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1、2003年考研数学(三)真题一、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)cos / X W 0.(1)设/二其导函数在x=o处连续，那么；I的取值范围是0, 右 x = 0,(2)曲线 = /3/x + b与x轴相切，那么/可以通过a表示为 =(3)设 a0, /(%) = g(x)=(3)设 a0, /(%) = g(x)=右% : 1-【详解】因为lim /(%)= lim + -xf x-r jix sinr tt(I-x)11%(1 一 x) sin/a=+ lim -n 不 (l-x)sin 亦11-7T-7TCOS71JC=I lim ；71 乃 Xfl
2、- - sin + (1 - X)7l COS 71X11rsin/zxI limn x-一cos玄一cos亦一（1一人）一 sinr71由于f（X）在J,l）上连续，因此定义2川），71使f(x)在g ,1上连续.【评注】此题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中,也可先作变量代换y=l-x,转化为求y -0+的极限，可以适当简化.四、(此题总分值8分)设f(U,V)具有二阶连续偏导数，且满足装 + 江 =1,又g(X,y) = /盯(丁),求 dir2dx1 dy2【分析】此题是典型的复合函数求偏导问题：g = /(#), =孙# = (，/),直接利
3、用复合a2 f32 f函数求偏导公式即可，注意利用一 dudv dvdu【详解】退:y或十包,dxdudv迤=、也一 y或dydudv所以e2 g dx2送=/a_2xy+y2也.更dy2 du2 dvdu dv2 dvd2g d2g / 2 2 32 fa2/*+* =（% +y）*+odx2 dy2du2dv2y2du2+ 2孙亚+ /空+更, dudv dv2 dv=x2 +y2.【评注】此题考查半抽象复合函数求二阶偏导.五、(此题总分值8分)计算二重积分/ = JJ/(3+)、)sinf；/ + ,2)dxdy. D其中积分区域D=(x,y) +y2 .【分析】从被积函数与积分区域可以
4、看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】作极坐标变换：x= rcos3.y = rsm3,有/ = eJJ e(x +y ) sin(x2 + y2)dxdy D兀Z TVd0 rero Josin /dr.令，=/,那么J、冗e sm tdt.o记 A = e-lsmtdt,那么-e sin? - e cos力0 Jo=- cos tdeJo= -ef cost711加 _t+ e sm tdt o Jo= e +1-A 因此A = g(l + e-),TTP71TTye*.【评注】此题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换 元与分步积分（均为最基础的要求
5、），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基 础知识点.六、（此题总分值9分）8求幕级数1 + Z（T） （w 1）的和函数f（x）及其极值.n=2【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1.求出和函数后，再按 通常方法求极值.【详解】00尸(X)= Z(-心2一=1X1 + x2上式两边从。到X积分，得(*X t1r/(X)- f(0) = -力=-ln(l + X2).JL I l乙由 f(0)=l,得1 9f(x) = l-ln(l + x2)X|l).令/Q) = 0,求得唯一驻点x=o.由于l-x2一Eno)=-io,可见f(x)在x=
6、0处取得极大值，且极大值为 f(O)=l.【评注】求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再 通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、(此题总分值9分)设F(X)=f(X)g(X),其中函数4*)g)在(一8,+00)内满足以下条件：/(%) = g(x), gx) = f(x),且 f(0)=0, f(x) + g(x) = 2ex.(3)求F(x)所满足的一阶微分方程；(4)求出F(x)的表达式.【分析】F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余局部转化为用 F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的
7、微分方程.【详解】(1)由/(X)= /(x)g(x) + f(x)gf(x)二 g2(x) + /2(x)= (%) + g(%)一 2/(%)g(%)=(2)2-2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为FXx) + 2F(x) = 4e2x.(2) F(x) = e J J4/ / dx+ C= e-2x4e4xdx+C= e2x+Ce-2x.将F(O)=f(O)g(O)=O代入上式，得C=-l.于是F(x) = e2x-e-2x.【评注】此题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比拟新颖，但具体到微分方程的求解那么并不复杂，仍然是基本要求的范
