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1、2021 年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1（4 分）如果延长线段 AB 到 C，使得，那么 AC：AB 等于（）A2：1B2：3C3：1D3：22（4 分）在高为 100 米的楼顶测得地面上某目标的俯角为，那么楼底到该目标的水平距离是（）A100tan B100cot C100sin D100cos3（4 分）将抛物线 y=2（x1）2+3 向右平移 2 个单位后所得抛物线的表达式为（）Ay=2（x1）2+5 By=2（x1）2+1 Cy=2（x+1）2+3Dy=2（x3）2+34（4 分）在二次函数 y=ax2+bx+c 中，如果
2、a0，b0，c0，那么它的图象一定不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5（4 分）下列命题不一定成立的是（）A斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似B两个等腰直角三角形相似C两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D各有一个角等于 100的两个等腰三角形相似6（4 分）在ABC 和DEF 中，A=40，D=60，E=80，那么B 的度数是（）A40 B60 C80 D100二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7（4 分）线段 3cm 和 4cm 的比例中项是 cm8（4 分）抛物线 y=2（x+4）2 的顶点坐标是 9（4 分）函数 y=ax
3、2（a0）中，当 x0 时，y 随 x 的增大而 10（4 分）如果抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点（1，2）和（4，2），那么它的对称轴是直线 11（4 分）如图，ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、AC、BC 上，且 DEBC，EFAB，DE：BC=1：3，那么 EF：AB 的值为 12（4 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC 与 BD 相交于点 O，如果 BC=2AD，那么 SADC：SABC 的值为 13（4 分）如果两个相似三角形的面积之比是 9：25，其中小三角形一边上的中线长是 12cm，那么大三角形对应边上的中线长是 cm14（4 分）如果+=3，
4、2=，那么= （用表示）15（4 分）已知是锐角，tan=2cos30，那么= 度16（4 分）如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从 P 处出发，走了 13 米到达M 处，此时在铅垂方向上上升了 5 米，那么该斜坡的坡度是 i=1： 17（4 分）用“描点法”画二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象时，列出了如下表格：x1234y=ax2+bx+ c0103那么该二次函数在 x=0 时，y= 18（4 分）如图，ABC 中，AB=AC=5，BC=6，BDAC 于点 D，将BCD 绕点 B逆时针旋转，旋转角的大小与CBA 相等，如果点 C、D 旋转后分别落在点 E、F的位置，那么EFD 的
5、正切值是 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19（10 分）如图，已知ABC 中，点 F 在边 AB 上，且 AF=AB、过 A 作 AGBC 交 CF 的延长线于点 G（1） =，=，试用向和表示向；（2）在图中求作向 与的和向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）20（10 分）已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B（1，0）和点 C（2，3）（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点（2，1），试确定平移的方向和平移的距离21（10 分）已知：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABD=C，AD=4，BC=9，锐角DBC 的正弦值求：（1）对角
6、线 BD 的长；（2）梯形 ABCD 的面积22（10 分）如图，某客轮以每小时 10 海里的速度向正东方向航行，到 A 处时向位于南偏西 30方向且相距 12 海里的 B 处发出送货请求，货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小时 14 海里的速度出发，在 C 处恰好与客轮相逢， 试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间23（12 分）已知：如图，在ABC 中，点 D、G 分别在边 AB、BC 上，ACD=B，AG 与 CD 相交于点 F（1）求证：AC2=ADAB；（2） =，求证：CG2=DFBG24（12 分）在直角坐标系 xOy 中（如图），抛物线 y=ax24ax+4a+3（a0）的顶
