《2022年高考数学二轮复习专题辅导资料专题数学方法之特殊解法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学二轮复习专题辅导资料专题数学方法之特殊解法.docx（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载专题五 ：数学方法之特别解法【考情分析】近年高考题尽量削减繁烦的运算,着力考查同学的规律思维与直觉思维才能,以及观看、分析、比较、 简捷的运算方法和推理技巧,突出了对同学数学素养的考查；试题运算量不大,以熟识型和思维型的题目为主,很多题目既可用通性、通法直接求解 ,也可用“ 特别” 方法求解；其中,配方法、待定系数法、换元法、参数法是几种常用的数学解题方法；这些方法是数学思想的详细表达,是解决问题的手段,它们不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法,事半功倍是它们共同的成效；纵观近几年高考命题的趋势,在题目上仍是
2、很留意特别解法应用,应为他起到避繁就简、防止分类争论、防止转化等作用；猜测 20XX年的高考命题趋势为：（1）部分涉及函数性质、三角函数变形及求值、方程不等式的参数最值、解析几何求值等学问点的题目会用到这几种特别解法；（2）这些解题方法都对应更一般的解法,它们的规律不太简洁把握,但它们在实际的考试中会节约大量的时间,为后面的题目奠定基础；【学问交汇】1换元法解数学题时, 把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法；换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换争论对象,将问题移至新对象的学问背景中去争论,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简
3、洁化,变得简洁处理；换元法又称帮助元素法、变量代换法； 通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来, 隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来；或者变为熟识的形式,把复杂的运算和推证简化；它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在争论方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用；换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等；局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次显现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发觉；例如解不等式：4 x 2 x20,先变形为设 2 x t（t0）,而变为熟识的一元二次不等式求解和指数方程的
4、问题；名师归纳总结 三角换元, 应用于去根号, 或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与第 1 页,共 9 页三角学问中有某点联系进行换元；如求函数yx 1x 的值域时,易发觉x0,1,设 xsin2 , 0, 2,问题变成了熟识的求三角函数值域；为什么会想到如此设,其中主要应当是发觉值域的联系,又有去根号的需要；如变量x、y 适合条件- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x2 y2 r学习必备欢迎下载2 （r0）时,就可作三角代换xrcos 、yrsin 化为三角问题；均值换元,如遇到xy S形式时,设xS 2t,yS 2t 等等；我们使用换元法
5、时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原就,换元后要留意新变量范畴的选取,肯定要使新变量范畴对应于原变量的取值范畴,不能缩小也不能扩大；如上几例中的t0 和 0,2；2待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式 fx gx的充要条件是：对于一个任意的 a 值,都有 fa ga；或者两个多项式各同类项的系数对应相等；待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程；使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判定一个问题是否用待定系数法求解
6、,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,假如具有,就可以用待定系数法求解；例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、 解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解；使用待定系数法,它解题的基本步骤是：第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式；其次步,依据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程；第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决；3参数法参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目争论的数学对象发生联系的新变量（参数）,以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题；直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证；
