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1、2021-2022学年四川省凉山州宁南中学高二下学期第一次月考数学(理)试题一、单选题1已知集合,则()ABCD【答案】C【分析】先求解集合Q中的不等式,结合集合的交集、补集运算,即得解【详解】由题意,或故则故选:C2已知命题,则是()A,B,C,D,【答案】D【分析】由全称命题的否定可得出结论.【详解】命题为全称命题,该命题的否定为,故选:D.3某机场某时降雨的概率为,在降雨的情况下飞机准点的概率为,则某时降雨且飞机准点的概率为()ABCD【答案】D【分析】根据条件概率计算公式求解概率即可得出答案.【详解】记事件A=“飞机准点”,记事件B=“机场降雨”根据题意,在降雨的情况下飞机准点的概率为
2、: 根据条件概率计算公式,所以某时降雨且飞机准点的概率为,选项ABC错误,选项D正确故选:D.4空气质量指数大小分为五级,指数越大说明污染的情况越严重,对人体危害越大,指数范围在:,分别对应“优”、“良”、“轻度污染”“中度污染”、“重污染”五个等级,下面是某市连续14天的空气质量指数趋势图,下列说法不正确的是()A这14天中空气质量指数为“优良”的频率为B这14天中空气质量指数的中位数是103C从11日到14日空气质量越来越好D连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日【答案】B【分析】结合连续14天的空气质量指数趋势图,逐项判断,即可得到结果.【详解】14天中有:1-3日,7日,12-
3、14日共7天空气质量指数为优成良,所以这14天中空气质量指数为“优良”的频率为,故A正确;14天中的中位数为,故B错误;从11日到14日空气质量指数越来越低,故空气质量越来越好,故C正确;观察折线图可知D正确故选:B5已知一组数据的平均数为,方差为,则另一组数据,的平均数、方差分别为()A,B,C,D,【答案】D【分析】根据平均数和方差的线性运算性质直接求得.【详解】因为一组数据的平均数为,方差为,所以另一组数据,的平均数为,方差为.故选:D6右图是一张“春到福来”的剪纸窗花,为了估计深色区域的面积,将窗花图案放置在边长为的正方形内,在该正方形内随机生成个点,恰有个点落在深色区域内,则此窗花图
4、案中深色区域的面积约为()ABCD【答案】B【分析】设此窗花图案中深色区域的面积为,根据几何概型的概率公式可得出关于的等式,即可解得的值.【详解】设此窗花图案中深色区域的面积为,由几何概型的概率公式可得,解得.故选:B.7函数的图象如图所示,为函数的导函数,下列数值排序正确的是()ABCD【答案】B【分析】过点作切线,过点作切线,连接,得到直线,由导数的几何意义可知(2)(3),整理可得答案【详解】过点作切线,过点作切线,连接,得到直线,由图可知,的斜率的斜率的斜率,即(2)(3),即(3)(3)(2)(2),故选:B8执行如下程序框图,若输入,则输出的值是()A720B120C5040D14
5、40【答案】A【分析】将,输入程序,根据流程图求得输出结果.【详解】,;,;,;,;,;,;输出;故选:A9已知函数(是的导函数),则()A21B20C16D11【答案】B【分析】根据已知求出,即得解.【详解】解:由题得,所以.故选:B10若椭圆的左右焦点分别为、,是椭圆上一点,且与x轴垂直,直线与椭圆的另一个交点为Q,若直线PQ的斜率为,则椭圆的离心率为()ABCD【答案】B【分析】计算出点的坐标,代入直线的斜率公式可得出的关系式,从而可求出离心率.【详解】解:根据题意可设,代入椭圆方程解得,则,则有,所以,解得或(舍去).故选:B.11北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“
6、雪容融”一亮相,好评不断,这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合,是一次现代设计理念的传承与突破为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会,某学校决定派小明和小李等7名志愿者将两个吉祥物安装在学校广场,若小明和小李必须安装同一个吉祥物,且每个吉祥物都至少由三名志愿者安装,则不同的安装方案种数为()A15B30C42D50【答案】B【分析】依题意将7名志愿者分为四人小组与三人小组,再分小明和小李在不在四人小组两种情况讨论,最后按照分类加法计数原理计算可得;【详解】解:依题意一个吉祥物安排4名志愿者,另一个吉祥物安排3名志愿者,四人小组包含小明和小李,则有种,四人小组不包含小明和小李,则有种,综上可
7、得一共有种安排方法;故选:B12已知函数,若过点可作曲线的三条切线,则实数的取值范围是ABCD【答案】C【详解】设切点为 ,则方程, 有三解, 令,则,因此,选C.二、填空题13在的展开式中,的系数为_.(用数字作答)【答案】【分析】由题设可得展开式通项为,进而确定含项的r值,即可求其系数.【详解】由题设,展开式通项为,所以,令有,则的系数为.故答案为:14某单位为了制定节能减排的目标,先调查了用电量y(度)与气温x()之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:气温()1813101用电量(度)24343864由表中数据,得线性回归方程,当气温为5时,预测用电量的度数约为
8、_【答案】70【分析】根据表格中的数据,求出数据的样本中心点,根据样本中心点在线性回归直线上,利用待定系数法求出的值,再将,代入线性回归方程,即可得到预测用电量的度数【详解】由表格,可得,即为:,又在回归方程上,解得:,当时,故答案为:7015已知随机变量服从正态分布,若,则_【答案】0.14 【分析】根据正态曲线的对称性结合,即可求得答案.【详解】因为随机变量服从正态分布,所以,即正态曲线关于直线对称,所以,故答案为:0.1416甲、乙两位同学约定晚饭6点到7点之间在食堂见面,先到之人等后到之人十五分钟,则甲、乙两人能见面的概率为_【答案】0.4375【分析】根据几何概型概率公式即求.【详解
