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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 抽象函数特殊模型抽象函数；正比例函数 fx=kx k 0 fx+y=fx+fy 幂函数 fx=xnfxy=fxfy 或fxfx yfy指数函数 fx=ax a0且 a 1 fx+y=fxfy 或fxyfxfy对数函数 fx=logax a0且 a 1 fxy=fx+fy 或fxfxfyy正、余弦函数 fx=sinx fx=cosx fx+T=fx 正切函数 fx=tanx fxyfxxfy1ffy余切函数 fx=cotx fxy1fxfyfxfy一. 定义域问题 -多为简洁函数与复合函数的定义域互求；例 1. 如函数 y = f（x）的定义域是
2、 2,2 ,就函数 y = f（x+1）+f（x1）的定义域为练习： 已知函数 fx 的定义域是,1 2,求函数flog13x的定义域；2例 2：已知函数flog3x的定义域为 3 ,11 ,求函数 fx 的定义域；练习： 定义在 8,3 上的函数 fx 的值域为 2 , 2,如它的反函数为 f-1x ,就 y=f-12-3x 的定义域为,值域为；二、求值问题 -抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决；例 3. 对任意实数 x,y ,均满意 fx+y 2=fx+2fy 2 且 f1 0, 就 f2001=_. R 上的奇函数y=fx 有反函数y=f-1x, 由 y=
3、fx+1 与 y=f-1x+2 互为反函数,就f2022= . 例 4. 已知 fx 是定义在 R 上的函数, f1=1, 且对任意 xR 都有 fx+5 fx+5,fx+1fx+1. 如 gx=fx+1-x, 就 g2002=_. 练习： 1. fx 的定义域为 0, ,对任意正实数 x,y 都有 fxy=fx+fy 且 f4=2 ,就 22. 假如 f x y f x f y , 且 f 1 ,2 就 f 2 f 4 f 6 f 2000 的值是；f 1 f 3 f 5 f 2001 f 2 1 f 2 f 22 f 4 f 23 f 6 f 24 f 8 . f 1 f 3 f 5 f
4、73、对任意整数 x, y 函数 y f x 满意：f x y f x f y xy 1,如 1f 1,就 f 8 A.-1 B.1 C. 19 D. 43 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、函数 fx 为 R上的偶函数,对 xR都有f x6f x f3成立,如f1 2,就f2005 =（） A . 2005 B. 2 C.1 D.0 5、定义在 R 上的函数 Y=fx 有反函数 Y=f-1x ,又 Y=fx 过点（ 2,1）,Y=f2x 的反函数为Y=f-12x ,就 Y=f-116 为（）A）1 B）1
5、 C）8 D）16 8 166、已知 a 为实数,且 0 a ,1 f x 是定义在 0,上的函数,满意 f 0 ,0 f 1 ,1 对全部 x y ,均有 f x y 1 a f x af y 21 求 a 的值 2 求 f 1 的值7三、值域问题例 4. 设函数 fx 定义于实数集上, 对于任意实数 x、y,fx+y=fxfy总成立,且存在x 1x 2,使得fx 1fx 2,求函数 fx 的值域；四、求解析式问题（换元法,解方程组,待定系数法,递推法,区间转移法,例 5. 已知 f1+sinx=2+sinx+cos2x, 求 fx 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共
6、 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6、设对满意 x 0,x 1 的全部实数 x,函数 fx 满意,fxfxx11x , 求 fx 的解析式；例 7. 已知 fx 是多项式函数,且fx+1+fx-1=2x2-4x, 求 fx. 例 8. 是否存在这样的函数fx,使以下三个条件 : fn0,nN;fn1+n2=fn1fn2,n1,n 2N*; f2=41同时成立 . 如存在 , 求出函数 fx的解析式；如不存在,说明理由. 恒成立,当x,23时,fxx,例9、已知fx是定义在 R上的偶函数, 且fx3fx22就x2 ,0 时,函数f x的解析式为（） A x2 Bx4
