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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2010 届高三数学一轮复习强化训练精品届高三数学一轮复习强化训练精品抛物线抛物线1.设 a0,aR R，则抛物线 y=4ax2的焦点坐标为.答案答案a161,02.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆62x+22y=1 的右焦点重合，则 p 的值为.答案答案43.抛物线 y2=24ax(a0)上有一点 M，它的横坐标是 3，它到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为.答案答案y2=8x4.（20082008重庆文）重庆文）若双曲线222163pyx=1 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上，则 p 的值为.答案答案45.（200
2、82008全国全国文文，1515）已知 F 是抛物线 C：y2=4x 的焦点，A、B 是抛物线 C 上的两个点，线段 AB 的中点为 M（2，2），则ABF 的面积等于.答案答案2例例 1 1已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标.解解将 x=3 代入抛物线方程y2=2x，得 y=6.62，A 在抛物线内部.设抛物线上点 P 到准线 l：x=-21的距离为 d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，当 PAl 时，|PA|+d 最小，基础自测基础自测http:/ 永久免费组卷搜题网h
3、ttp:/ 永久免费组卷搜题网最小值为27，即|PA|+|PF|的最小值为27，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2=2x，得 x=2，点 P 坐标为（2，2）.例例 2 2 已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点 A（m,-3）到焦点 F 的距离为 5，求 m 的值，并写出此抛物线的方程.解解若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为 x2=-2py(p0)，这时准线方程为 y=2p,由抛物线定义知2p-(-3)=5,解得 p=4,抛物线方程为 x2=-8y,这时将点 A（m,-3）代入方程，得 m=26.若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为 y2=2ax(a0)，从
4、p=|a|知准线方程可统一成 x=-2a的形式，于是从题设有9252amma，解此方程组可得四组解29111ma,29122ma,21933ma，21944ma.y2=2x,m=29；y2=-2x,m=-29；y2=18x,m=21；y2=-18x,m=-21.例例 3 3（20082008山东理，山东理，2222 改编）改编）(16 分)如图所示,设抛物线方程为 x2=2py(p0),M 为直线 y=-2p 上任意一点,过 M引抛物线的切线,切点分别为 A,B.(1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列；(2)已知当 M 点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=410.求此时抛物线的方程.
5、(1)证明证明由题意设 Apxx2,211,Bpxx2,222,x1x2,Mpx2,0.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网由 x2=2py 得 y=px22,则 y=px,所以 kMA=px1,kMB=px2.2 分因此,直线 MA 的方程为 y+2p=px1(x-x0),直线 MB 的方程为 y+2p=px2(x-x0).所以,px221+2 p=px1(x1-x0),px222+2 p=px2(x2-x0).5 分由、得221xx=021xxx，因此，x0=221xx，即 2x0=21xx.所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列.8 分（2）解解由（1）知，
6、当 x0=2 时，将其代入、，并整理得：x21-4x1-4p2=0，x22-4x2-4 p2=0，所以，x1、x2是方程 x2-4x-4 p2=0 的两根，10 分因此，x1+x2=4，x1x2=-4 p2，又 kAB=12212222xxpxpx=pxx221=px0，所以 kAB=p2.12 分由弦长公式得|AB|=21k212214)(xxxx=241p21616p.又|AB|=410，所以 p=1 或 p=2，因此所求抛物线方程为 x2=2y 或 x2=4y.16 分http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网1.（20082008辽宁理，辽宁理，1010）已知点
7、P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点，则点 P 到点（0，2）的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为.答案答案2172.已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴正半轴上，设 A、B 是抛物线 C 上的两个动点（AB 不垂直于 x 轴），但|AF|+|BF|=8，线段 AB 的垂直平分线恒经过定点 Q（6，0），求此抛物线的方程.解解设抛物线的方程为 y2=2 p x(p0),其准线为 x=-2p.设 A（x1,y1）,B(x2,y2),|AF|+|BF|=8，x1+2p+x2+2p=8，即 x1+x2=8-p.Q（6，0）在线段 AB 的中垂线上，|QA|=|QB|.即
8、(x1-6)2+y12=(x2-6)2+y22,又 y12=2px1,y22=2px2,(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.AB 与 x 轴不垂直，x1x2,故 x1+x2-12+2p=8-p-12+2 p=0,即 p=4.从而抛物线的方程为 y2=8x.3.已知以向量 v v=21,1为方向向量的直线 l 过点45,0，抛物线 C：y2=2px（p0）的顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上.（1）求抛物线 C 的方程；（2）设 A、B 是抛物线 C 上两个动点，过 A 作平行于 x 轴的直线 m,直线 OB 与直线 m 交于点 N，若OAOB+p2=0（O 为原点，A、B