8、围.八、(此题总分值8分)设函数f(x)在0, 3上连续，在(0, 3)内可导，且f(0)+f(l)+f(2)=3,我3)=1.试证必存在自(0,3),使/C) = o【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点cE 0,3),使得/(c) = 1 =/(3),然后在c,3上应用罗尔定理即可.条件f(0)+f(l)+f(2)=3等价于+1,问题转化为1介于f(x)的最值之间，最3终用介值定理可以到达目的.【详解】因为f(x)在0,引上连续，所以f(x)在0, 2上连续，且在0, 2上必有最大值M和最小值m,于是m /(I) M , m /(2) 0),中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为
9、-12.（3）求a,b的值；（4）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.【分析】特征值之和为A的主对角线上元素之和，特征值之积为A的行列式，由此可求出a,b的值; 进一步求出A的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（假设有必要），然后将特征向量单位 化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】（1）二次型f的矩阵为aQbA=020.b0-2设A的特征值为4 (i = 1,2,3).由题设，有4 + “2 + 4 = + 2 + (2) 1,0 h42 4 =20 =-4a-2h2 =-12.0 -2解得 a=l,b= -2.(2)由矩阵A的
10、特征多项式A 1AE-A= 0-20-22-20 =(4-2)2(2 + 3),02 + 2得A的特征值4 = % = 2,4 = -3.对于4 =几2 = 2,解齐次线性方程组(2E-A)x = Q9得其基础解系。=(2,0,1)7,幺=(0,1,0)。对于4=3,解齐次线性方程组(_3 A)x = 0,得基础解系4 = (l,0,-2)r.由于。忑2, 1已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将。，昆，,单位化，由此得7 = 0,0,忑0, , %=(0,。)， =(忑/7)令矩阵。坨 %.=JLV5O2 一后O 1 O2 忑 OJL6那么Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下，有2 0
11、 0QtAQ= 0 2 0 0 0-3且二次型的标准形为/ = 2才+2y3次【评注】此题求a,b,也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定: 二次型f的矩阵A对应特征多项式为2 a 0 b|A-A| = (A-2)A2 -(a-2)A-(2a + b2).02-20-b 02 + 2设a的特征值为4，4，4,那么4 =2,4+4 = 2,44 =(2。+/).由题设得4+4 +4 = 2 + (a 2)= 1,444 = 2(2。+/?2) = 12.解得a=l,b=2.十一、(此题总分值13分)设随机变量X的概率密度为/()= 0,/()= 0,，假设1,8,其他；F(x)是X的分布
12、函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】先求出分布函数F(x)的具体形式，从而可确定Y=F(X)，然后按定义求Y的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围(0 F(X) 8时，F(x)=l.对于x1,8,有F(x) = =dt =-1.1 3疗设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当 。时，G(y)=0；当yNl时，G(y)=L对于丁0,1),有G(y) = PYy = PF(X)y= PfX-ly = PX(y + 1)3 (y + l)3 = y.于是，Y=F(X)的分布函数为。，假设y 0,G(y) = y,假设0 y 1,1,假设X-【评注】事实上，此题X为
13、任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布:当 y0 时，G(y)=0;当 y-1 时,G(y)=l;当 OW y 1 时，G(y) = PY y = P尸(X) y= PXF-(y)= F(F-y) = y.十二、(此题总分值13分)设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为(12 )X，(0.3 0.7J而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率.注意X只有两个可能 的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】 设F(y)是Y的分布函数，那么由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为G(u
