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1、|2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 21ln()0lim(cosxx(2) 曲面 与平面 平行的切平面的方程是 .2yz 04zy(3) 设 ，则 = .)(cos02 xnaxn 2a(4) 从 的基 到基 的过渡矩阵为 .2R1,211,21(5) 设二维随机变量 的概率密度为 则 (,)XY，yxyxf其 他 ,0,6),(1YXP.(6) 已知一批零件的长度 (单位： cm)服从正态分布 ，从中随机地抽取 16 个cm)1,(N零件，得到长度的平均值为 40 ( )，则 的置
2、信度为 0.95 的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值 .)95064.(,975.06.1二、选择题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设函数 在 内连续，其导函数的图形如图所示，()fx),则 有( )(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.(2) 设 均为非负数列，且 , , ,则必有( ),nncba 0limna1linbnclim(A) 对任意 成立. (B) 对任意 成立.
3、c(C) 极限 不存在. (D) 极限 不存在. nclimnliyx|(3) 已知函数 在点 的某个邻域内连续，且 ，则( )(,)fxy(0,) 1)(,lim20, yxfyx(A) 点 不是 的极值点 . ,f(B) 点 是 的极大值点 . (0)()xy(C) 点 是 的极小值点 . ,f(D) 根据所给条件无法判断点 是否为 的极值点. (0,)(,)fxy(4) 设向量组 I： 可由向量组 II： 线性表示，则( )r,21 s,21(A) 当 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 时，向量组 II 必线性相关.srr(C) 当 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 时
4、，向量组 I 必线性相关. (5) 设有齐次线性方程组 和 , 其中 均为 矩阵，现有 4 个命题：0AxB,Anm 若 的解均是 的解，则秩( ) 秩( )；0x B 若秩( ) 秩( )，则 的解均是 的解；0x 若 与 同解，则秩( )=秩( )； 若秩( )=秩( )， 则 与 同解.0x以上命题中正确的是( )(A) . (B) .(C) . (D) . (6) 设随机变量 ，则( )21),(XYntX(A) . (B) .2Y12n(C) . (D) . )1,(F),(F三 、(本题满分 10 分)过坐标原点作曲线 的切线，该切线与曲线 及 轴围成平面图形 .lnyxlnyxD
5、(1) 求 的面积 ;DA(2) 求 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积 .eV四 、(本题满分 12 分)将函数 展开成 的幂级数，并求级数 的和.xxf21arctn(012)(n|五 、(本题满分 10 分)已知平面区域 ， 为 的正向边界. 试证：0,),(yxyDLD(1) ;dxedexLxLy sinsinsinsin (2) .2sisi 六 、(本题满分 10 分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 ).,0k汽锤第一次击打将桩打进地下 . 根据设计方案，要求汽锤
6、每次击打桩时所作的功与前am一次击打时所作的功之比为常数 . 问(01)r(1) 汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？(注： 表示长度单位米.)m七 、(本题满分 12 分)设函数 )在 内具有二阶导数，且 是 的反函(yx),)(,0yxy ()x数.(1) 试将 所满足的微分方程 变换为 满足() )(sin(32dydyx ()的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解.2)0(,)(八 、(本题满分 12 分)设函数 连续且恒大于零，(fx， ，)(2)()tDt dyxfvzFtDdxfytG12)()其中 ，,
7、)( tzzyt .),()2tyt(1) 讨论 在区间 内的单调性.Ft),0(2) 证明当 时，(2tGt|九 、(本题满分 10 分)设矩阵 ， ， ，求 的特征值与特32A10PPAB*12BE征向量，其中 为 的伴随矩阵， 为 3 阶单位矩阵.*E十 、(本题满分 8 分)已知平面上三条不同直线的方程分别为， ， .1:230laxbyc2:30lbxcya3:20lcxayb试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为 .b十一 、(本题满分 10 分)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入
8、乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数 的数学期望；X(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分 8 分)设总体 的概率密度为,02)()(xexf其中 是未知参数. 从总体 中抽取简单随机样本 ，记XnX,21).,min(21nX(1) 求总体 的分布函数 ;()Fx(2) 求统计量 的分布函数 ；(3) 如果用 作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析|一、填空题(1)【答案】1e【详解】方法 1：求 型极限，一般先化为指数形式()limvxu()()lnliuxe然后求 ，再回到指数上去lilnvx= ,)1l(02cos
9、limxx220lncoslncosim(1)(1)0ixe而(等价无穷小替换 )2200lnsl(cos)ii(1)n1xx20coslix ln(1x:(等价无穷小替换 )20limx21csx:故 原式= .1e方法 2：令 ，有 ，以下同方法 121ln()cosxy2lncos(1)xy(2)【答案】 54zx【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可 平面 的法向量： ；02y12,4n曲面 在点 的法向量：2xz),(0zyx200(,)(,)1xyzx 02,1xy由于 ，因此有12/n014xy可解得， ，相应地有,0.5200yxz所求切平面过点