7、换元法也是引入参数的典型例子；辨证唯物论确定了事物之间的联系是无穷的,联系的方式是丰富多采的,科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系,从而发觉事物的变化规律；参数的作用就是刻画事物的变化状态, 揭示变化因素之间的内在联系；参数表达了近代数学中运动与变化的思想,其观点已经渗透到中学数学的各个分支；运用参数法解题已经比较普遍；参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的内在联系,利用参数供应的信息,顺当地解答问题；4配方（凑）法（1）配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方 ”）的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简；何时配方,需要我们适当猜测,并且合理运用“裂
8、项 ”与“ 添项 ”、“配” 与“ 凑”的技巧,从而完成配方；有时也将其称为“凑配法 ”；最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子显现完全平方；它主要适用于： 已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的争论与求解等问题；（2）配凑法：从整体考察,通过恰当的配凑,使问题明白化、简洁化从而达到比较容易解决问题的方法；常见的配凑方法有：裂项法,错位相减法,常量代换法等；【思想方法】1配方（凑）法典例解析名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1（1）（11 江苏 7）已知学习必备欢迎下载的值为 _ tanx
9、4,2就tanxtan2x解析xxa（2）nt：1txntxx4tx4a1x24txxna42（2）已知长方体的全面积为11,其 12 条棱的长度之和为24,就这个长方体的一条对角线长为（）A23B14C5 D6 分析：设长方体三条棱长分别为x、y、 z,就依条件得：2xy+yz+zx=11,4x+y+z=24；2 2 2 2 2 2而欲求的对角线长为 x y z,因此需将对称式 x y z 写成基本对称式x+y+z 及 xy+yz+zx 的 组 合 形 式 , 完 成 这 种 组 合 的 常 用 手 段 是 配 方 法 , 故x 2y 2z 2 x y z 22 xy yz xz =6 21
10、1=25；2 2 2x y z 5,应选 C；点评：此题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观看和分析三个数学式, 简洁发觉使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解；这也是我们使用配方法的一种解题模式；例 2（1）设F1 和 F2 为双曲线x2y21的两个焦点,点 P 在双曲线上且满意4F1PF2=90,就 F1PF2 的面积是（）|1,而由已知能得到什么呢？A1 B5C2 D52分析：欲求SPF 1F 21|PF 1|PF22由 F1PF2=90,得|PF 12 |PF22 |202,又依据双曲线的定义得| PF1|-| PF2|=4 3,那么 2、3
11、两式与要求的三角形面积 有 何 联 系 呢 ？ 我 们 发 现 将 3 式 完 全 平 方 , 即 可 找 到 三 个 式 子 之 间 的 关 系 . 即名师归纳总结 |PF1|PF2|2|PF1|2|PF22 |2|PF1|PF2|16,第 3 页,共 9 页故|PF 1|PF 2|1|PF 1|2|PF22 |16 14222SPF 1F 21|PF 1|PF 2|1,选 A；2“平方和 ”与“ 和的平方 ”的相互转化；点评：配方法实现了- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）设方程 x学习必备欢迎下载2 +q p2 7成立, 求实数 k 的取值2
12、 kx2=0 的两实根为p、q,如p q范畴；k解析：方程x2 kx2=0 的两实根为p、q,由韦达定理得：pq k,pq 2,2p q2 +q p2 p 4q42 pq22 222 p q2pq22pq222 p qpq2pq2pq24287,解得 k10 或 k 10 ；24又 p、q 为方程 x2 kx2=0 的两实根, k2 80即 k2 2 或 k 2综合起来, k 的取值范畴是：10 k 22 或者22 k10 ；点评：关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“ ”；已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理；此题由韦达定理得到 pq、pq 后,观看已知不等式,从其结构特征联想
