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1、 全国硕士硕士入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出四个选项中，只有一个选项符合题目规定，请将所选项前字母填在答题纸指定位置上。(1)设函数在内连续，其中二阶导数图形图所表达，则曲线拐点个数为 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】（C）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在点，并且在这点左右两侧二阶导函数异号。所以，由图形可得，曲线存在两个拐点.故选（C）.(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程一个特解，则 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】（A）【分析】此题考察二阶常系数非齐次线性微分方程反问题已知解来拟定微分方程
2、系数，这类题有两种解法，一个是将特解代入原方程，然后比较等式两边系数可得待估系数值，另一个是依据二阶线性微分方程解性质和结构来求解，也就是下面演示解法.【解析】由题意可知，、为二阶常系数齐次微分方程解，所以2,1为特性方程根，从而，从而原方程变为，再将特解代入得.故选（A） (3) 若级数条件收敛，则 和依次为幂级数 ( )(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点(C) 发散点，收敛点(D) 发散点，发散点【答案】（B）【分析】此题考察幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数性质。【解析】由于条件收敛，即为幂级数条件收敛点，所以收敛半径为1，收敛区间为。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故收敛区间还
3、是。所以和依次为幂级数收敛点，发散点.故选（B）。 (4) 设是第一象限由曲线，和直线，围成平面区域，函数在上连续，则 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】（B）【分析】此题考察将二重积分化成极坐标系下累次积分【解析】先画出D图形，所以，故选（B） (5) 设矩阵，若集合，则线性方程组有没有穷多解充足必需条件为 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】，由，故或，同时或。故选（D） (6)设二次型 在正交变换为 下标准形为 ，其中 ，若 ，则在正交变换下标准形为 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(A)【解析】由，故.且.所以。选（A）(7) 若A,B为任
4、意两个随机事件，则 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)【解析】由于，按概率基础性质，我们有且，从而，选(C) . (8)设随机变量不相关，且，则 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】 ，选(D) .二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 【答案】【分析】此题考察型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：（罗比达法则）方法二：（等价无穷小替换）(10) 【答案】【分析】此题考察定积分计算，需要用奇偶函数在对称区间上性质化简. 【解析】 (11)若函数由方程拟定，则【答案】【分析】
5、此题考察隐函数求导.【解析】令，则又当初，即.所以，所以(12)设是由平面和三个坐标平面所围成空间区域，则【答案】【分析】此题考察三重积分计算，可直接计算，也可以运用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得，其中为平面截空间区域所得截面，其面积为.所以(13) 阶行列式【答案】【解析】按第一行展开得 (14)设二维随机变量服从正态分布，则【答案】 【解析】由题设知，并且互相独立，从而 .三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证实过程或演算环节.(15)(本题满分10分) 设函数，若和在是等价无穷小，求值.【答案】【解析】法一：原式（泰勒展
6、开法）即 (16)(本题满分10分) 设函数在定义域I上导数大于零，若对任意，由线在点处切线和直线及轴所围成区域面积恒为4，且，求表达式.【答案】.【解析】设在点处切线方程为：令，得到，故由题意，即，可以转化为一阶微分方程，即， ，两边同时积分可得，将，代入上式可得即.(17)(本题满分10分)已知函数，曲线C：，求在曲线C上最大方向导数.【答案】3【解析】由于沿着梯度方向方向导数最大，且最大值为梯度模.，故，模为，此题目转化为对函数在约束条件下最大值.即为条件极值问题.为了计算简朴，可以转化为对在约束条件下最大值.结构函数：，得到.所以最大值为.(18)(本题满分 10 分)（I）设函数可导
7、，运用导数定义证实（II）设函数可导，写出求导公式.【解析】（I） （II）由题意得 (19)(本题满分 10 分) 已知曲线L方程为起点为，终点为，计算曲线积分.【答案】【解析】由题意假设参数方程，(20) (本题满11分) 设向量组内一个基，.（I）证实向量组为一个基;（II）当k为什么值时，存在非0向量在基和基下坐标相同，并求所有.【答案】【解析】(I)证实： 故为一个基.（II）由题意知，即即即，得k=0 (21) (本题满分11 分) 设矩阵相同于矩阵.(I) 求值；（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵.【解析】(I) ，可得(II)特性值时基础解系为时基础解系为A特性值令，(22) (
8、本题满分11 分) 设随机变量概率密度为对X进行独立反复观测,直到2个大于3观测值出现停止.记Y为观测次数。(I)求Y概率分布；(II)求EY【解析】(I)记p为观测值大于3概率，则，从而概率分布为：， (II)：令：所以：(23) (本题满分 11 分)设总体X概率密度为：其中为未知参数，为来自该总体简朴随机样本.(I)求矩估量量.(II)求最大似然估量量.【解析】(I) ，令，即，解得为矩估量量； (II) 似然函数，当初，则.从而，相关单调增长，所认为最大似然估量量。富不贵只能是土豪，你可以一夜暴富，但是贵气却需要三代以上培养。孔子说“富而不骄，莫若富而好礼。” 现在我们不缺土豪，但是我
9、们缺少贵族。高贵是大庇天下寒士俱欢颜豪气和悲悯之怀，高贵是位卑未敢忘忧国壮志和担当之志 高贵是先天下之忧而忧责任之心。精神财富和高贵内心最能养成性格高贵，以贵为美，在不知不觉中营造出和气气氛；以贵为高，在潜移默化中提高我们素质。以贵为尊，在发明了大量物质财富同时，精神也提高一个境界。一个心灵高贵人举手投足间所有会透露出优雅品质，一个道德高贵社会大街小巷所有会留露出和谐温馨，一个气节高贵民族一定是让人尊崇膜拜民族。别让富而不贵成为永久痛。分享一段网上流传着改变内心风水方法，让我们内心高贵起来：爱慕付出，福报就越来越多；爱慕感恩，顺利就越来越多；爱慕助人，贵人就越来越多；爱慕知足，快乐就越来越多；爱慕逃避，失败就越来越多；爱慕分享，好友就越来越多。爱慕气愤，疾病就越来越多；爱慕施财，富贵就越来越多；爱慕享福，痛苦就越来越多；爱慕学习，智慧就越来越多。