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1、专题09 基本不等式的应用1、【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_.【答案】4.【解析】设，则2、【2019年高考天津卷文数】设，则的最小值为_.【答案】【解析】.因为，所以，即，当且仅当时取等号成立.又因为所以的最小值为.3、【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.4、【2018年高考天津卷文数】（
2、2018天津文科）已知，且，则的最小值为 .【答案】14【解析】由a-3b+6=0可知a-3b=-6，且2a+18b=2a+2-3b，因为对于任意x，2x0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2a+2-3b22a2-3b=22-6=14.当且仅当2a=2-3ba-3b=6，即a=3b=-1时等号成立.综上可得2a+18b的最小值为14.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”5、【2018年高考江苏卷】在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案
3、】9【解析】由题意可知，SABC=SABD+SBCD,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120=12a1sin60+12c1sin60，化简得ac=a+c,1a+1c=1，因此4a+c=4a+c1a+1c=5+ca+4ac5+2ca4ac=9,当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.6、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是_【答案】30【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立一、三个不等式关系： (1)a，bR，a2b22ab，当且仅当ab时取等号 (
4、2)a，bR，ab2，当且仅当ab时取等号 (3)a，bR，()2，当且仅当ab时取等号上述三个不等关系揭示了a2b2 ，ab ，ab三者间的不等关系其中，基本不等式及其变形：a，bR，ab2(或ab()2)，当且仅当ab时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值二、.算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.三、.利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅
5、当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)四、对于f(x)x，当a0时，f(x)在(，0)，(0，)为增函数；当a0时，f(x)在(，)，(，)为增函数；在(，0)，(0，)为减函数注意 在解答题中利用函数f(x)x的单调性时，需要利用导数进行证明五、利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正
6、数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.六、对于多元问题的不等式的基本解题思路就是把多元问题转化为单元问题。题型一 运用消参法解决基本不等式中的最值问题消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1、(2019常州期末）已知正数x，y满足x1，则的最小值为_【答案】 4【解析】 多元条件等式下的最值问题通常可以考虑消元之后利用基本不等式或函数知识求解解法1(直接消元) 由x1得yxx2，故4，当且仅当x1x，即x时取“”故的最小值为4.
7、解法2(直接消元) 由x1得1x，故，以下同解法1.解法3(消元，分离常数凑定值) 同解法1，2得24，当且仅当，即x时取“”故的最小值为4.例2、(2017苏北四市期末） 若实数x，y满足xy3x3，则的最小值为_【答案】. 8【解析】解法1 因为实数x，y满足xy3x3，所以y3(y3)，所以y3y36268，当且仅当y3，即y4时取等号，此时x，所以的最小值为8.解法2 因为实数x，y满足xy3x3，所以y3(y3)，y360，所以66268，当且仅当6，即x时取等号，此时y4，所以的最小值为8.题型二、运用1的代换解决基本不等式中的最值问题1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达
8、到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。例3、(2019扬州期末）已知正实数x，y满足x4yxy0，若xym恒成立，则实数m的取值范围为_【答案】(，9 【解析】mxy恒成立，m(xy)min.解法(“1”的代换)因为x，y是正实数，由x4yxy0，得1，xy(xy)5259，当且仅当x6，y3时，等号成立，即xy的最小值是9，故m9.例4、（2019年苏州学情调研）若正实数满足，则的最小值是 【答案】8 【解析】因为正实数满足，所以，当且仅当，即，又，即，等号成立，即取得最小值.例5、（2013徐州、宿迁三检）若，且，则的最小值为 【答案】：解析：由已知等式得，从而
9、，故有最小值.题型三 、运用双换元解决基本不等式中的最值问题若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系。例6、(2017苏州期末） 已知正数x，y满足xy1，则的最小值为_【答案】 【解析】解法1 令x2a，y1b，则ab4(a2，b1)，(ab)(54)，当且仅当a，b，即x，y时取等号例7、(2015苏锡常镇、宿迁一调）已知实数x，y满足xy0，且xy2，则的最小值为_【答案】【解析】设解得所以xy2，即mn4.设t，所以4t(mn)332.即t，当且仅当，即mn时取等号 本题所给条件为x，y的和的不等
10、式，所求的为与x，y相关的倒数和最值问题，可以先对分母进行还原处理后，再结合“1”的代换技巧来处理，这里要说明的时候条件 “xy2”改为“xy2”答案不会变化题型四、基本不等式中多元问题的处理多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和变形，变形恰当后，直接可以构造几何意义也可以使问题明朗化，具体归纳如下：(1)多元最值首选消元：三元问题二元问题一元问题(2)二元最值考查频率高，解决策略如下：策略一：消元策略二：不好消元用基本不等式及其变形式，线性规划，三角换元（3）多元问题不好消元的时候可以减元，常见的减元策略：策略一：齐次式同除减元策略二：整体思想代入消元或者减元例8、(20
