2022年高中数学-..函数模型的应用实例学案-新人教A版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载32.2 函数模型的应用实例 学习目标 1. 会利用已知函数模型解决实际问题.2. 能建立函数模型解决实际问题 预习导引 1解决函数应用问题的基本步骤 利用函数学问和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行： 一 审题； 二 建模； 三 求模； 四 仍原这些步骤用框图表示如图：2数学模型 就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题,得出关 于实际问题的数学描述解决同学疑难点要点一 用已知函数模型解决问题 例 1 通过讨论同学的学习行为,心理学家发觉,同学接受才能依靠于老师引入概念和描述 问题

2、所用的时间讲座开头时,同学的爱好激增,中间有一段不太长的时间,同学的爱好保 持较抱负的状态,随后同学的留意力开头分散,分析结果和试验说明,用 f x 表示同学把握 和接受概念的才能 f x值越大,表示接受的才能越强 ,x 表示提出和讲授概念的时间 单位：min ,可有以下的公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0.1 x精品资料欢迎下载22.6 x43,0x10,f x 59,10x16,3x 107,16x30.1 开头后多少分钟,同学的接受才能最强？能维护多长时间？2 开讲后 5 min 与开讲后 20 mi

3、n 比较,同学的接受才能何时强一些？3 一个数学难题, 需要 55 的接受才能以及 接受才能的状态下讲授完这个难题？解 1 当 0x10 时,13 min 时间, 老师能否准时在同学始终达到所需f x 0.1 x22.6 x43 0.1 x13259.9. 故 f x 在0,10 上单调递增,最大值为 f 10 0.1 3 259.9 59；当 16x30 时, f x 单调递减,f x 3 16 107 59. 因此,开讲后10 min ,同学达到最强的接受才能 值为 59 ,并维护 6 min. 2 f 5 0.1 5 13259.9 59.9 6.4 53.5 ,f 20 3 20 10

4、74753.5 f 5 因此,开讲后5 min 同学的接受才能比开讲后20 min 强一些3 当 0x10 时,令 f x 55,就0.1 x 132 4.9 , x13249. 所以 x20 或 x6. 但 0x10,故 x6. 当 16x30 时,令 f x 55,就 3x10755. 1 所以 x17 3. 因此,同学达到 或超过 55 的接受才能的时间为 1 1 17 3611 3 13min ,所以老师来不及在同学始终达到所需接受才能的状态下讲授完这道难题规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题,关键是考虑该题考查的是哪种函数,并要注 意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最终

5、结合其实际意义作出解答解决此类型函数应用题的基本步骤是：第一步：阅读懂得,审清题意读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字表达,懂得表达所反映的实际背景在此基础上,分 析出已知是什么,所求是什么,并从中提炼出相应的数学问题名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载其次步：依据所给模型,列出函数关系式依据问题的已知条件和数量关系,建立函数关系式,在此基础上将实际问题转化为一个函数问题第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题 第四步：再将所得结论转译成详细问题的解答 即数学模型 予以解答,求得结果跟踪演练 1 统

6、计说明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为 y 升 关于行驶速度1 3x 千米 / 时 的函数解析式可以表示为：y12 800x 380x80 x120已知甲、乙两地相距 100 千米当汽车以 40 千米 / 时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升？100解 当 x 40 时 , 汽 车 从 甲 地 到 乙 地 行 驶 了 40 2.5 小 时 , 要 耗 油1 312 800 40 380 40 8 2.5 28.75 升 ,即当汽车以 40 千米 / 时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 28.75 升要点二 建立函数模型解决实际问题例 2 提高过江大桥的车辆通行才能可改善整

7、个城市的交通状况在一般情形下,大桥上的车流速度 v 单位：千米 / 时 是车流密度 x 单位：辆 / 千米 的函数当桥上的车流密度达到200 辆/ 千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/ 千米时,车流速度为 60 千米 / 时讨论说明：当 20 x200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数1 当 0 x200 时,求函数 v x 的表达式；2 当车流密度 x 为多大时,车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位：辆/ 时 f xxv x 可以达到最大,并求出最大值 精确到 1 辆 / 时 解 1 由题意：当 0 x20 时, v x 60；当 20