7、 C2x1 D 3x12.练习： 1、设yfx是实数函数 即xf,x 为实数,且fx2f1x,求证:|fx|2x32. （重庆）已知定义域为R的函数 fx 满意 f f x- x 2+x=f x- x 2+x.x0,使得 f x0=x0,（）如f 2=3 ,求f 1 ；又如f 0= a,求f a ；（）设有且仅有一个实数 求函数 f x 的解析表达式；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、函数 f x 对一切实数 x,y 均有 f x+y- f y= x+2y+1x 成立,且 f 1=0 ,（1）求f0的值；（
8、2）对任意的五、单调性问题x 10,1,x 20,1,都有 f x1+20 时 fx0时,fx1, 且对于任意实数 x、y,有 fx+y=fxfy,求证： fx 在 R上为增函数；例 11、已知偶函数 f x 的定义域是 x 0 的一切实数,对定义域内的任意 x1, x2 都有f x 1 x 2 f x 1 f x 2 ,且当 x 1 时 f x 0, f 2 1,（1）f x 在0,+ 上是增函数； （2）解不等式 f 2 x 21 2练习： 已知函数f x 的定义域为 R,且对m、nR,恒有f m+n=f m+ f n 1, 且f 1 =0,2当 x1 时, f x0. 求证： f x 是
9、单调递增函数；24 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 12、定义在 R +上的函数 fx 满意 : 对任意实数 m,fx证:fxy=fx+fy 对任意正数 x,y 都成立 ; 2如 fx+fx-32, 求 x 的取值范畴 . m=mfx; f2=1 ；1 求证明 fx 是 R +上的单调增函数 ; 3练习 1：已知 f x 是定义在 0 , 上的单调增函数,对于 任意的 m、n m , n 0 , 满意f m f n f m n , 且 a、b 0 a b 满意 f a f b 2 f a b2 1 求 f 1
10、 ;. 2 如 f 2 1,解不等式 f x 2 ;. . 3 求证：3 b 2 2练习 2 定义在 R上的函数 y=f （x）,f （0） 0,当 x0 时, f （x） 1,且对任意的 a、bR,有f（a+b）=f（a）f （b）. （1）求证： f （0）=1；（ 2）求证：对任意的 xR,恒有 f （x）0；（ 3）求证： f （x）是 R上的增函数；（ 4）如 f （x）f （2xx 2） 1,求 x 的取值范畴 . 练习 3. 设 f （x）是定义在 R上的奇函数,且对任意a,b,当 a+b 0,都有fafb0 ab（1）. 如 ab,试比较 f （a）与 f （b）的大小；（2）
11、. 如 f （k 3 x f 3 x9 x2 0 对 x 1,1 恒成立,求实数 k 的取值范畴；练习 4、已知函数 fx 对任何正数 x,y 都有 fxy=fxfy, 且 fx 0, 当 x1 时,fxun n N*. 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 定义域为 R的函数 fx 满意：对于任意的实数 x,y都有 fx+y=fx+fy 成立,且当 x0时fx 0恒成立 . 1 判定函数 fx 的奇偶性,并证明你的结论；上 总 有 fx6 成 立,试2 证明fx 为减函数；如函数 fx 在-3 ,3）确 定
12、 f1 应 满 足 的 条 件；1 2 1 2 3 解关于 x 的不等式 f ax f x f a x f a , n 是一个给定的自然数 , a 0n n3、已知 f x 是定义在1,1上的奇函数,且 f 1=1, 如 a, b 1,1 , a+b 0 时,有 f a f b a b0. 1 判定函数 f x 在 1,1上是增函数,仍是减函数,并证明你的结论；2 解不等式：f x+ 1 f 1 ; 2 x 13 如 f x m 22pm+1 对全部 x 1,1 , p 1,1 p 是常数）恒成立,求实数m的取值范畴 . 七、周期性与对称性问题（由恒等式简洁判定：同号看周期,异号看对称）编号f