13、到先通分后配方,表示成 pq 与 pq 的组合式； 假如此题不对 “ ”争论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对 要尤为留意和重视；2待定系数法典例解析“ ” 的争论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们例 3（11 江苏, 12）在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 是函数fxexx0的图象上的动点,该图象在P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为t,就 t 的最大值是 _ 名师归纳总结 l1:解析：设P x 0,ex 0,就l:yex 0ex 0xx 0,M0,1x ex 0,线第 4 页,共 9 页过点 P
14、作 l 的垂线：yx 0 eex 0xx 0,N0,ex 0x ex 0,t11x e x 0e x 0x ex 0e x 01x ex 0x e022t1 e x 02ex 01x 0；1, 单调减,tmax1e1 e；所以, t 在 0,1 上单调增,在2例4（11安徽文,17）设直yk1x,1l2:yk2x1 ,其中实数k1,k2满意k 1k220.（I）证明1l 与2l 相交；（II）证明1l 与2l 的交点在椭圆2 22x +y =1上 .分析： 此题考查直线与直线的位置关系,线线相交的判定与证明,点在曲线上的判定与- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
15、- - 学习必备 欢迎下载证明,椭圆方程等基本学问,考查推理论证才能和运算求解才能 . 证明：（ I）反证法,假设是 l1与 l2不相交,就 l 1与 l2 平行,有 k1=k2,代入 k 1k2+2=0,得21k 2 0 .此与 k1为实数的事实相冲突 . 从而 k 1 k 2 , 即 l 1 与 l 2 相交 . y k 1 x 1（II）（方法一）由方程组y k 2 x 12x ,k 2 k 1解得交点 P 的坐标 x , y 为k 2 k 1y .k 2 k 12 2 2 2而 2 x 2 y 2 2 2 2 k 2 k 1 2 82 k 22 k 1 2 k 1 k 2 k 12 k
16、 22 41 .k 2 k 1 k 2 k 1 k 2 k 1 2 k 1 k 2 k 1 k 2 4此即说明交点 P x , y 在椭圆 2 x 2 y 21 上 .（方法二）交点 P 的坐标 x , y 满意y 1 k 1 xy 1 k 2 xy 1k 1 ,故知 x 0 . 从而 xk 2 y 1 .x代入 k 1 k 2 2 0 , 得 y 1 y 1 2 .0x x2 2整理后,得 2 x y ,1所以交点 P 在椭圆 2 x 2 y 21 上 .3换元法典例解析例 5（1）（06 江苏卷）设 a 为实数,设函数fx a1x21x1x的最大值为 ga；（）设 t1x1x,求 t 的取
17、值范畴,并把fx表示为 t 的函数 mt；（）求 ga；解析：（）令t1x1x要使有 t 意义,必需1+x0 且 1-x 0,即 -1 x1,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - t222 1x22,4,学习必备欢迎下载t 0 t 的取值范畴是 2, 2. 由得 1 x 2 1t 212mt=a 1 t 2 1 +t= 1 at 2 t a t 2,22 2（）由题意知 ga即为函数 m t 1 at 2t a t 2, 2 的最大值；2留意到直线 t 1是抛物线 m t 1 at 2t a 的对称轴,分以下几种情形争论
18、；a 2（1）当 a0 时,函数 y=mt, t 2, 2 的图象是开口向上的抛物线的一段,由 t 1 0 知 mt 在 2, 2. 上单调递增,ga=m2=a+2 a2当 a=0 时, mt=t, t 2, 2 , ga=2. 3当 a0,求 fx2asinx cosx sinx cosx 2a2 的最大值和最小值；cosx第 6 页,共 9 页解析：设sinx cosx t ,就 t -2 ,2 ,由 sinx cosx2 12sinx 得： sinx cosx t221,fx gt1 2t 2a2 1 2（ a0）,t -2 ,2 ,- - - - - - -精选学习资料 - - - -
19、 - - - - - 学习必备欢迎下载2 a1 2；t -2 时,取最小值：2a2 22 a1 2,当 2a2 时, t 2 ,取最大值：2a22当 02a2 时, t 2a,取最大值：1；21 2 0 a fx 的最小值为 2a 2 2 2 a1,最大值为 2 2；2 2 1 22 a 2 2 a a 2 2点评：此题属于局部换元法,设 sinx cosxt 后,抓住 sinx cosx 与 sinx cosx的内在联系, 将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得简洁求解；换元过程中肯定要留意新的参数的范畴（t -2 , 2 ）与 sinx cosx 对应,否就将会出错；