8、x200 时,设 v x axb,200ab0,再由已知得20ab60,1a3,解得b200 3 .故函数 v x 的表达式为60,0 x20,v x 1x,20 x200.32 依题意并由 1 可得名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载60x,0 x20,f x 13xx,20 x200.当 0x20 时, f x 为增函数,故当 x20 时,其最大值为 60 20 1 200 ；1当 20 x200 时, f x3x200 x 1 200 13x 23x3 x 2200x 1 10 0003 x1

9、00 23,10 000所以当 x100 时, f x在区间 20,200 上取得最大值 3 . 综上,当 x 100 时, f x 在区间 0,200 上取得最大值10 00033 333 ,即当车流密度为 100 辆 / 千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/ 时规律方法 依据收集到的数据的特点,通过建立函数模型,解决实际问题的基本过程,如下图所示跟踪演练 2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M 亿元 和 N 亿元 ,它们1 1与投资额 t 亿元 的关系有体会公式：M3 t ,N6t ,今该公司将用 3 亿元投资这两个项目,如设甲项目投资 x 亿元,投资这两

10、个项目所获得的总利润为 y 亿元1 写出 y 关于 x 的函数表达式；2 求总利润 y 的最大值名师归纳总结 解1 当甲项目投资x 亿元时,获得利润为M1x 亿元 ,此时乙项目投资3 x 亿元,第 4 页,共 12 页3获得利润为N1 63 x 亿元 ,就有 y1x1 63 x ,x0,3 32 令x t ,t 0 ,3 ,就 x t2,此时 y1 3t 1 63 t2 1 6 t 122 3. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载t 0 ,3 ,当 t 1,即 x 1 时, y 有最大值为2 3. 即总利润 y 的最大值是2 3亿元1

11、. 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,如下列图,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是 A310 元 B 300 元C390 元 D 280 元答案B 1,800 ,2,1 300,可求得解析式y500x300 x0 ,解析由图象知,该一次函数过当 x0 时, y300. 2小明的父亲饭后出去漫步,从家中走20 分钟到一个离家900 米的报亭看10 分钟报纸后,用 20 分钟返回家里,下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是 答案 D 名师归纳总结 3某种细胞分裂时,由1 个分裂成 2 个, 2 个分裂成 4 个, 现有2 个这样的细胞

12、,分裂第 5 页,共 12 页x 次后得到细胞的个数y 与 x 的函数关系是 Ay2x B y2x1Cy2x D y2x1答案D 解析分裂一次后由2 个变成 2 2 2 2 个,分裂两次后4 2 23 个, ,分裂x 次后 y2x1 个- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载4长为 3,宽为 2 的矩形, 当长增加 x,宽削减x 2时,面积达到最大, 此时 x 的值为 _1 答案 2 2 解析 S3 x2 x 2 x 2x 26 1 1 492 x2 28,1 49x2时, Smax8 . 1. 函数模型的应用实例主要包括三个方面：1 利用

13、给定的函数模型解决实际问题；2 建立确定性的函数模型解决实际问题；3 建立拟合函数模型解决实际问题2在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要留意自变量的取值范畴,二是要检验所得结果,必要时运用估算和近似运算,以使结果符合实际问题的要求3在实际问题向数学问题的转化过程中,要充分使用数学语言,如引入字母,列表,画图等 使实际问题数学符号化一、基础达标 1某同学家门前有一笔直大路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往,他从前进了 a km,觉得有点累, 就休息了一段时间,想想路途遥远, 有些泄气, 就沿原路返回骑了 b kmba,当他记起诗句“ 不到长城非英雄” ,便调转车头连续前进,就该同学

14、离起点的距离与时间的函数关系图象大致为 答案C 解析由题意可知, s 是关于时间t 的一次函数,所以其图象特点是直线上升由于中间休息了一段时间,该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段然后原路返回,图象下降,再 调转车头连续前进,就直线一样上升名师归纳总结 2国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：第 6 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 运输距离精品资料欢迎下载1 000 x0x500xxkm5001 0001 500邮资 y 元 5.006.007.00 假如某人在西安要快递800 g 的包裹到距西安1 200 km的某地,