13、x周f期a性fxaffx对称性a对称轴xay f x a 是偶函1 axT=2a数；xa对称中心（a,0 ）y f x a 是fxa奇函数f a x f b x对称轴 x a b；2 f a x f b xT= b a 2f a x f b x对称中心 a b , 0 ；23 fx= -fx+aT=2a fx= -f-x+a对称中心 a2 , 04 f aT=2 xb f ba xf a x f b x对称中心 a2 b0,fx= 1T=2a fx= b-f-x+a对称中心 a, b5 f x 2 2fx=1-1 f x 0f x a6 T=3a结论：1 函数图象关于两条直线 x=a,x=b
14、对称,就函数 y=fx 是周期函数,且 T=2|a-b| 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 函数图象关于点 Ma,0 和点 Nb,0 对称,就函数 y=fx 是周期函数,且T=2|a-b| 3 函数图象关于直线x=a,及点 Mb,0 对称,就函数 y=fx 是周期函数,且）T=4|a-b| 4 应留意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区分: y=fa+x 与 y=fb-x关于xb2a对称； y=fa+x 与 y=-fb-x关于点b2a0,对称（可以简洁的认为：一个函数的恒等式,对应法就下的两式相加和的
15、一半为对称轴：两个同法就不同表达式的函数,对应法就下的两式相减等于0,解得的 x 为对称轴）例 17： 已知定义在 R上的奇函数 f x 满意 f x+2 = f x ,就 f 6 的值为（A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 函数 fx 对于任意的实数 x 都有 f1+2x=f1-2x,就 f2x 的图像关于 对称；（ 重 庆 ） 已 知 函 数 f x 满 足 ：f 1 1, 4 f x f y f x y f x y x y R , 就4f 2022 =_. 例 18. 已知函数 y=fx 满意 f x f x 2002,求 f 1 x f 1 2002 x 的值；例 19. 奇函数
16、f x 定义在 R上,且对常数 T 0 ,恒有 f x + T = f x ,就在区间 0,2T上,方程 f x = 0 根的个数最小值为（） A. 3 个 B.4 个C.5 个 D.6个,fx= f2-x,如 fa =-f2000,a5 ,9 且 fx例 20 fx 满意 fx =-f6-x在5 ,9 上单调；求 a 的值；设 y=fx 是定义在 -1,1 上的偶函数,函数 y=fx 的图象与 y=gx 的图象关于直线 x=1 对称,且当 x 2,3 时, gx=2ax-2-4x-2 3a 为常数且 a R （1）求 fx; （2）是否存在 a 2,6 或 a 6,+ , 使函数 fx 的图
17、象的最高点位于直线 y=12上？如存在, 求出a 的值；如不存在,说明理由 . 练习 1、函数 y f x 1 是偶函数,就 y f x 的图象关于 对称；2、函数 y f x 满意 f x 3 1,且 f 3 1,就 f 2022 ；f x 3、函数 fx 是定义在 R上的奇函数,且 f 1 x f 1 x , 就 f 1 2 f 3 f 4 f 52 2 4 、已知函数 y f 2 x 1 是定义在 R 上的奇函数,函数 y g x 是 y f x 的反函数,如 x x 1 20 就g x 1 g x 2 A）2 B）0 C）1 D）-2 5. 设 f x 是 R的奇函数 , f x+2=
18、 f x, 当 0x1, 时, f x=x, 就 f7.5= 6. 定义在 R上的函数 fx 满意 f-x+fx=3, 就 f-1x+f-13-x= . 7、 f （x）是定义在 R上的以 3 为周期的奇函数,且 6）内解的个数的最小值是（）A.4 B.5 C.6 D.7 f （2）=0,就方程 f （x）=0 在区间（ 0,8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8、设函数 fx 的定义域为 1,3,且函数 fx 的图象关于点 2,0 成中心对称 , 已知当 x 2,3时 fx= 2x, 求当 x 1,2 时,fx
