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1、【专题五】数学方法之特殊解法【考情分析】近年高考题尽量减少繁烦的运算，着力考查学生的逻辑思维与直觉思维能力，以及观察、分析、比较、简捷的运算方法和推理技巧，突出了对学生数学素质的考查。试题运算量不大，以认识型和思维型的题目为主，许多题目既可用通性、通法直接求解,也可用“特殊”方法求解。其中，配方法、待定系数法、换元法、参数法是几种常用的数学解题方法。这些方法是数学思想的具体体现，是解决问题的手段，它们不仅有明确的内涵，而且具有可操作性，有实施的步骤和作法，事半功倍是它们共同的效果。纵观近几年高考命题的趋势，在题目上还是很注意特殊解法应用，应为他起到避繁就简、避免分类讨论、避免转化等作用。预测
2、2013 年的高考命题趋势为：（1）部分涉及函数性质、三角函数变形及求值、方程不等式的参数最值、解析几何求值等知识点的题目会用到这几种特殊解法；（2）这些解题方法都对应更一般的解法，它们的规律不太容易把握，但它们在实际的考试中会节省大量的时间，为后面的题目奠定基础；【知识归纳】1换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以
3、把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式： 422 0，先变形为设 2t（t0 ） ，而变为熟悉的一元
4、二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数yx1x的值域时，易发现x0,1 ，设xsin ， 0,2 ，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件xyr （r0）时，则可作三角代换xrcos 、yrsin 化为三角问题。均值换元，如遇到xyS形式时，设xS2t ，yS2t 等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能
5、扩大。如上几例中的t0 和 0,2 。2待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求
6、和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。3参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也
7、是引入参数的典型例子。辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。4配方（凑）法（1）配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“ 完全平方 ” ）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。 何时配方， 需要我们适当预测，并且合理运用 “
8、裂项 ” 与 “ 添项” 、 “ 配” 与“ 凑 ” 的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“ 凑配法 ” 。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题。（2）配凑法：从整体考察，通过恰当的配凑，使问题明了化、简单化从而达到比较容易解决问题的方法。常见的配凑方法有：裂项法，错位相减法，常量代换法等。【考点例析】1配方（凑）法典例解析例 1（1）（2012 高考重庆） 设tan,tan是方程2320 xx的两个根， 则tan()的值为（）（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3 【答案】 A；【
9、解析】因为tan,tan是方程2320 xx的两个根，所以3tantan，2tantan，所以3213tantan1tantan)tan(，选 A. （ 2）已知长方体的全面积为11，其 12 条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）(A)32(B)14(C)5 (D)6 分析：设长方体三条棱长分别为x、y、z，则依条件得：2(xy+yz+zx)=11，4(x+y+z)=24。而欲求的对角线长为222zyx，因此需将对称式222zyx写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的 组 合 形 式 ， 完 成 这 种 组 合 的 常 用 手 段 是 配 方 法 ， 故)(2)(222
10、2xzyzxyzyxzyx=6211=25。5222zyx，应选 C。点评：本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页例2 （ 1）设F1和F2为双曲线1422yx的两个焦点,点P 在双曲线上且满足F1PF2=90 ，则 F1PF2的面积是（）(A)1 (B)25(C)2 (D)5分析：欲求|212121PFPFSFPF(1)，而由已知能
11、得到什么呢？由 F1PF2=90 ，得20|2221PFPF(2)，又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4 (3)，那么 (2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联 系 呢 ？ 我 们 发 现 将 (3) 式 完 全 平 方 ， 即 可 找 到 三 个 式 子 之 间 的 关 系 . 即16|2|212221221PFPFPFPFPFPF，故2421)16|(|21|222121PFPFPFPF1|212121PFPFSFPF，选 (A)。点评：配方法实现了“ 平方和 ” 与“ 和的平方 ” 的相互转化。（2）设方程x2kx 2=0 的两实根为p、q，若 (pq)2+(qp)27成立，
12、求实数k 的取值范围。解析：方程x2kx2=0 的两实根为p、q，由韦达定理得：pq k，pq2，(pq)2+(qp)2pqpq442()()()pqp qpq2222222()()pqpqp qpq2222222()k224847 ，解得 k 10或 k10。又 p、q 为方程 x2kx2=0 的两实根，k280 即 k22或 k 22综合起来， k 的取值范围是：10k 2 2或者2 2k10。点评：关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pq、pq 后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p q 与
13、 pq 的组合式。假如本题不对“ ” 讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“ ” 的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。2待定系数法典例解析例 3 （2012 高考浙江） (本小题满分15 分)如图，椭圆C：2222+1xyab(ab0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页10 不过原点O 的直线 l 与 C 相交于 A，B两点，且线段AB 被直线 OP 平分( )求椭圆 C 的方程；( ) 求ABP 的面积取最大时直线l 的方程【