11、19南京、盐城一模） 若正实数a，b，c满足aba2b，abca2bc，则c的最大值为_【答案】 【解析】 注意到求c的最大值，所以将参数c进行分离，为此，可以利用abca2bc进行分离得c1，从而将问题转化为求a2b的最小值； 结合abca2bc与aba2b化简得abcabc来进行分离得c1，进而求ab的最小值 由于所求解的c与a，b有关，而a，b不对称，因此，将2b看作一个整体，则它与a就是对称的，根据对称原理可以猜想得到问题的答案解法1 由abca2bc得，c1，由aba2b得，1，所以a2b(a2b)442448，故c.解法2 因为abca2bc，aba2b，所以abcabc，故c1，
12、由aba2b利用基本不等式得ab2，故ab8，当且仅当a4，b2时等号成立，故c11.解法3(对等性猜测) 因为已知条件可以改写为“a2ba2b，a2bca2bc”，故a与2b对等，不妨设a2b，解得a2b4，c，故c的最大值为.例9、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 已知a，b，c均为正数，且abc4(ab)，则abc的最小值为_【答案】. 8【解析】由a，b，c均为正数，abc4(ab)，得c，代入得abcab228，当且仅当ab2时，等号成立，所以abc的最小值为8.题型五 基本不等式的综合运用多变量式子的最值的求解的基本处理策略是“减元”或应用基本不等式，其中“减
13、元策略”的常见方法有：通过消元以达到减少变量的个数，从而利用函数法或方程有解的条件来研究问题；通过“合并变元”以代换的方式来达到“减元”，一般地，关于多变元的“齐次式”多用此法而应用基本不等式求最值时，要紧紧抓住“和”与“积”的关系来进行处理，为了凸现“和”与“积”的关系，可以通过换元的方法来简化问题的表现形式，从而达到更易处理的目的，例10、(2018扬州期末） 已知正实数x，y满足5x24xyy21，则12x28xyy2的最小值为_【答案】解法1(双变量换元) 因为x0，y0，且满足5x24xyy21，由此可得(5xy)(xy)1，令u5xy，vxy，则有u0，v0，uv1，并且x，y，代
14、入12x28xyy212282，当且仅当u3v，uv1，即u，v，亦即x，y时，12x28xyy2取得最小值.解法2(常数1的代换) 因为x0，y0，且满足5x24xyy21，由此可得(5xy)(xy)1，因为x0，y0，xy0，所以5xy0，即有05，令t，则0t5，所以12x28xyy2111.再令f(t)1(0t5)令f(t)0，因为0t5，所以t.当t时，f(t)0，f(t)单调递增，所以当t时，f(t)取极小值，也是最小值f.此时x2y，结合5x24xyy21，解得x，y，即当x，y时，12x28xyy2取得最小值.解法3(基本不等式) 因为x0，y0，设u0，v0，则ux2vy22
15、xy.12x28xyy212x28xyy2(2xyux2vy2)，即12x28xyy2(12u)x2(82)xy(v1)y2.令(12u)x2(82)xy(v1)y2t(5x24xyy2)t，则12u5t，824t，v1t，解得t，u，v，例11、(2018南京、盐城一模）若不等式ksin2BsinAsinC19sinBsinC对任意ABC都成立，则实数k的最小值为_【答案】100【解析】本题首先用正弦定理将三角函数转化为边，然后再利用三角形中的边的不等关系，消元后转化为二元问题研究二元问题的最值问题，可以用基本不等式来处理解法1(函数的最值) 因为ksin2BsinAsinC19sinBsi
16、nC，所以由正弦定理可得kb2ac19bc，即k.因为ABC为任意三角形，所以a|bc|，即当01时，20100，即的最大值为100，所以k100，即实数k的最小值为100.解法2(基本不等式) 因为ksin2BsinAsinC19sinBsinC，所以由正弦定理可得kb2ac19bc，即k.又.因为cab，所以1，即0, b0，且，则ab的最小值是_【答案】 2【解析】 利用基本不等式，化和的形式为积的形式因为2，所以ab2，当且仅当时，取等号2、(2017苏北四市一模） 已知正数a，b满足5，则ab的最小值为_【答案】. 36【解析】思路分析 注意到条件中有a，b的和形式，又有a，b的乘积
17、形式，而所求的结论与积有关，因此，应用基本不等式将“和”转化为“积”，通过解不等式来求得ab的取值范围，从而求得它的最小值因为正数a，b满足5，所以52，当且仅当9ab时等号成立，即ab560，解得6或1(舍去)，因此ab36，从而(ab)min36.3、(2019镇江期末） 已知x0，y0，xy，则xy的最小值为_【答案】 3【解析】 本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解解法1 因为x0，y0，所以xy，得xy3，当且仅当x1，y2时取等号解法2 xy3，当且仅当，即x1，y2时取等号4、(2019苏北三市期末） 已知a0，b0，且a3b，则b的最大值为_【答案】. 【解析】由a3
18、b，得3ba.又a0，所以3ba2(当且仅当a1时取等号)，即3b2，又b0，解得00(a，b，cR)的解集为x|3x4，则的最小值为_【答案】. 4【解析】 先根据一元二次不等式的解集，确定a0，以及a，b，c的关系，再将所求运用消元法，统一成单变量a的函数问题，运用基本不等式求最值依题意得a0，且3和4是方程ax2bxc0的两根，即则所以(24a)24，当且仅当144a25，即a时取等号，所以所求最小值为4.7、(2019苏锡常镇调研（二）已知正实数a，b满足ab1，则的最小值为 【答案】.11【解析】思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本不等
19、式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解当且仅当，即时取“”，所以的最小值为8、(2018苏锡常镇调研（二） 已知为正实数，且，则的最小值为 【答案】【解析】解题过程：因为，所以，故，当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为9、(2017无锡期末） 已知a0，b0，c2，且ab2，则的最小值为_【答案】 【解析】思路分析 根据目标式的特征，进行恰当的变形，利用基本不等式知识求解因为a0，b0，所以，当且仅当ba时等号成立又因为c2，由不等式的性质可得cc.又因为c(c2)，当且仅当c2时等号成立所以的最小值为.10、(2017苏州期末）已知正数x，y满足xy1，则的最小值为_【答案】.