19、 的解析式 . 9、（山东）已知定义在 R上的奇函数 f x ,满意 f x 4 f x , 且在区间 0,2 上是增函数 ,如方程 fx=mm0 在区间 8 8, 上有四个不同的根 x x x x , 就x 1 x 2 x 3 x 4 _.-8 八、综合问题 例 21. 定义在 R上的函数 fx 满意：对任意实数 m,时,0fx0,如AB,试确定 a 的取值范畴；例22. 设 定 义 在R 上 的 函 数fx,满 足 当x0时 ,fx1,且 对 任 意x,y R, 有fx+y=fxfy,f1=2 1 解不等式f3 xx2;,42 解方程fx21fx3f2 1 .（ ）2fyfx 1y例 23
20、.定义在1,1上的函数fx满意: 1对任意x,y1,1 ,都有fxxy2当x -1,0时 , 有fx0.求 证 : fx是 奇 函 数 ；f1 11f1 19fn215f1 .35 n函数综合1. 奇函数在关于原点对称的区间内单调性一样（在整个定义域内未必单调） ,推广：函数在其对称中心两侧单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反,推广：函数在其对称轴两侧的单调性相反；此时函数值的大小取决于离对称轴的远近；解“ 抽象不等式（即函数不等式）” 多用函数的单调性,但必需留意定义域；关注详细函数“ 抽象化”； 举例 1 设偶函数 f x=log a| x- b| 在（ - , 0）上递增,
21、就 f a+1与 f b+2 的大小关系是A.f a+1=f b+2 B. f a+1f b+2 C. f a+1f b+2 D. 不确定解析：函数 f x=log a| x- b| 为偶函数,就 b=0,f x=log a| x|, 令 gx=|x|, 函数 gx （图象为“ V” 字形）在（- ,0）递减,而函数 f x=log agx 在（- ,0）上递增, 0a1,1a+1f b+2,应选 B； 举例 2 设函数fx x 3x,如 0 2时,f msinf1m 0恒成立,就实数 m 的取值范畴是及 1-m代入函数fx的表达式,得到一个“ 巨大” 的不等式,x x3解析：此题不宜将 ms
22、in由于运算量过大,唯恐很难进行究竟；留意到：函数fx 为奇函数,原不等式等价于：f m sin f m 1 ,又函数 fx 递增,msin m-1对 0 恒成立, 分别参变量 m（这2是求参变量取值范畴的通法）得：m 1 , （01- sin1, 事实上当 sin =1 时不等式恒1 sin成立,即对 m没有限制,所以无需讨论）, 记 g = 1 , 就 mg min,1 sin又01- sin1,g min=1（当且仅当 =0 时等号成立）, m0 提高 定义在 R上的偶函数 fx 满意 :fx+1= 1 , 且 fx 在-3 ,-2 上是减函数,又、f x 是 钝 角 三 角 形 的 两
23、 锐 角 , 就 下 列 结 论 中 正 确 的 是 : A.fsin fcos B. fsin fcos C.fsin fsin D. fcos -1 （这是使用“ 判别式法” 时需特殊注2 2意的）；记 x+1=t,t0, 此时 x=t-1, 设 gt= t 1 2 t 1 2 t 1t 1 2 当且仅当 t=1t t t即 x=0 时等号成立,（留意这里的“ 换元” 实质是“ 整体化” 的详细落实,将需要“ 整体化” 的部分换成一个变量,比“ 凑” 更具一般性也更易实施）,选 C； 举例 2 已知 a b ,1 a , b R +,就 ab 1 的最小值为ab解析：此题关注 ab 的取值范畴,对 ab 1 使用基本不等式,当且仅当 ab = 1 时等号成立,事ab实上：0 ab a b 2 1,等号不成立,即不能使用基本不等式；记 ab =t （0t 1 ）, 2 4 4ab 1 =t + 1=g t , 函数 g t 在（ 0,1 上递减, g t min=g 1 = 17 ；ab t 4 4 45. 求参变