7、点为 D，它的对称轴与 x 轴交点为 M（1）求点 D、点 M 的坐标；（2）如果该抛物线与 y 轴的交点为 A，点 P 在抛物线上且 AMDP，AM=2DP， 求 a 的值25（14 分）在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC=2，点 P 为边 BC 上的一动点（不与 B、C 重合），点 P 关于直线 AC、AB 的对称点分别为 M、N，连接 MN 交边 AB于点 F，交边 AC 于点 E（1）如图 1，当点 P 为边 BC 的中点时，求M 的正切值；（2）连接 FP，设 CP=x，SMPF=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接 AM，当点 P 在边 BC 上运
8、动时，AEF 与ABM 是否一定相似？若是， 请证明；若不是，请求出当AEF 与ABM 相似时 CP 的长2017 年上海市杨浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1（4 分）（2017杨浦区一模）如果延长线段 AB 到 C，使得，那么 AC：AB 等于（）A2：1B2：3C3：1D3：2【分析】作出图形，用 AB 表示出 AC，然后求比值即可【解答】解：如图AB，AC=AB+BC=AB+AB=AB，AC：AB=3：2 故选 D【点评】本题考查了两点间的距离，用 AB 表示出 AC 是解题的关键，作出图形更形象直观2（4 分）（201
9、7杨浦区一模）在高为 100 米的楼顶测得地面上某目标的俯角为，那么楼底到该目标的水平距离是（）A100tan B100cot C100sin D100cos【分析】根据题意画出图形，利用锐角三角函数的定义直接进行解答即可【解答】解：BAC=，BC=100m，AB=BCcot=100cotm 故选：B【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意画出图形， 利用数形结合求解是解答此题的关键3（4 分）（2017杨浦区一模）将抛物线 y=2（x1）2+3 向右平移 2 个单位后所得抛物线的表达式为（）Ay=2（x1）2+5 By=2（x1）2+1 Cy=2（x+1）2+3Dy=2（
10、x3）2+3【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解【解答】解：抛物线 y=2（x1）2+3 向右平移 2 个单位，可得 y=2（x12）2+3，即 y=2（x3）2+3， 故选：D【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减” 直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式4（4 分）（2017杨浦区一模）在二次函数 y=ax2+bx+c 中，如果 a0，b0，c0，那么它的图象一定不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据已知条件“a0，b0，c0”判断出该函数图象的开口方向、与 x 和 y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来
11、判断它的图象一定不经过第三象限【解答】解：a0、c0，该抛物线开口方向向上，且与 y 轴交于正半轴；a0，b0，二次函数 y=ax2+bx+c 的函数图象的对称轴是 0，二次函数 y=ax2+bx+c 的函数图象的对称轴在第一象限；综合，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象一定不经过第三象限 故选 C【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系根据二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数5（4 分）（2017杨浦区一模）下列命题不一定成立的是（）A斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似B两个等腰直角三角形相似C
12、两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D各有一个角等于 100的两个等腰三角形相似【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可【解答】解：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似一定成立； 两个等腰直角三角形相似一定成立；两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似不一定成立； 各有一个角等于 100的两个等腰三角形相似一定成立，故选：C【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理6（4 分）（2017杨浦区一模）在ABC 和DEF 中，A=40，D=60，E=80，那么B 的度数是（）A40 B60 C80
13、 D100【分析】根可以确定对应角，根据对应角相等的性质即可求得B 的大小，即可解题【解答】解，B 与D 是对应角， 故B=D=60故选 B【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了对应边比值相等的性质，本题中求B 和D 是对应角是解题的关键二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）2 7（4 分）（2017杨浦区一模）线段 3cm 和 4cm 的比例中项是 cm【分析】根据比例中项的概念，a：b=b：c，设比例中项是 xcm，则列比例式可求【解答】解：设比例中项是 xcm，则： 3：x=x：4，x2=12， ，线段是正值，负值舍去，故答案为【点评】本题主要考查了