20、此题解法中仍包含了含参问题时分类争论的数学思想方法,置关系而确定参数分两种情形进行争论；即由对称轴与闭区间的位一般地, 在遇到题目已知和未知中含有 sinx 与 cosx 的和、 差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为 fsinx cosx ,sinxcsox,常常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的争论；名师归纳总结 例 6点 Px,y在椭圆x2y21上移动时,求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y 的最大值；第 7 页,共 9 页4解析：点Px,y在椭圆x2y21上移动,4可设x2cos,ysin2sin于是ux22xy4y2x2y=4cos24si
21、ncos4sin22cos=2 cossin2cossin1令cossint,sincos2sin4, |t| 2 ；于是 u=2 t2t12 t123,|t| 2 22当 t=2 ,即sin41时, u 有最大值； =2k +4kZ时,umax622；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4参数法典例解析例 7（11 辽宁文, 21）如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在x 轴上,椭圆 C2的短轴为 MN ,且 C1,C2的离心率都为 e,直线 lMN ,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四点按纵
22、坐标从大到小依次为 A,B, C,D（I）设 e 1,求 BC 与 AD 的比值；2（II）当 e 变化时, 是否存在直线l,使得 BO AN,并说明理由解：（I）由于 C1, C2 的离心率相同,故依题意可设2 2 2 2 2x y b y xC 1 : 2 2 1, C 2 : 4 2 1, a b 0a b a a设直线 l : x t | t | a ,分别与 C1,C2 的方程联立,求得A t , a a 2t 2, B t , b a 2t 2. 4b a当 e 1时 , b 3a , 分别用 y A , y B 表示 A,B 的纵坐标,可知2 22| BC |:| AD | 2
23、| y B | b2 3 .2 | y A | a 4（II）t=0 时的 l 不符合题意 . t 0 时,BO/AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO与 AN 的斜率 kAN相等,即ba2t2aa2at2,1.abtt解得taab221e2 ea .2b2由于| |a ,又0e1, 所以1ee21,解得2e22所以当0e2时,不存在直线l,使得 BO/AN；2当2 2e1时,存在直线l 使得 BO/AN. 点评：设问形式的存在性问题很常规,但是题目内容却多年不见,考查了点参数问题,名师归纳总结 根本不需要设直线方程,更没有直线与圆锥曲线的联立,这是大部分同学所不适应的；此题第 8 页,共 9
24、页设交点坐标为参数, “设而不求 ”,以这些参数为桥梁建立t 的表达式求解；例 8实数 a、b、c 满意 abc1,求 a2 b2 c2 的最小值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分析：由 abc 1 想到“ 均值换元法”,于是引入了新的参数,即设 a1 3t 1 ,b1 3t 2 ,c1 3t 3 ,代入 a 2 b 2c 2 可求；解析： 由 abc1,设 a1 3 t 1 ,b1 3t 2 ,c1 3t 3 ,其中 t 1 t 2 t 3 0,a 2 b 2 c 2（1 3t 1 ）2 （1 3t 2 ）2 1 3t 3 21
25、 32 3 t 1t2 t3 t 1 2t 2 2 t 3 2 1t 1 2t 2 2 t 3 2 1,3 3所以 a 2 b 2 c 2 的最小值是1；3点评：由“ 均值换元法” 引入了三个参数,却将代数式的争论进行了简化,是此题此种解法的一个技巧；此题另一种解题思路是利用均值不等式和“ 配方法” 进行求解,解法是：；两种a2 b2 c2 abc2 2abbcac12a2 b2 c2 ,即 a2b2 c2 1 3解法都要求代数变形的技巧性强,多次练习,可以提高我们的代数变形才能；【思维总结】1配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式ab2 a2 2abb2 ,将这个公式敏捷运用,可得到
26、各种基本配方形式,如：aaaa2 b2 a b2 2abab2 2ab；2 abb2 ab2 abab2 3abab 22 （3b）2 ；22 b2 c2 abbc ca1 2ab2 bc2 ca2 2 b2 c2 abc2 2abbccaa bc2 2abbc ca结合其它数学学问和性质,相应有另外的一些配方形式,如：1sin2 12sin cos （ sin cos ）2 ；x 2 1 2x1 2 2x1 2 2 ； 等等；x x x2如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析：（1）利用对应系数相等列方程；（2）由恒等的概念用数值代入法列方程；（ 3）利用定义本身的属性列方程； （4）利用几何条件列方程；比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程：第一设所求方程的形式,其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最终解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页