14、命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。【答案】 ()由题：12cea； (1) 左焦点 (c，0)到点 P(2，1)的距离为：22(2)1dc10 (2) 由(1) (2) 可解得：222431abc，所求椭圆C 的方程为：22+143xy( )易得直线OP 的方程： y12x，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)， R(x0， y0)其中 y012x0A，B 在椭圆上，220220+12333434422+143AAABABABABABBBxyxyyxxkxxyyyxy设直线 AB 的方程为l：y32xm(m0)，代入椭圆
15、：2222+143333032xyxmxmyxm-显然222(3)43(3)3(12)0mmm12 m12 且 m0由上又有：ABxx m，AByy 233m|AB|1ABk|ABxx |1ABk2()4ABABxxx x1ABk243m点 P(2，1)到直线 l 的距离表示为：3 1211ABABmmdkkSABP12d|AB|12|m2|243m，当|m2|243m，即 m 3 或 m0(舍去 )时， (SABP)max12此时直线l 的方程 y3122x例 4 （2012 高考新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线xy162的准线交于,A B两点，4 3AB；则C的实
16、轴长为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页()A2()B2 2()C()D【答案】 C；【解析】设等轴双曲线方程为)0(22mmyx，抛物线的准线为4x，由34AB,则32Ay,把坐标)32,4(代入双曲线方程得4121622yxm，所以双曲线方程为422yx，即14422yx，所以2, 42aa，所以实轴长42a，选 C. 3换元法典例解析例5 （ 1 ） （ 2012年 高 考 重 庆 ） 设 函 数2( )43, ( )32,xf xxxg x集 合|( ( )0,MxRf g x|( )2,NxR g x
17、则MN为（）A(1,)B(0,1) C (-1,1) D(,1)【答案】：D；【解析】由( ( )0fg x得2( )4 ( )30gxg x则( )1g x或( )3g x即321x或323x所 以1x或3log 5x; 由( )2g x得322x即34x所 以3log 4x故(,1)MN【考点定位】本题考查了利用整体代换，直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法 .本题以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定. （2）设 a0，求 f( x) 2a(sin xcosx)sin xcosx2a 的最大值和最小值。解析：设sin x cosxt ，则t -2,2 ，由 (sin
18、 x cosx) 12sin xcosx 得：sin xcosxt212，f( x) g(t)12(t 2a)12（a0） ，t -2,2 ，t -2时，取最小值：2a22a12，当 2a2时， t 2，取最大值：2a22a12；当 01） ，则 f(x)的值域是 _。3.已知数列 a中， a 1，an 1 aan 1 a，则数列通项a_。4.设实数 x、y 满足 x2xy10，则 x y 的取值范围是_。5.方程1313xx3 的解是 _。6.不等式 log (2 1) log (2x 12)2 的解集是 _。7 设 2351，则 2x、3y、 5z 从小到大排列是_。8 若 k0 时， f
19、(x)0 的解集是 (12,13)，则 ab 的值是 _。A. 10 B. 10 C. 14 D. 14 15(1x)（1x）10的展开式中，x 的系数是 _。A. 297 B.252 C. 297 D. 207 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页16 函数 yabcos3x (b0)的最大值为32，最小值为12，则 y 4asin3bx 的最小正周期是 _。17 与直线 L：2x3y50 平行且过点A(1,-4)的直线 L 的方程是 _。18 与双曲线xy241 有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是_
20、。【参考答案】1 小题：设sinx+cosx t2,2，则 yt22t12，对称轴t 1，当 t2，ymax122；2 小题：设 x1t (t 1)，则 f(t)log -(t-1) 4，所以值域为( ,log4；3 小题：已知变形为11an1an 1,设 b1an，则 b 1,b 1(n1)(-1) n，所以 a1n；4 小题：设 xyk，则 x2kx10, 4k4 0, 所以 k1或 k 1；5 小题：设 3 y，则 3y2y10,解得 y13，所以 x 1；6 小题：设log (21)y，则 y(y1)2，解得 2y1，所以 x(log54,log3)。7 小题：设2 35t，分别取2、
21、3、5 为底的对数，解出x、y、z，再用 “ 比较法 ” 比较2x、3y、5z，得出 3y2x5z；8 已知曲线为椭圆，a1， c11k，所以 e1kkk2；9 小题：设 zb，则 C 1b2，所以图像为：从(1,2)出发平行于x 轴向右的射线；10 小题：设三条侧棱x、 y、z，则12xy 6、12yz4、12xz3,所以 xyz24,体积为 4。11 小题： f(0)0，f(0)f(x)f(-x)，所以 f(x)是奇函数，答案：减；12 小题：设x4sin 、y2cos ，再求 d| sincos|4425的最大值，选C。13 小题：由f(x)x2 m 求出 f1(x)2x 2m，比较系数
22、易求，选C；14 小题： 由不等式解集 (12,13)，可知12、13是方程 axbx20 的两根， 代入两根，列出关于系数a、b 的方程组，易求得ab，选 D；15 小题：分析x 的系数由C105与(1)C102两项组成，相加后得x 的系数，选D；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页16 小题： 由已知最大值和最小值列出a、 b 的方程组求出a、b 的值，再代入求得答案23；17 小题：设直线L 方程 2x3yc0，点 A(1,-4)代入求得C10，即得 2x 3y100；18 小题：设双曲线方程xy24 ，点 (2,2)代入求得 3，即得方程x23y2121。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页