20、 【解析】解法1 令x2a，y1b，则ab4(a2，b1)，(ab)(54)，当且仅当a，b，即x，y时取等号解法2 (幂平均不等式)设ax2，by1，则.解法3 (常数代换)设ax2，by1，则，当且仅当a2b时取等号11、（2016苏州期末） 已知ab，a，b(0,1)，则的最小值为_【答案】 4【解析】思路分析 两元问题通常化为一元问题，先尝试消去一个变量由题意得b，所以00对于任意的t4恒成立，从而函数u(t)t(t4)为单调递增函数，所以u(t)minu(4)4，于是a.13、（2016苏锡常镇一调）若实数x，y满足x24xy4y24x2y24，则当x2y取得最大值时，的值为_【答案
21、】 2【解析】思路分析 设xa,2yb，则问题变简单了设xa,2yb，则实数a，b满足(ab)2(ab)24.因为(ab)2(ab)24ab4(ab)24ab8(ab2)28，当且仅当ab时，ab取最大值2，此时x2y，所以2.解后反思 作换元变换xa,2yb，得(ab)2(ab)24后，猜都可以猜出答案了常用恒等式(ab)2(ab)24ab.更好看的解法：由(ab)2(ab)24，得(ab)2(ab2)28.当ab取最大值2时，ab2，此时ab.14、(2016泰州期末） 若正实数x，y满足(2xy1)2(5y2)(y2)，则x的最大值为_【答案】 1【解析】思路分析 处理双元最值问题，常用
22、消元法或整体法，也可以构建方程转化为方程有解去处理如本题，思考方向一，可以设xz，代入之后转化为关于y的方程(4z25)y28(z1)y80在(2，)上应有解，由0解出z的范围，并验证最大值成立；思考方向二，消去x再用均值不等式去处理；思考方向三，观察得到229，直接通过均值不等式整体去处理；思考方向四，通过等比中项，引用一个新的参数q，把x用q来表示再整理求最值解法1 令xz，则2xy2yz1，代入(2xy1)2(5y2)(y2)整理得(4z25)y28(z1)y80(*)，由题意得y20，该方程在2，)应有解，故0，即64(z1)232(4z25)0，化简得2z24z70, 故00，y1y
23、24，故方程必有大于2的实根，所以x的最大值为1.解法2 (2xy1)2(5y2)(y2)，即2，则x，所以x 1 1 1，当且仅当 1，即y2时等号成立，所以x的最大值为1.解法3 由(2xy1)2(5y2)(y2)得2，即292，即229，所以9222x22，所以x1.解法4 (2xy1)2(5y2)(y2)即2，所以，x，成等比数列，设公比为q(q1)，将x，用q表示，则x1，当且仅当q1，即q1时等号成立15、(2016苏北四市期末） 已知正数a，b，c满足bca，则的最小值为_【答案】 【解析】因为正数a，b，c满足bca，所以1，1，其中0，0，所以，(*)令t1(t1)，则，所以(*)可化为2，当且仅当即t时取等号，于是，即的最小值为.16、(2016南京三模）若实数x，y满足2x2xyy21，则的最大值为_【答案】 【解析】 在2x2xyy21中，独立变量有两个，因为用x表示y或用y表示x均不方便，可引入第三个变量来表示x，y.由2x2xyy21，得(2xy)(xy)1，设2xyt，xy，其中t0.则xt，yt，从而x2yt，5x22xy2y2t2，记ut，则，当且仅当u，即u时取等号，即最大值为.