10、，法向量为： ，故所求的切平面方程为(1,25)2,41n，即 )(4)(zyx zyx|(3)【答案】1【详解】将 展开为余弦级数)()2xxf，其中 20(cos()nfa0cos)(2nxdfan所以 xdxa2si1022 201siix01cosd0cocd(4)【答案】 213【详解】 维向量空间中，从基 到基 的过渡矩阵 满足nn,21 n,21 P = ，n,21 P因此过渡矩阵 为：P= 121,n ,2n根据定义，从 的基 到基 的过渡矩阵为R1,021 21,1= =P12,2 .130(5)【答案】 4【分析】本题为已知二维随机变量 的概率密度 ，求满足一定条件的概率(
11、,)XY(,)fxy连续型二维随机变量 概率的求解方法),(0zYXgP,(,),yxFfuvd此题可转化为二重积分 进行计算0zYXgP0(,),)gxyzfdxy【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有11(,)xyfd206d 1 xO 21yx|1220(6)xd14(6)【答案】 9.4,53【分析】可以用两种方法求解：(1) 已知方差 ，对正态总体的数学期望 进行估计. 因为 ，设有12(,1)XN:个样本，样本均值 ，则 ，将其标准化，由公式n1niiX1(,)XNn:得：()0,)XEND),0n由正态分布分为点的定义 可确定临界值 ，进而确定相应112uXP2u的置信区间
12、 22(,)xuxn(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值 的置信区间问题由教材上已经求出的置信区间 ，其中 ，可22(,)xxun21,(0,1)PUuN:以直接得出答案【详解】方法 1：由题设， ，可见 查标准正态分布表知分位点95.0.05本题 , .962un4x根据 ，有 ，.6.1XP1.96.5P即 ，故 的置信度为 095 的置信区间是39.540.9.5),(方法 2：由题设， ，.122222()10.95,()0.975PUuUuu查得 将 ， , 代入 得置信区.96216n40x22,xxn间 )4.0,513(|二、选择题(1)【答案】 ()C【分析】函
13、数的极值点可能是驻点(一阶导数为零)或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个(导函数与 轴交点的个数 )； 是导数x0x不存在的点 对 3 个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点： 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 为极0x 0x大值点故 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)()fx(2)
14、【答案】 ()D【详解】方法 1：推理法由题设 ，假设 存在并记为 ，则 ,这与limnblinbcAlimlinnbcA矛盾，故假设不成立， 不存在 所以选项 正确linclimn()D方法 2：排除法取 ， ，满足 , , 而 ， 不正1nanb0lina1linb11,0ab()A确；取 ， ，满足 , ,而 ， 不正确；n2nclinncli11c()B取 ， ，满足 , ,而 ， 不正确1nan0limnanlilimna()C(3)【答案】 ()A【详解】由 ，其中 20,)lim1(xyfxy2(,)(1)fxyxy0lixy由 在点 连续知， (,)f,)0,f取 ， 充分小，
15、 ，有 ；yxx22(,)(1)0fxyxy|取 ， 充分小， ，有yx0x22(,)(1)0fxyx故点 不是 的极值点，应选 (极值的定义)(0,)(,)fyA(4)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组 I：可由向量组 II： 线性表示，则当 时，向量组 I 必线性相r,21 s,21 sr关 或其逆否命题：若向量组 I： 可由向量组 II： 线性表示，r s,21且向量组 I 线性无关，则必有 可见正确选项为(D) 本题也可通过举反例用排除sr法找到答案【详解】 用排除法：，则 ，但 线性无关，排除(A) ；10,0211210 21,，则 可由 线性表示，但
16、 线性无关，排除(B)；0,121 21,11， 可由 线性表示，但 线性无关，排除(C) ,021112,1(5)【答案】(B) 【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但、两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住、，迅速排除不正确的选项【详解】若 与 同解，则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同，即0AXB-秩( )= -秩( ), 得秩( )=秩( )，命题成立，可排除(A), (C)；n但反过来，若秩( )=秩( )，则不能推出 与 同解，通过举一反例证0AXB明，若 ， ，则秩( )=秩( )=1，但 与 不同解，0110X可见命题不成立，排除(D). 故正确选项为(B)(6)【答案
17、】(C)【分析】求解这类问题关键在于了解产生 变量、 变量、 变量的典型模式 2tF(1) 分布：设 相互独立且均服从标准正态分布，则随机变量212,nX服从自由度为 的 分布记做21niiZ2().Zn:(2) 分布：设 ， ，且 相互独立，则随机变量t1(0,)N:2()12,X|服从自由度为 的 分布记做12/XZnnt()Ztn:(3) 分布：设 且 相互独立，则随机变量 服F221(),(),Y:XY12XnZY从 分布，其第一、二自由度分别为 记做12,.n12(,).ZFn:【详解】其实，由 分布的性质以及 分布和 分布的关系得，t(1) 如果统计量 ，则有 ；()Tt:2(,)
18、T(2) 如果统计量 ，则有 12,Fn21Fn:由以上两条性质可以直接得出本题的答案为(C) 先由 分布的定义知 ，其中 ，于是t ()UXtVn)(),0(2nVN= ，21Y12分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以 . 由 分布的定义知)1(2UF故应选(C)(,1).YFn三【分析】圆锥体体积公式： ；旋转体的体积：213Vrh(1) 连续曲线 ，直线 、 所围成的图形绕直线 旋转一周而成()yfxaxb0x的立体的体积 210bad(2) 连续曲线 ，直线 、 所围成的图形绕直线 旋转一周而成()xgyc0y的立体的体积 220dcV【详解】为了求 的面积，首先要求出切点的坐标，设切点的横坐标为 ，则曲线D0x在点 处的切线方程是：lnyx)l,(0x.(1l00