9、】设甲到的时间为x,乙到的时间为y,则试验包含的所有结果所构成的区域为,区域对应的面积为,记事件A为甲、乙两人能见面,所构成的区域为,即阴影部分,面积为,所以甲、乙两人能见面的概率为.故答案为:.三、解答题(1)求a的值,并估计这500名学生一周上网课时间的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)为了了解学生与家长对网课的态度是否具有差异性,研究人员随机抽取了200人调查,所得数据统计如下表所示,判断是否有的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性支持上网课不支持上网课家长3070学生5050附:,其中0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415
10、.0246.6357.87910.828【答案】(1)0.03,13.5h;(2)有【分析】(1)根据频率分布直方图各小矩形的面积之和为1求解,再利用平均数的定义求解;(2)根据列联表求得的值,再与临界值表对照下结论.【详解】(1)解:因为,所以,平均数为;(2)因为,所以有的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性18已知函数()(1)求在处的切线方程;(2)当有3个零点时,求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可.(2)首先利用导数求出函数的极值,根据题意得到,再解不等式组即可.【详解】(1),切点为.,所以切线方程为:.(2),令,解得,.,为增函数,为减
11、函数,为增函数,所以的极大值为,极小值为.因为有个零点时,所以,解得.19某学校用“分制”调查本校学生对本校食堂的满意度,现从学生中随机抽取名,以茎叶图记录了他们对食堂满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):若食堂满意度不低于分,则称该生对食堂满意度为“极满意”.(1)求从这人中随机选取人,至少有人是“极满意”的概率;(2)以这人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校所有学生中(学生人数很多)任选人,记表示抽到“极满意”的人数,求的分布列及数学期望.【答案】(1);(2)分布列见具体解析,.【分析】(1)利用古典概型计算公式与对立事件的概率计算公式即可得出;(2
12、)的可能取值为0,1,2,3,由已知可知,进而得到答案.【详解】(1)由题意,16人中有4人“极满意”,记至少有一人是“极满意”为事件A,则.(2)的可能取值为0,1,2,3,由已知,所以,.所以的分布列为:0123P.20如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是4长为的正方形,侧面PAD底面ABCD,M为PA的中点,PAPD(1)求证:PC平面BMD;(2)求二面角MBDP的大小【答案】(1)证明见解析(2)【分析】连接AC交BD于N,连接由三角形中位线知MNPC即得证;取AD的中点O,连接OP,说明OP、OD、ON两两相互垂直,则分别以OD、ON、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直
13、角坐标系利用向量法即可求出二面角的大小.【详解】(1)连接AC交BD于N,连接在正方形ABCD中,N是AC的中点.又M是AP的中点,MN是的中位线,面BMD,面BMD,平面BMD,(2)取AD的中点O,连接OP,在中,O是AD的中点,又平面平面ABCD,平面PAD,平面平面,平面在正方形ABCD中,O,N分别是AD、BD的中点,OP,OD,ON两两相互垂直,分别以OD,ON,OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设平面MBD的一个法向量,则,即取,得,是平面MBD的一个法向量:同理,是平面PBD的一个法向量,设二面角的大小为,由图可知,且为锐角,故二面角的大小是21已知椭
14、圆的左右顶点分别为A,B,点,连接交椭圆C于点MN,为直角三角形,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线l与椭圆C交于DE两点,若,求证:直线l过定点【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)根据题意知,求出,再由求出,即可求出椭圆的标准方程;(2)设,设的方程为,联立椭圆方程消元后得到韦达定理,由代入求出,即可求出直线恒过的定点.【详解】(1)解:因为为直角三角形,所以由椭圆的对称性知,即,所以,则,代,得,解得,所以椭圆的标准方程为.(2)证明:由题意,可设直线的方程为,联立消去x得,设,则因为,所以,由(1)知,所以,则,将代人上式得,将代人上式,解得,或(舍),故直线l恒过点22已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若关于的不等式恒成立,求的取值范围.【答案】(1)增区间为,减区间为;(2).【分析】(1)当时,求导得,结合定义域由得递增区间,由得递减区间.(2)依题意得恒成立,令,由导数的单调性可得,即对恒成立,进而可得的取值范围.【详解】(1)的定义域为,当时,由得,的增区间为,由得,的减区间为.(2)恒成立,即恒成立.令,则,令,则,所以在内单调递增.因为(),(),所以,使,所以,即,当时,单调递减;当时,单调递增.所以,即恒成立,又因为,所以,所以,当且仅当,时,等号成立,所以的取值范围为.第 15 页 共 15 页