9、异于原点），试求点 N 的轨迹方程.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解解（1）由题意可得直线 l 的方程为 y=21x+45,过原点垂直于 l 的直线方程为 y=-2x.解得 x=-21.抛物线的顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上，-2p=-212,p=2.抛物线 C 的方程为 y2=4x.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),N(x,y),由题意知 y=y1.由OAOB+p2=0，得 x1x2+y1y2+4=0,又 y12=4x1,y22=4x2,解得 y1y2=-8,直线 ON：y=22xyx，即 y=24yx.由、及 y=y1得点 N 的
10、轨迹方程为 x=-2(y0).一、填空题一、填空题1.若点 P 到点 F（0，2）的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2，则 P 的轨迹方程为.答案答案x2=8y2.设 F 为抛物线 y2=ax(a0)的焦点，点 P 在抛物线上，且其到 y 轴的距离与到点 F 的距离之比为 12，则|PF|=.答案答案2a3.已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是4,27，则|PA|+|PM|的最小值是.答案答案294.已知抛物线 y2=4x,过焦点的弦 AB 被焦点分成长为 m、n（mn)的两段，那么 m+n 与 mn 的大小关系是.答案答案相等5.设坐标原点为 O，抛
11、物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则OAOB=.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网答案答案-436.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点.若FA+FB+FC=0 0,则|FA|+|FB|+|FC|=.答案答案67.（20082008全国全国理理，1515）已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线 C 于 A、B 两点.设|FA|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于.答案答案3+228.（20082008江西理，江西理，1515）过抛物线 x2=2py（p0）的焦点 F 作倾斜
12、角为 30的直线,与抛物线分别交于 A、B 两点（点 A在 y 轴左侧），则FBAF=.答案答案31二、解答题二、解答题9.已知抛物线 y2=2px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为 213，一直角边的方程是 y=2x,求抛物线的方程.解解因为一直角边的方程是 y=2x,所以另一直角边的方程是 y=-21x.由pxyxy222，解得pypx2,或00yx（舍去），由pxyxy2212,解得pypx48,或00yx（舍去）,三角形的另两个顶点为pp,2和（8 p,-4p）.22)4()82(pppp=213.解得 p=54,故所求抛物线的方程为 y2=58x.10.抛物线顶点
13、在原点，它的准线过双曲线2222byax=1（a0,b0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为6,23，求抛物线与双曲线方程.解解由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p=2c.抛物线方程为 y2=4cx.抛物线过点6,23，6=4c23.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网c=1，故抛物线方程为 y2=4x.又双曲线2222byax=1 过点6,23，22649ba=1.又 a2+b2=c2=1.221649aa=1.a2=41或 a2=9（舍）.b2=43，故双曲线方程为 4x2-342y=1.11.如图所示，倾
14、斜角为的直线经过抛物线 y2=8x 的焦点 F，且与抛物线交于 A、B 两点.（1）求抛物线焦点 F 的坐标及准线 l 的方程；（2）若为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P，证明|FP|-|FP|cos2为定值，并求此定值.（1）解解由已知得 2 p=8,2p=2,抛物线的焦点坐标为 F（2，0），准线方程为 x=-2.（2）证明证明设 A（xA，yA），B（xB，yB），直线 AB 的斜率为 k=tan,则直线方程为 y=k(x-2),将此式代入 y2=8x,得 k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,故 xA+xB=22)2(4kk,记直线 m 与 AB 的交点为 E
15、（xE,yE)，则xE=2BAxx=22)2(2kk,yE=k(xE-2)=k4,故直线 m 的方程为 y-k4=-k12242kkx,令 y=0,得点 P 的横坐标 xP=2242kk+4,故|FP|=xP-2=22)1(4kk=2sin4,|FP|-|FP|cos2=2sin4(1-cos2)=22sinsin24=8,为定值.12.已知点 P（-3，0），点 A 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴非负半轴上，点 M 在直线 AQ 上，满足PAAM=0，AM=-23MQ.（1）当点 A 在 y 轴上移动时，求动点 M 的轨迹 C 的方程；http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费
16、组卷搜题网（2）设轨迹 C 的准线为 l,焦点为 F，过 F 作直线 m 交轨迹 C 于 G，H 两点，过点 G 作平行于轨迹 C 的对称轴的直线 n,且 nl=E，试问点 E，O，H（O 为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由.解解（1）设 M（x,y）为轨迹上任意一点，A（0,b）,Q(a,0)(a0),则AM=（x,y-b），MQ=(a-x,-y),AM=-23MQ，（x，y-b）=-23（a-x，-y），ybyxax23)(23，从而ybxa2131.Ay21,0，且PA=2,3y,AM=yx23,.PAAM=0，2,3yyx23,=0，即 3x-43y2=0,y2=4x,故 M 点的轨迹方程为 y2=4x.(2)轨迹 C 的焦点为 F（1，0），准线为 l:x=-1,对称轴为 x 轴.设直线 m 的方程为 y=k(x-1)(k0),由xyxky4)1(2ky2-4y-4k=0,设 G（x1,y1）,H(x2,y2),则由根与系数的关系得，y1y2=-4,又由已知OE=（-1，y1),OH=222,4yy,(-1)y2-y1422y=-y2-421yyy2=-y2+y2=0,OEOH,故 O，E，H 三点共线.