是.答案:(5,-3)解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,设垂足为M,则|MP
7、|最小,解:(方法一)点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,直线l的斜率存在,设为k.又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,直线l的方程是y=2或x-y+2=0.5.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.(方法二)当直线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),直线l的方程是x-y+2=0.当直线lAB时,A,B两点到直线l的距离相等.直线AB的斜率为0,直线l的斜率为0,直线l的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.课堂小结1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.人教人教B版必修第三册版必修第三册