15、那么他应对的邮资是A5.00 元 B 6.00 元 C 7.00 元 D 8.00 元答案 C 解析 由题意可知,当 x 1 200 时, y7.00 元3某机器总成本 y 万元 与产量 x 台 之间的函数关系式是 yx 275x,如每台机器售价为25 万元,就该厂获利润最大时应生产的机器台数为 A30 B 40 C 50 D 60 答案 C 解析 设支配生产 x 台,就获得利润f x 25xy x 2100x x 50 22 500. 故当 x50 台时,获利润最大4 根 据 统 计 , 一 名 工 人 组 装 第x 件 某 产 品 所 用 的 时 间 单 位 ： 分 钟 为f x A 件产

16、c x,xA, A,c 为常数 已知工人组装第4 件产品用时30 min ,组装第c, xAA品用时 15 min ,那么 c 和 A 的值分别是 A75,25 B 75,16 C60,25 D 60,16 答案 D c c解析 由题意知,组装第 A 件产品所需时间为15,故组装第 4 件产品所需时间为A 4c30,解得 c 60. 将 c 60 代入15,得 A16. A5某工厂生产某产品 x 吨所需费用为 P 元,而卖出 x 吨的价格为每吨 Q元,已知 P1 0005x10x 1 2,Qax b,如生产出的产品能全部卖出,且当产量为 150 吨时利润最大,此时每吨的价格为 40 元,就有

17、Aa45,b 30 B a30,b 45 Ca 30,b 45 D a 45,b 30 名师归纳总结 答案A 第 7 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析精品资料欢迎下载设生产 x 吨产品全部卖出,获利润为y 元,就 yxQPx ax b 1 000 5x10x 1 2b 1 10x 2 a5 x1 000 x0 由题意知,当 x150 时, y 取最大值,此时 Q40. a51 1150,2 b10 解得 a45,b 30.150ab40,6已测得 x, y 的两组值为 1,2, 2,5 ,现有两个拟合模型,甲：yx 21,乙： y

18、3x1. 如又测得 x,y 的一组对应值为 3,10.2,就选用 _作为拟合模型较好答案 甲解析 对于甲： x3 时, y3 2110,对于乙： x3 时, y8,因此用甲作为拟合模型较好7武汉市的一家报摊主从报社买进武汉晚报的价格是每份0.40 元,卖出的价格是每份0.50 元,卖不掉的报纸仍可以以每份 0.08 元的价格退回报社在一个月 以 30 天运算 里,有 20 天每天可卖出 400 份,其余 10 天每天只能卖出 250 份,但每天从报社买进的份数必需相同,他应当每天从报社买进多少份,才能使每月所获得的利润最大？并运算他一个月最多可赚得多少元？解设报摊主每天买进报纸x 份,每月利润

19、为y 元 x 为正整数 当 x250 时, y0.1 30 x3x. 当 250 x400 时,y0.1 20 x0.1 10 250 x250 0.32 102x2503.2 x800 1 050 1.2 x. 当 x400 时,y0.1 20 4000.1 10 250 x400 0.32 20 x250 0.32 108002506.4 x2 560 3.2 x800 9.6 x4 410. 当 x250 时,取 x250, ymax3 250 750 元 当 250 x400 时,取 x 250,ymax750 元 当 x400 时,取 x400, ymax570 元 名师归纳总结 故

20、他应当每天从报社买进250 份报纸,才能使每月所获得的利润最大,最大值为750 元第 8 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二、才能提升8衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过 t 天后体积 4 9a. 如一个新丸体积变V 与天数 t 的关系式为： Va ekt . 已知新丸经过50 天后,体积变为为8 27a,就需经过的天数为 A125 B 100 C 75 D 50 答案C 1. 解析由已知,得4 9a a e50k,ek4509设经过 t 1 天后,一个新丸体积变为8 27a,就8