14、比例线段，理解比例中项的概念，求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数是解答此题的关键8（4 分）（2017杨浦区一模）抛物线 y=2（x+4）2 的顶点坐标是 （4，0）【分析】由抛物线的解析式可求得答案【解答】解：y=2（x+4）2，抛物线顶点坐标为（4，0），故答案为：（4，0）【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键， 即在 y=a（xh）2+k 中，对称轴为 x=h，顶点坐标为（h，k）9（4 分）（2017杨浦区一模）函数 y=ax2（a0）中，当 x0 时，y 随 x 的增大 而 减小【分析】由解析式可确定其开口方向，再根据增减性可求得答案【解答】解：y
15、=ax2（a0），抛物线开口向上，对称轴为 y 轴，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小， 故答案为：减小【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键10（4 分）（2017杨浦区一模）如果抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点（1，2）和（4，2），那么它的对称轴是直线 x=【分析】根据抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等可求得答案【解答】解：抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点（1，2）和（4，2），对称轴为 =， 故答案为【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等是解题的关键11（4 分）（2017杨浦区一模）
16、如图，ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、AC、BC 上，且 DEBC，EFAB，DE：BC=1：3，那么 EF：AB 的值为 【分析】利用 DEBC 可判断ADEABC，利用相似的性质的=， 再利用比例性质=，然后证明CEFCAB，然后利用相似比可得 的 值【解答】解：DEBC，ADEABC，=，=，EFAB，CEFCAB，= 故答案【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用， 寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要利用相似进行几何计算12（4
17、 分）（2017杨浦区一模）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC 与 BD 相交于点 O，如果 BC=2AD，那么 SADC：SABC 的值为 1：2【分析】根据梯形的性质和三角形的面积计算公式，可以解答本题【解答】解：在梯形 ABCD 中，ADBC，BC=2AD，设 AD 与 BC 间的距离为 h， 则，故答案为：1：2【点评】本题考查梯形、三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件13（4 分）（2017杨浦区一模）如果两个相似三角形的面积之比是 9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是 20cm【分析】因为两个三角形的面积之比
18、9：25，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出周长的比，又因为对应中线的比等于相似比即可求出大三角形的中线【解答】解：两个相似三角形的面积之比是 9：25，大三角形的周长：小三角形的周长是 5：3，小三角形一边上的中线长是 12cm，12=20cm，大三角形对应边上的中线长是 20cm【点评】本题考查对相似三角形性质的理解（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应中线的比等于相似比14（4 分）（2017杨浦区一模）如果+=3，2=，那么= （用表示）【分析】根据平面向量的运算法则进行计算即可【解答】解=，63=3，+=3，+=63，=故答案是：【点评】本题考查了
19、平面向量的运算，类似于解一元一次方程进行计算即可，比较简单，要注意移项要变号15（4 分）（2017杨浦区一模）已知是锐角，tan=2cos30，那么= 60度【分析】根据 30角的余弦值等于，正切值的锐角为 60解答即可【解答】解：tan=2cos30=2，=60故答案为：60【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记 30、45、60角的正弦值、余弦值、正切值是解此类题目的关键16（4 分）（2017杨浦区一模）如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从 P 处出发，走了 13 米到达 M 处，此时在铅垂方向上上升了 5 米，那么该斜坡的坡度是 i=1： 2.4 【分析】垂直高度、水平距离和坡面