14、) = PX + Yu=0.3P X + YuX = + 0.7P X + 丫 “ X = 2= 0.3PYu-X = l + QJPYu-2X =2.由于X和Y独立，可见G(u)= 0.3Py u-l + 0.7Py u-2=0.3月(-1) + 0.7尸(一2).由此，得u的概率密度g() = G()= 0.3F(-1) + 0.7F( - 2)= 0.3/(_l) + 0.7/(_2).【评注】此题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率 公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.(C)假设E”条件收敛,n=l0000那么 与 敛散
15、性都不定n=/7=100(D)假设绝对收敛，72=1800那么X，与工敛散性都不定.n=7i=l(4)设三阶矩阵A = b bb ba b ,假设A的伴随矩阵的秩为1,那么必有 b a(A) a=b 或 a+2b=0.(C) aWb 且 a+2b=0.(B) a=b 或 a+2bW0.(D) aWb 且 a+2bW0.(5)设% 以2,，4均为n维向量，以下结论不正确的选项是(A)假设对于任意一组不全为零的数匕/2,人，者B有匕%+%2% +, + & W0，那么%,，& 线性无关.(B)假设%,如，砥线性相关，那么对于任意一组不全为零的数匕以，,人 ,都有 kxax + k2a2 + + k
16、sas =0.(C) %,。2,，4线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为S.(D)%,如，见线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.1(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A=掷第一次出现正面,4=掷第二次出现正面，4=正、反面各出现一次,4=正面出现两次，那么事件(A)相互独立.(A)相互独立.(B)42,4，44相互独立.(C)4,4，4两两独立.三、(此题总分值8分)设(D) A2，A3,4两两独立.fM = +71X1sinx(iZi)9XG24)试补充定义以)使得心)在J上连续.2四、(此题总分值8分)a2 f a2 f1设f(U,V)具有二阶连续偏导数，且满足 Y + Y
17、 = l,又g(x,y) = /w(/),求 dir2dx2 dy2五、(此题总分值8分)计算二重积分/ =，)sinCx? + y2)dxdy. D其中积分区域D=(羽,)，+,2工不.六、(此题总分值9分)8X2n求塞级数i+Z(i) k(In=2x| 0),中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1)求a,b的值；(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(此题总分值13分)设随机变量X的概率密度为7。）= 3V?0,7。）= 3V?0,，假设1,8,其他；F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、(此题总分
18、值13分)设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为(0.3 0.7J而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).2003年考研数学(三)真题解析一、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)(1)(1)设 /(X)= COsL 假设X W0, X 假设x = 0,其导函数在x=。处连续，那么2的取值范围是建2.【分析】当XW0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.,假设 x w 0,假设x = 0,【详解】当41时，有勺 2-11；-2 1/(%) = 2时,有lim/(尤)=0 = /(0),即其导函数在x=0处连续. X-0(2)曲线
19、= /3/x + b与x轴相切，那么/可以通过表示为。2 = 荷 .【分析】曲线在切点的斜率为0,即y=o,由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到/与a的关系.【详解】由题设，在切点处有yr 3x2 - 3a2 0 ,有 = a2.又在此点y坐标为0,于是有0 = x； Ba、。+6 = 0,故 h2 = Xq (3a2 x；y=q2 . 4a4 _ 46【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.(3)设 a0, /(x) = g(x)=“右 ,而 D 表示全平面，那么 / = ff f(x)g(y-x)dxdy= a20,其他，与一【
20、分析】此题积分区域为全平面，但只有当0xL0y-时，被积函数才不为零，因此实际 上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】I =x)dxdy =Jja1 dxdy0xl,0y-ATlx+2 12dy- (x +1) - xdx - a .tJo0xl,0y-ATlx+2 12dy- (x +1) - xdx - a .tJo【评注】 假设被积函数只在某区域内不为零，那么二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的 区域的公共局部上积分即可.(4)设n维向量。=(。,0,0,。)。0； E为n阶单位矩阵，矩阵A E oc 6 , B = E T cl cJ 9a其中A的逆矩阵为B,那么a=