21、27aa e kt 1,8 27ekt 14 9 50 1t,t 1 503 2,t 175. 9“ 学习曲线” 可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数 t 144lg 1N 90中, t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N 表示每分钟打出的字数就当 N40 时, t _ 已知 lg 2 0.301 ,lg 3 0.477 答案36.72 40 90 144lg 5 9 144lg 52lg 336.72. 解析当 N 40 时,就 t 144lg110. 如下列图,某池塘中浮萍扩散的面积ym 2 与时间 t 月 的关系 yat,有以下几种说法：这个指数函数的底数为2；第 5 个月时

22、,浮萍面积就会超过 30 m 2；浮萍从 4 m 2扩散到 12 m 2 需要经过 1.5 个月；浮萍每月增加的面积都相等名师归纳总结 其中正确的命题序号是_第 9 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案精品资料欢迎下载解析 由图象知, t 2 时, y4,a 24,故 a2,正确当 t 5 时, y2 53230,正确,当 y4 时,由 4 2t 1知 t 12,当 y12 时,由 122t2知 t2log2122log23. t2t1log23 1.5 ,故错误；浮萍每月增长的面积不相等,实际上增长速度越来越快,错误11在对口扶贫活

23、动中,为了尽快脱贫 无债务 致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿仍的小型残疾人企业乙,并商定从该店经营的利润中,第一保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿仍转让费 不计息 依据甲供应的资料有：这种消费品的进价为每件 14 元；该店月销量 Q 百件 与销售价格 P 元 的关系如下图所示；每月需各种开支 2 000 元1 当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额2 企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫？解设该店月利润余额为L,就由题设得：LQ P14 100 3

24、600 2 000. 2P50,14 P20,由销量图易得：Q3 2P40,20P26,代入式得L2PP5 600 ,14 P20,3 2PP5 600 ,20P26,1 当 14 P20 时, Lmax 450 元 ,此时 P19.5 元 ；当 20P26 时, Lmax1 250 3 元 ,此时 P61 3 元 故当 P19.5 元 时,月利润余额最大,最大余额为 450 元2 设可在 n 年后脱贫,依题意有名师归纳总结 12n 450 50 000 58 0000,解得n20.第 10 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即最早可望

25、在20 年后脱贫精品资料欢迎下载三、探究与创新12物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是 T0,经过一t定时间 t 后的温度是 T,就 TTa T0Ta 12 h,其中 Ta 表示环境温度, h 称为半衰期 现有一杯用 88热水冲的速溶咖啡,放在 24的房间中,假如咖啡降温到 40需要 20 min ,那么降温到 35时,需要多少时间？20解 由题意知 40 2488 24 12 h,20即 1412 h,解得 h10. t故 T2488 24 12 10 . 当 T35 时,代入上式,得t3524 88 24 12 10,t即 12 101164. 两边取对数,用

26、运算器求得 t 25.因此,约需要 25 min ,可降温到 35.13今年冬季, 我国大部分地区遭受雾霾天气,给人们的健康、 交通安全等带来了严峻影响经讨论, 发觉工业废气等污染物排放是雾霾形成和连续的重要因素,污染治理刻不容缓为此,某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染 已知过滤过程中废气的污染物数量 P 单位： mg/L 与过滤时间 t 单位： 小时 间的关系为 PP0ekt P0,k 均为非零常数, e 为自然对数的底数 ,其中 P0为 t 0 时的污染物数量 如经过 5 小时过滤后仍剩余 90%的污染物1 求常数 k 的值；2 试运算污

27、染物削减到40%至少需要多少时间 精确到 1 小时,参考数据： ln 0.2 1.61 ,ln 0.3 1.20 ,ln 0.4 0.92 ,ln 0.5 0.69 ,ln 0.9 0.11. 解1 由已知,当t 0 时, PP0；当 t 5 时, P90%P0. 名师归纳总结 于是有 90%P0 P0e5k . 第 11 页,共 12 页解得 k1 5ln 0.9或 0.022 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 由1 得,知 PP 0e1In0.9t. 精品资料欢迎下载5名师归纳总结 当 P40%P0 时,有 0.4 P0P 0e1In0.9t. 第 12 页,共 12 页5解得 t ln 0.41 0.924.60 0.1141.8 2. 1 5ln 0.95故污染物削减到40%至少需要 42 小时- - - - - - -