20、距离正好构成一个直角三角形，先根据勾股定理，求出水平距离，然后根据定义解答【解答】解：由题意得，水平距离=12，坡比 i=5：12=1：2.4 故答案为 2.4【点评】本题考查的知识点为：坡度=垂直距离：水平距离，通常写成 1：n 的形式，属于基础题17（4 分）（2017杨浦区一模）用“描点法”画二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象时，列出了如下表格：x1234y=ax2+bx+ c0103那么该二次函数在 x=0 时，y= 3【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的 x、y 的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当 x=0 时，y 的值即可【解答】解：由上表可知函数图
21、象经过点（1，0）和点（3，0），对称轴为 x=2，当 x=4 时的函数值等于当 x=0 时的函数值，当 x=4 时，y=3，当 x=0 时，y=3 故答案是：3【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键18（4 分）（2017杨浦区一模）如图，ABC 中，AB=AC=5，BC=6，BDAC 于点 D，将BCD 绕点 B 逆时针旋转，旋转角的大小与CBA 相等，如果点 C、D 旋转后分别落在点 E、F 的位置，那么EFD 的正切值是 【分析】作 AHBC 于 H，延长 CD 交 EF 于 G，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出 AH、BD、CD、AD，
22、根据旋转变换的性质得到FBD=CBA，证明 FBAH， 根据四点共圆得到EFD=GBD，求出 tanGBD 即可【解答】解：作 AHBC 于 H，延长 CD 交 EF 于 G，AB=AC，BH=CH=BC=3，由勾股定理得=4，BCAH=ACBD，即 64=5BD，解得，CD=，AD=，FBD=CBA，FBE=DBC，DBC+C=90，HAC+C=90，FBE=BAH，FBAH，FBC=AHC=90，EFBC，E=ABC=C=EGA，AG=AE=BEAB=BCAB=1，DG=，F=BDC=90，F、B、D、G 四点共圆，EFD=GBD，tanGBD=，EFD 的正切值， 故答案为【点评】本题考
23、查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用，掌握旋转变换的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19（10 分）（2017杨浦区一模）如图，已知ABC 中，点 F 在边 AB 上，且 AF=AB、 过 A 作 AGBC 交 CF 的延长线于点 G（1） =，=，试用向和表示向；（2）在图中求作向 与的和向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【分析】（1）证AGFBCF 得= ， 即 AG= CB，由= ）可得答案；（2）延长 CB 到 E，使 BE=AG，连接 AE，=【解答】解AB，AGFBCF，=，=，即 CB，
24、（）=；（2）如图所示，=【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及向量的运算、作图，熟练掌握向量的基本运算法则是解题的关键20（10 分）（2017杨浦区一模）已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B（1，0）和点 C（2，3）（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点（2，1），试确定平移的方向和平移的距离【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）求出原抛物线上 x=2 时，y 的值，若点（2，5）平移后的对应点为（2，1），根据纵坐标的变化可得其中的一种平移方式【解答】解：（1）将点 B（1，0）、C（2，3）代入 y=x2+bx+c，得：，解得，此抛物线的表达式为 y
25、=x2+2x+3；（2）在 y=x2+2x+3 中，当 x=2 时，y=44+3=5， 若点（2，5）平移后的对应点为（2，1），则需将抛物线向上平移 4 个单位【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键21（10 分）（2017杨浦区一模）已知：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABD=C，AD=4，BC=9，锐角DBC 的正弦值 求：（1）对角线 BD 的长；（2）梯形 ABCD 的面积【分析】（1）求出ABDDCB，得出比例式，即可得出答案；（2）过 D 作 DEBC 于 E，解直角三角形求出 DE，根据面积公式求出
26、即可【解答】解：（1）ADBC，ADB=DBC，ABD=C，ABDDCB，=，AD=4，BC=9，BD=6；（2）过 D 作 DEBC 于 E， 则DEB=90，锐角DBC 的正弦值，sinDBC=，BD=6，DE=4，梯形 ABCD 的面积（AD+BC）DE=（4+9）4=26【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，解直角三角形等知识点，能求出 BD 的长是解此题的关键22（10 分）（2017杨浦区一模）如图，某客轮以每小时 10 海里的速度向正东方向航行，到 A 处时向位于南偏西 30方向且相距 12 海里的 B 处发出送货请求， 货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小