21、 -1.【分析】这里为n阶矩阵，而二=2/为数，直接通过E进行计算并注意利用乘法的 结合律即可.【详解】由题设，有AB= (E-aar)(E + aaT)a= E-a + aar - - aar - aa1 aaE a Ha oc) o( aa= E-aaI + aaJ -laaa1a1丁二七+ (1 2。H)6Z oc E ,a1 9 1于是有1 2qh = 0,即 2。+。1 = 0,解得 a = ,a = i.由于 A0X0 1X-0x 0【评注1】此题也可用反例排除，例如f(x)=x,那么此时g(x- = L 可排除(A),(B),(C)三项， x 0, x = 0,故应选(D).【评
22、注2】假设f(x)在x = 处连续，那么lim 2或=A= f(%) = 0,f(%) = A. f。x -匹)(2)设可微函数f(x,y)在点(%, %)取得极小值，那么以下结论正确的选项是(A) /(%N)在=%处的导数等于零.(B) /(%,)在=方处的导数大于零.(C) /(4,)0在 =X)处的导数小于零.(D) /(工0，)在 =%处的导数不存在.A 【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数3丫)在点(/0)取得极小值，根据取极值的必要条件知敛散性都不定n=72=100(D)假设X%绝对收敛，=100co那么X，与2外敛散性都不定.n=n=【分
23、析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.8800q + Q【详解】假设绝对收敛，即|。|收敛，当然也有级数收敛，再根据p=n=n=n=l乙a a88qnL及收敛级数的运算性质知，与 IX都收敛，故应选(B)./n=n=a b(4)设三阶矩阵A = b a b bbb ,假设A的伴随矩阵的秩为1,那么必有a(A) a=b 或 a+2b=0.(C) aWb 且 a+2b=0.(A) a=b 或 a+2b=0.(D) aWb 且 a+2b=0.(B) a=b 或 a+2b W 0.(E) aWb 且 a+2bW0.【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2,由此可确定a
24、,b应满足的条件.【详解】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2,故有abbh a h = (a + 2h)(a - /?)2 = 0 ,即有 + 2/? = 0或 a=b.b b a但当a=b时，显然秩(A) W 2,故必有awb且a+2b=0.应选(C).【评注】n (n2 2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有以下关系:n, r(A) = n, r(A*) = 1, r(A) = 一 1,0,r(A) n-l.(5)设。1，。2，,，仁均为9维向量，以下结论不正确的选项是(A)假设对于任意一组不全为零的数勺,2,，都有匕%+七%+, + ZOs。0，那么%,%,。线性无关.(
25、B)假设%,，&线性相关，那么对于任意一组不全为零的数%,3,人，都有 kxax + k2a2 + + ksas = 0.(C)臼,。2,，小线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为、(D)/,。2,砥线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.B 【分析】此题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式.应 注意是寻找不正确的命题.【详解】(A):假设对于任意一组不全为零的数占欢2,，%，都有 u% + +我& W0，那么 %，如，见必线性无关，因为假设名,%.线性相关，那么存在一组不全为零的数匕，右，使得 ka +k2a2 -1- ksas = 0 ,矛盾.可见
26、(A)成立.(B):假设%,。2,，线性相关，那么存在一组，而不是对任意一组不全为零的数匕，鼠，,乙，都有 ka + k2a2 + + ksas = 0. (B)不成立.(C) 0,%,4.线性无关，那么此向量组的秩为s；反过来，假设向量组%,%,见的秩为s,那么 %,%,4线性无关，因此(C)成立.(D) /,。2,，巴线性无关，那么其任一局部组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成 立.综上所述，应选(B).【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：假设存在一组不全为零的数匕丛2,，右，使 得左%+心%+ & =0成立，那么%,%,4线性相关.其逆否命题为：假设对于任意一组不全为零 的数匕，左2,从，都有匕% +%2。2 + %。，那么%,%,见线性无关.在平时的学习过程中， 应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A尸掷第一次出现正面, 4=掷第二次出现正面, 4二正、反面各出现一次,4=正面出现两次,那么事件(A)4,4，&相互独立.(B)42,4，儿相互独立.(C)442,4两两独立.)A2,4,4两两独立.c