27、时 14 海里的速度出发，在 C 处恰好与客轮相逢，试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间【分析】首先证明 AC=AB=12，根据时间=路程速度，计算即可解决问题【解答】解：如图，由题意，ABF=30，CBF=60，FAB=60，ABC=C=30，AC=AB=12，货轮从出发到客轮相逢所用的时间=1.2 小时 答：货轮从出发到客轮相逢所用的时间 1，2 小时【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角、等腰三角形的判定、路程、时间、速度之间的关系等知识，解题的关键是掌握方向角的定义，属于中考常考题型23（12 分）（2017杨浦区一模）已知：如图，在ABC 中，点 D、G 分别在边AB、BC 上，AC
28、D=B，AG 与 CD 相交于点 F（1）求证：AC2=ADAB；（2） =，求证：CG2=DFBG【分析】（1）证明ACDABC，得出对应边成比例 AC：AB=AD：AC，即可得出结论；（2）由相似三角形的性质得出ADF=ACG，由已知证出ADFACG，得出DAF=CAF，AG 是BAC 的平分线，由角平分线得，即可得出结论【解答】（1）证明：ACD=B，CAD=BAC，ACDABC，AC：AB=AD：AC，AC2=ADAB；（2）证明：ACDABC，ADF=ACG， = ，ADFACG，DAF=CAF，即BAG=CAG，AG 是BAC 的平分线，CG2=DFBG【点评】本题考查了相似三角形
29、的判定与性质以及角平分线的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键24（12 分）（2017杨浦区一模）在直角坐标系 xOy 中（如图），抛物线 y=ax24ax+4a+3（a0）的顶点为 D，它的对称轴与 x 轴交点为 M（1）求点 D、点 M 的坐标；（2）如果该抛物线与 y 轴的交点为 A，点 P 在抛物线上且 AMDP，AM=2DP， 求 a 的值【分析】（1）由 y=ax24ax+4a+3=a（x2）2+3，可得顶点 D（2，3），M（2，0）（2）作 PNDM 于 N由PDNMAO，=，因为 OM=2，OA=4a3，PN=1，所以 P（1，a+3），DN=a，根据 OA
30、=2DN，可得方程4a3=2a，由此即可解决问题【解答】解：（1）y=ax24ax+4a+3=a（x2）2+3，顶点 D（2，3），M（2，0）（2）作 PNDM 于 NAMDP，PDN=AMG，DGOA，OAM=AMG=PDN，PND=AOM=90，PDNMAO，=，OM=2，OA=4a3，PN=1，P（1，a+3），DN=a，OA=2DN，4a3=2a，a=当点 A 在 y 的正半轴上时，如图，PDNMAO，=，OM=2，OA=4a+3，PN=1，P（3，a+3），DN=a，OA=2DN，4a+3=2a，a=，综上所述，满足条件的 a 的值为 或 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、相
31、似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用相似三角形的性质解决问题，用方程的思想思考问题，属于中考常考题型25（14 分）（2017杨浦区一模）在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC=2，点 P为边 BC 上的一动点（不与 B、C 重合），点 P 关于直线 AC、AB 的对称点分别为M、N，连接 MN 交边 AB 于点 F，交边 AC 于点 E（1）如图 1，当点 P 为边 BC 的中点时，求M 的正切值；（2）连接 FP，设 CP=x，SMPF=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接 AM，当点 P 在边 BC 上运动时，AEF 与
32、ABM 是否一定相似？若是， 请证明；若不是，请求出当AEF 与ABM 相似时 CP 的长【分析】（1）先求出 CP=1，利用对称得出MBN=90，BP=BP=3，最后用锐角三角函数的定义即可；（2）先求出 FG，再利用同角的三角函数相等，得出 PG，再用三角形的面积公式求解即可；（3）利用对称先判断出 AM=AP=AN，进而得出三角形 AMN 是等腰直角三角形， 即可得出AMN=45，得出AFE=AMB，即可判断出AEFBAM【解答】解：（1）如图 1，连接 BN，点 P 为边 BC 的中点，CP=BP=BC=1，点 P 与点 M 关于 AC 对称，CM=CP=1ACB=90，AC=BC=2
33、，BAC=ABC=45，点 P 与点 N 关于 AB 对称，BP=BN=1，ABN=ABC=45，CBM=90，BM=CM+BC=3在 RtMBN 中=；（2）如图 2，过点 F 作 FGBC， 设 PG=m，BG=BPPG=2xm，MG=MP+PG=2x+m， 在 RtBFG 中，FBG=45，FG=BG=2xm，在 RtFMG 中 =， 在 RtMNB 中=，m=，FG=2xy=SMPF= MPFG= 2x2x=（0x2）；（3）AEFBAM理由：如图 3，连接 AM，AP，AN，BN，点 P 关于直线 AC、AB 的对称点分别为 M、N，AM=AP=ANMAC=PAC，PAB=NAB，BAC=PAC+PAB=45，MAN=MAC+PAC+BAP+NAB=2（PAC+PAB）=90，AMN=45=ABC，AFE=ABC+BMF，AMB=AMN+BMF，AFE=AMB，EAF=ABM=45，AEFBAM【点评】此题是相似形综合题，主要考查了锐角三角函数，勾股定理，对称的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是得出PFM 的边 PM 上高和MAN 是等腰直角三角形，是一道很好的中考常考题